数字电路(非常详细)

考试时间十一周（具体等教务通知）（100分钟）考试题型简答题、计算题、设计题半开卷考试允许带矿大信纸一张，蓝色圆珠笔书写任意想要写的重点，考试结束时上交，算作平时成绩的一部分。考试地点具体等教务通知书上例题、作业、实验1第一章数制与编码要求：⒈会数制转换；⒉符号数的代码表示及应用；⒊8421BCD码、5421BCD码、余三码、格雷码；2第二章逻辑代数基础要求：⒈基本概念；⒉两种化简方法。概念：⒈基本逻辑关系；⒉逻辑函数的几种表示方法；⒊最小项及标准式；⒋无关项。函数化简：公式法和卡诺图法。3第三章逻辑门电路要求：⒈概念；⒉接口应用；⒊特殊门及应用；⒋波形图。概念：⒈基础门；⒉集成门功能及电气特性及相应参数；⒊特殊门的特点及应用。主要参数：集成门使用接口：VON,VOFF,VOH,VOL,RON,ROFF,IIS,IIHNo,tpd,输入、输出特性；输入负载特性；传输特性。4第四章组合逻辑电路集成组合电路的应用：⒈概念；⒉分析设计方法；⒊集成电路应用；概念：⒈组合电路特点；⒉半加与全加、编码、译码、选择、比较；⒊竞争与险象。组合电路的分析与设计方法：要求：⒈SSI——一般分析设计方法～由门实现；⒉MSI——真值表、表达式及变换为相应（逻辑部件）的形式。注意使能端（控制端）的正确使用：50.2数字电路0.2.1.基本概念电信号：指随时间变化的电压和电流。模拟信号：在时间和幅值上都为连续的信号。数字信号：在时间和幅值上都为离散的信号。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。数字电路：处理和传输数字信号的电路。60.2.2模拟电路模拟信号：时间上连续：任意时刻有一个相对的值。数值上连续：可以是在一定范围内的任意值。例如：电压、电流、温度、声音等。真实的世界是模拟的。缺点：很难度量；容易受噪声的干扰；难以保存。优点：用精确的值表示事物。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。三极管工作在线性放大区。70.2.3数字电路数字信号：时间上离散：只在某些时刻有定义。数值上离散：变量只能是有限集合的一个值，常用0、1二进制数表示。8数字信号取值：数字信号位数：例：

0和1不表示数值的大小，没有数值的概念，仅表示两种截然不同的逻辑状态0和1两种。即用二进制表示。1位二进制表示2种状态；n位二进制表示2n种状态,取2n≥N灯的开关－－2种取值———1位二进制数人的性别－－2种取值———1位学生的籍贯－－32种取值———5位学生的民族－－56种取值———6位(26=

64≥56)东西南北方位－－4种取值———2位产品的计数－－N种取值———n位，2n≥N9数字电路：处理和传输数字信号的电路。即能对数字信号进行算术运算和逻辑运算。三极管工作在开关状态，即饱和区或截止区。算术运算－－对两个(及以上)数字信号进行加、减、乘、除的算术加工。逻辑运算－－对数字信号进行与、或、非及其它逻辑关系的加工处理。单元电路：逻辑设计：把单元电路和逻辑部件组成系统，根据确定的功能要求，设计出相应的数字电路。门电路、触发器由单元电路构成逻辑部件100.2.4.数字电路特点（与模拟电路相比）（1）数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制的数字信号，反映在电路上就是高电平和低电平。（2）晶体管处于开关工作状态，抗干扰能力强、精度高。（3）通用性强。结构简单、容易制造，便于集成及系列化生产。（4）具有“逻辑思维”能力。数字电路能对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算、逻辑判断，故又称为数字逻辑电路。110.2.5.数字电路的分类（1）按功能分类

组合逻辑电路：电路的输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路原来的状态无关。例：表决器

时序逻辑电路：电路的输出信号不仅与当时的输入信号有关，而且还与电路原来的状态有关。例：计数器（2）按结构分类TTL双极型（BJT）CMOS单极型（FET）12（3）按集成电路规模分类集成度：每块集成电路芯片中包含的元器件数目小规模集成电路(SmallScaleIC，SSI)

10个门10～100个元件中规模集成电路(MediumScaleIC，MSI)

10～100个门100～1000个元件大规模集成电路(LargeScaleIC，LSI)100～1000个门1000～10000个元件超大规模集成电路(VeryLargeScaleIC，VLSI)

＞1000个门＞10000个元件特大规模集成电路(UltraLargeScaleIC，ULSI)巨大规模集成电路(GiganticScaleIC，GSI）13越来越大的设计越来越短的推向市场的时间（例如家电）越来越低的价格（例如家电）大量使用计算机辅助设计工具（EDA技术）多层次的设计表述大量使用复用技术

IP（IntellectualProperty）0.2.6.当前数字电路设计的趋势14从20世纪60年代以来数字集成电路经历了SSI、MSI到LSI、VLSI的发展过程,70年代初1K位存储器标志LSI问世后，微电子技术得到迅猛发展。标志性的芯片主要有三类:一类是CPU的发展.自从晶体管级的CPU问世以来，其集成度几乎1-2年翻一倍，性能提高一个数量级，例如：1971-1972年出现的Intel4004和4040（4位），其集成度为2000晶体管，1976年生产的8085（8位），集成度为9000晶体管/片；而1980年生产的Iapx43201（32位），集成度为100000晶体管/片，目前奔腾芯片的集成度都达到几百万甚至上千万个晶体管。工业用品的单片机也得到迅猛的发展，随着超大规模集成电路的发展，单片机已从4位、8位字长，发展到16位、32位字长。

另一类具有代表性的是专用ASIC的发展.由于EDA技术的发展，改变了传统的设计方式加之制造工艺水平的不断提高，ASIC以其适应面广，体积小，功耗低，而且具有高性能、高可靠性和高保密性等优点得到广大芯片设计者的青睐。

集成电路的发展

15第三类典型的芯片是可编程器件.包括数字可编程器件和模拟可编程器件。从20世纪70年代出现熔丝编程的PROM和PLA，数字可编程器件获得飞速发展，20世纪70年代末AMD公司在PLA的基础上推出PAL，80年代初期Lattice公司发明电可擦写的GAL器件。80年代中期Xilinx公司提出现场可编程的概念，于1985生产了世界上第一片FPGA器件。同期Altera公司推出了EPLD器件（ErasableProgrammableLogicDevice）。80年代末期Lattice公司提出了在系统可编程技术以后，相继推出一系列具备在系统可编程能力的复杂可编程逻辑器件（CPLD-ComplexPLD）。CPLD是在EPLD基础上发展起来的，它采用E2CMOS工艺制作，增加了内部连线，改进了内部结构体系，因而比EPLD的性能更好，设计也更加灵活。

集成电路的发展

16专用集成电路（ASIC-ApplicationSpecificIntegratedCircuit）是为满足某一应用领域或特定用户需要而设计、制造的LSI或VLSI电路，可以将特定的电路或一个应用系统设计在一个芯片上，构成单片应用系统（SOC）。ASIC可分为模拟ASIC和数字ASIC，数字ASIC又可以分为全定制和半定制两种。

全定制ASIC芯片的各层（掩膜）都是按特定电路功能专门制造的。设计人员从晶体管级的版图尺寸、位置和互连线开始设计，以达到芯片面积利用率高、速度快、功耗低的最优性能。但全定制的ASIC制作费用高，周期长，适用于批量较大的产品。半定制是一种约束性设计方式。约束的目的是简化设计、缩短设计周期以及提高芯片的成品率。半定制的ASIC主要有门阵列、标准单元和可编程逻辑器件三种。门阵列：包括门电路、触发器等并留有布线区供设计人员连线，用户根据需要设计电路，确定连线方式，交生产厂家布线。标准单元：设计人员使用厂家提供的标准单元，利用CAD（或EDA）工具完成版图级的设计。与门阵列比较其设计灵活，功能强，但设计周期长，费用高。可编程逻辑器件：设计人员用厂家提供的通用型半定制器件（PLD），借助特定的EDA软件进行设计，经过综合适配后形成特定的二进制文件（bitstreamfile），然后通过烧写器将文件写入芯片中，或通过ISP（InSystemProgram）的方式下载到芯片中即可。用户通过可配置的逻辑器件进行电路设计,其特点成本低、设计周期短、可靠性高、承担的风险小。集成电路的发展

170.3本课程讲授内容绪论第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第十章数制与编码:“数”在计算机中怎样表示。★逻辑代数基础:逻辑代数的基本概念、逻辑函数及其标准形式、逻辑函数的化简。★★组合逻辑电路的分析与设计。★★★触发器及其应用。★★时序逻辑电路的分析与设计。★★★脉冲电路。★★半导体存储器RAM。★模/数(A/D)与数/模(D/A)转换。★★逻辑门电路。★★180.4数字电路的学习方法

（1）重视基础，突出应用；（2）重视外特性，少顾内部结构；（3）加强实践能力锻炼。具体如下：（1）逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具，应熟练掌握。（2）重点掌握各种常用数字逻辑电路的逻辑功能、外部特性及典型应用。对其内部电路结构和工作原理不必过于深究。（3）掌握基本的分析方法。（4）本课程实践性很强。应重视习题、基础实验和综合实训等实践性环节。（5）注意培养和提高查阅有关技术资料和数字集成电路产品手册的能力。要求：掌握基本原理及分析、设计方法190.6成绩评定理论80%包括：平时30%和考试：70%0.7参考书《数字电路逻辑设计》第三版王毓银高教出版社《数字电子技术》第四版阎石高教出版社《数字设计引论》沈嗣昌高教出版社《电子系统设计》何小艇等浙江大学出版社《数字电路与系统设计》邓元庆西安电子科大出版社《数字电路》龚之春电子科技大学出版社（成都）习题集、专科教材、相关杂志实验20%包括：操作60%和报告：40%20第一章学习要求：熟练掌握各进位计数制间的相互转换。熟练掌握一个数原码、反码、补码的表示，以及原码、反码、补码的算术运算。掌握8421BCD码、余3码、格雷码、奇偶校验码的特点。21第一章数制与编码§1进位计数制§2数制转换§3带符号数的代码表示§4常用的一般编码22§1进位计数制一、

十进制数的表示⒈数码个数：10个。

计数规律:数制：进位计数制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进1,借一当10数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素计数体制、计数方法。高位进位，本位归0。23例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2例：123.45读作一百二十三点四五⒉

计数法例：123.45读作一百二十三点四五例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2

位置计数法

按权展开式

按权展开通式

和式(N)10=an-110n-1+an-210n-2+…+a1101+a0100

+a-110-1+a-210-2+…+a-m10-m24⒊基与基数用来表示数的数码的集合称为基（0～9）,集合的大小称为基数(十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数，也叫模。在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值，位置不同表示的数值大小不同。123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2数的位置不同，权值不同。⒋权例：25二、其它进制

其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制R，数N可以表示成按权展开式：(N)R=an-1Rn-1+an-2Rn-2+…+a1R1+a0R0

+a-1R-1+a-2R-2+…+a-mR-m(N)R=(an-1

an-2…a1

a0.a-1

a-2…a-m)R26权值一般用十进制表示⒈R＝2二进制 数码个数2个：

计数规律:例：0,1逢二进1,借一当2(11011.01)2=124+123

+022+121+120

+02-1

+12-2＝1(10)100+1(10)11+0(10)10+1(10)1+1

(10)0

+

0(10)-1+1(10)-10权值一般用十进制表示27二进制数的特点:

只有两个数码,很容易用物理器件来实现。

运算规则简单。

可使用逻辑代数这一数学工具。

节省设备例：如需表示数字0～999，共有1000个信息量。十进制：用3位，每位10个数字，共需30个数字设备。二进制：用10位，每位2个数字，共需20个数字设备。28⒉R＝8八进制 数码个数8个：

计数规律:例：

0,1,2,3,4,5,6,7逢八进1,借一当8(176.5)8=182+781

+680

+58-1＝1(10)2+7(10)1+6

(10)0+5(10)-129⒊R＝16十六进制 数码个数16个：

计数规律:例：⒋其它进制

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0………10……15)逢十六进1,借一当16(FA1.C)16=F162+A161

+1160

+C16-1＝F(10)2+A(10)1+1

(10)0+C(10)-1如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。书P5表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。30几种常用数制的

表示方法（P5）R＝10二进制八进制十六进制000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1610000201031§2数制转换说明：⒈转换是任意的。⒉方法：多项式替代法 基数乘除法 混合法 直接转换法α→1010→αα→10→βα＝βK，αK＝β32一、多项式替代法（R→10）(11011.11)2

=()10=124+123

+022+121+120

+12-1

+12-21680210.50.25

=(27.75)10

(321.4)8

=()10=382+281+180

+48-11921610.5

=(209.5)10

例1：例2：规则：按权展开，相加求和33二、基数乘除法（10→R）⒈整数的转换——基数除法规则：除基取余，商零为止例1：解：(25)10

=()2余2251122余062余032余10∴(25)10=(11001)2低位高位2余1134二、基数乘除法（10→R）⒈整数的转换——基数除法规则：除基取余，商零为止例2：解：(54)10

=()16余16546316余30∴(54)10=(36)16低位高位35⒉小数的转换——基数乘法规则：乘基取整，满足精度要求为止。例3：(0.125)10

=()20.125×20.25×20.5×21.0低位高位∴(0.125)10

=(0.001)236⒉小数的转换——基数乘法规则：乘基取整，满足精度要求为止。例4：(0.125)10

=()40.125×40.5×42.0低位高位∴(0.125)10

=(0.02)437⒉小数的转换——基数乘法例5：(29.93)10

=()2余2291142余072余132余102余11低位高位0.93×2

1.86×2

1.72×2

1.44低位高位×2

0.88×2

1.76∴(29.93)10=(11101.11101)238⒊小数的精度若求出的是有限位小数，表明已求出准确的转换小数；若求出的是无限位小数，表明转换出的小数存在误差。取数原则：⑴等精度转换；⑵按题意要求⑴等精度转换设α进制有i位小数，转换后β进制有j位小数。(0.0…01)α=(1×α-i)10

(0.0…01)β=(1×β-j)10

i位

j位(0.01)2=(1×2-2)10(0.1)4=(1×4-1)1039⑴等精度转换(续)转换后应使：1×β-j≤1×α-i即αi

≤βj

故取满足不等式的最小整数例:(0.3021)10→()16，已知精度为±(0.1)410

解：α＝10，β＝16，i＝4取j=440⑵按题意要求例:(0.3021)10→()2，要求精度0.1%解:例:(0.3021)10→()8，要求精度0.01%解:∴取j=10∴取j=541三、混合法(α→10→β)(N)α

→

→

→

→(N)10→

→

→

→(N)β

多项式替代法

基数乘除法例:(2022)3→()8解:(2022)3=233

+032+231+230=(62)10=(76)842四、直接转换法(α＝βK，αK＝β)一般在二、八、十六进制之间转换⒈八进制与二进制之间的转换：(10011100101101001000.01)B=(010011

100101101001

000.010)B=()O01554=(2345510.2)O322从小数点开始3位一组不足补0不足补043⒉十六进制与二进制之间的转换：(10011100101101001000.01)B=(1001

11001011

0100

1000.0100)B=()H84BC9=(9CB48.4

)H不足补0从小数点开始4位一组444反之:(345.7)O=()B(345.7)O=(011100101.111)B1位八进制对应3位二进制(27B.7C)H=()B(27B.7C)H=(001001111011.01111100)B1位十六进制对应4位二进制=(1001111011.011111)B0可去掉45§3带符号数的代码表示

一、符号数⒈真值：在数值前加“＋”号表示正数； 在数值前加“－”号表示负数。⒉机器数：把符号数值化的表示方法称～。 用“0”表示正数，用“1”表示负数。例：真值

机器数 ＋9 ＋100101001 －9 －1001 11001符号位46二、原码常用的机器数有：原码、反码、补码其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。符号位＋数值位正→0不变负→1例：X1＝＋1101[X1]原=01101X2＝－1101[X2]原=11101⑴直观易辨认；⑵有2个0；⑶符号不参与运算；⑷数值范围⒉特点：⒈组成：－（2^(n-1)－1）~＋（2^(n-1)－1）

47三、反码⒈组成：⒉特点：符号位＋数值位正→0不变负→1取反

例：X1＝＋1101[X1]反=01101X2＝－1101[X2]反=10010X1＝－1101[X1]反=10010[[X1]反]反=

11101=[X1]原⑴正数的反码同原码，负数的反码数值按位取反；⑵有2个0；⑶反码的反码为原码；⑷数值范围－（2^(n-1)－1）~＋（2^(n-1)－1）

48⒉特点(续)⑸两数和的反码等于两数反码之和；⑹符号位参与运算,有进位时循环相加。例：已知X1＝1100X2＝1010求Y1＝X1－X2；Y2＝X2－X1解：[X1]反=01100，[－X1]反=10011，[X2]反=01010，[－X2]反=10101[Y1]反＝[X1]反＋[－X2]反=00010→Y1＝＋0010

01010+10011

11101

01100+10101

100001+100010循环相加[Y2]反＝[X2]反＋[－X1]反=11101→Y2＝－001049四、补码⒈组成：⒉特点：符号位＋数值位正→0不变负→1取反＋1

例：X1＝＋1101[X1]补=01101X2＝－1101[X2]补=10011⑴正数的补码同原码，负数的补码数值按位取反＋1；⑵只有1个0；⑶补码的补码为原码；⑷数值范围X1＝－1101[X1]补=10011[[X1]补]补=

11101=[X1]原－2^(n-1)~＋（2^(n-1)－1），50补码的计算和引进补码的原因：数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte，原码能表示数值的范围为(-127~-0+0~127)共256个.有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:假设字长为8bits(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10(00000001)原+(10000001)原=(10000010)原=(-2)显然不正确.51因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应.下面是反码的减法运算:(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10(00000001)反+(11111110)反=(11111111)反=(-0)有问题.(1)10-(2)10=(1)10+(-2)10=(-1)10(00000001)反+(11111101)反=(11111110)反=(-1)正确问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.52于是就引入了补码概念.

负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.

在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:(-128~0~127)共256个.已知某数的补码,

先求某数的反码,然后在对反码+1,就得到某数的原码.比如:

已知某个数的补码是:10100110

先对10100110求反,得:11011001

再对11011001加1,得:

11011010

那么这个数为-86

53⒉特点(续)⑸两数和的补码等于两数补码之和；⑹符号位参与运算,有进位时丢弃。例：已知X1＝1100X2＝1010求Y1＝X1－X2；Y2＝X2－X1解：[X1]补=01100，[－X1]补=10100，[X2]补=01010，[－X2]补=10110[Y1]补＝[X1]补＋[－X2]补=00010→Y1＝＋0010

01010+10100

11110

01100+10110

100010进位丢弃[Y2]补＝[X2]补＋[－X1]补=11110→Y2＝－001054补码的补充说明：计数容量。例：计算机的字长为L，模数为2L。10019+10008

1000117丢弃在模16的系统中，17(mod16)=1(mod16)在某一模数系统中，模数为N，如果a、b的余数相同，则称a、b模N同余。例：17和33在模16系统中同余1。同余的两数，在同一模数系统中值相等，即为余数。同余：模：1.概念552.补码的应用：变减为加一般而言：⑴在模N的系统中，数L与N-L是一对互补的数。[L]补数=N+L;-(N－1)L<0特例情况：如N=2n，即在二进制中，负数L补码的数值为[L]补＝

2n＋L，求取形式上可归纳为：取反加1。12396●∙∙∙∙∙∙∙∙例：钟表为模12的系统。顺时针：+；逆时针：-由12点拨到3点：1）12+3=15，15(mod12)=32)12-9=3

，3(mod12)=3

则：[12-9](mod12)=[12+3](mod12)=3即减9等于加3，在mod12系统中3是－9的补码(仅考虑数值位)，所以利用补码特点可把减法变成加法运算。⑵当L为负数时，56§4常用的一般编码一、二～十进制编码

二、可靠性编码

现实生活中，对事物进行编码的示例很多，如：学号、身份证号、电话号码、房间号、汽车牌号等等。主要以十进制数为主，也有字母和文字。在数字系统里，往往也需要对被控对象进行编码，或者对传递的信息进行编码。数字系统中的编码以二进制数形式出现，常用的编码有：57一、二～十进制编码

BCD码------Binary-Coded-Decimal

用四位二进制数表示一位十进制数码（0~9），称为BCD码。四位二进制有16种不同的组合，任意取其中的10中组合来代表数码0～9，即形成一种BCD码，不同的组合便形成了各种各样的BCD编码。BCD码主要有：8421码、5421码、2421码、余3码等。58000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数自然码8421码2421码5421码余三码

前10个码

前后各5个码

中间10个码59简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的0～9，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8,4,2,1，如8421码:

(0111)8421BCD=08+14+12+11=7⒈8421BCD码00000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000123678549二进制数8421码60⑵与自然二进制数排列一至，1010～1111为冗余码；⑶8421码与十进制的转换关系为直接转换关系例:（00010011.01100100)8421BCD=(13.64)10⑷运算时按逢10进1的原则,并且要进行调整。

调整原则:有进位或出现冗余码时：加+6调整。⑴有权码，从左到右为8421；8421码的特点：61例:8+9=171000+)1001

10001

有进位＋6+)01100111例:7+6=130111+)01101101

+)011010011丢弃8421码运算举例:冗余码＋662⒉2421BCD码简称2421码。典型2421码按4位二进制数的自然顺序，取前后各5个数依次表示十进制的0～9，其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2,4,2,1，如:0000000100100011011001111000100110101011110111101111010111000100二进制数2421码01235789642421码(0100)2421=02+14+02+01=42421码(1110)2421=12+14+12+01=8632421码的编码方案：代码方案1方案2000000000100010001200101000300111001401001010510110101611000110711010111811101110911111111对九自补特点：64⒊余3码4）相加运算时：如果没有进位，则和数要减3，否则和数要加3。1)是一种无权码。2)有六个冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）3）对9的自补码。例：(4)余3码=0111;(5)余3码=1000

(0111)9补=1000即0111按位取反。00000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000345678291数码余三码

中间10个码由8421码加3形成。650100＋)01101010－)00110111例如：(0100)余3+(0110)余3

=1000＋)100110001+)001110100(1000)余3+(1001)余3=余3码运算：丢弃无进位减3有进位加3(0111)余3(0100)余366例2：用余3码运算：(05)10＋(08)10＝？1000＋101110011有进位＋3解：(05)10＋(08)10＝(00111000)余3+(00111011)余300110011＋10111无进位－301000011－+00110110＝(01000110)余3＝(13)10个位运算十位运算67000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数自然码8421码2421码5421码余三码

前10个码

前后各5个码

中间10个码68二、可靠性编码能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码称为可靠性编码。纠错的三个层次编码本身不易出错→格雷码出错能检查出来→奇偶校验码检查并能纠错→汉明码纠错是以增加硬件为代价的69⒈格雷码在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同，即为格雷码。(1101)B例：13的格雷码：1011=(1011)G典型二进制格雷码由自然二进制码转换而得，其编码规则为：70格雷码的特点：十进制二进制GREY1000000000100010001200100011300110010401000110501010111601100101701110100810001100910011101101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000⒈汉明距离＝1⒉循环特性

n一定时最大数的第n位为1，其余各位为0。⒊具有反射特性

第n位为反射位，以第n位的0、1交界处为轴上下对称。⒋一个n位的格雷码，可由n－1位格雷码产生。方法：在n－1位码前加0，再作对称镜像。例：71十进制二进制GREY1GREY20000000000000100010001000120010001100113001100100010401000110011050101011111106011001011010701110100101181000110010019100111011000101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000反射循环72例：7的典型格雷码为0100典型二进制格雷码转换成二进制数的方法：(0100)G01=(0111)B1173十进制二进制步进码0000000000100010000120010000113001100111401000111150101111116011011110701111110081000110009100110000101010111011121100131101141110151111补充：步进码符合格雷码中汉明距离＝1的特点。74步进码的形成：例：由7的步进码：11100；产生8的步进码：11000左移一位“7”步进码00111

10011取反000011“8”步进码75⒉奇偶校验码⑴组成:信息位＋校验位（1位）＝奇偶校验码码中：1的个数为奇数→奇校验码1的个数为偶数→偶校验码由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规完成为奇数或偶数。76⑵简单的奇偶校验码：数码信息位校验位奇校验码偶校验码8421BCD奇偶0000010000010000010001010001000011200100100100001013001110

40100015010110601101070111018100001100001000191001101001110010…………奇校验位：

P＝B8B4B2B11偶校验位：

P＝B8B4B2B1以8421BCD码为例77⑶检错只能检出单个错误或奇数个错，但不能纠错。校验：

P’＝B8B4B2B1P奇校验：P’＝1正确偶校验：P’＝0正确例:奇校验传送1001：解:校验位P=1,奇校验码为:10011

正确传送时:

P’＝B8B4B2B1P=10011=1不正确传送时:设接收码为10111

P’＝B8B4B2B1P=10111=0出错78作业:P231-1(1)，1-2(1)，1-3(1)，1-4(1)，1-5(1)1–13，1–16(1)(3)思考题1-979节省设备的说明:1）设n是数的位数R是基数Rn—最大信息量nR—Rn个数码所需设备量例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000nR=3×10=30R=2时,为使2n≥1000n=10(Rn=1024),

nR=10×2=20

同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。2）唯一性证明N=Rn

（N为最大信息量）LnN=nLnR令C=LnNC=nLnR两边同乘R，RC=nRLnR可求得:R=e=2.71880第二章逻辑代数基础主要内容⒈基本逻辑运算⒉逻辑代数的基本公式和规则⒊逻辑函数的化简81几个基本概念⒈逻辑：⒉逻辑学：⒊逻辑代数：⒋逻辑状态：⒌逻辑变量：⒍逻辑函数：⒎逻辑电路：指事物的规律性和因果关系。研究思维的形式和规律的科学。逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。代表逻辑状态的符号，取值0和1。输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。82§1基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。打开有两把锁的自行车。打开有两个串联开关的灯。例1：例2：例3：楼道里自动感应灯。83打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0⒉真值表全部输入条件的所有组合与输出的关系。ABF000010100111真值表例3：+uABF由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：00=010=0

01=011=1有0出0全1出184⒊表达式逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“”或“”。两变量的“与”运算可表示为：

F＝AB

或者F=AB

简写为：F＝AB

读作：F等于A与B85二、“或”运算（逻辑加）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。打开有两个并联开关的灯。例：A+uBF86⒉真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0ABF000011101111真值表例：由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：0＋0=01＋0=1

0＋1=11＋1=1有1出1全0出087⒊表达式逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“＋”或“

”。两变量的“或”运算可表示为：

F＝A＋B

或者F=AB

读作：F等于A或B88三、“非”运算（逻辑非）⒈定义：某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。如下电路中灯的亮灭。例：+uKF89⒉真值表打开上例电路中的灯。设开关为k，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0真值表例：由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：K F0 11 0

0

1

=10=90⒊表达式“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－”或“¬”，“非”运算可表示为：F=A 或 F=¬A读作“F等于A非”，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。91§2逻辑代数的基本公式和规则

一、基本公式⒈基本运算公式与或00＝0 0＋0＝001＝0 0＋1＝110＝0 1＋0＝111＝1 1＋1＝1

1=00=1非数值与数值的关系92⒈基本运算公式（续）0A＝00＋A＝A1

A＝A1＋A＝1 变量与数值的关系0－1律A＝AAA＝AA＋A＝AA

A＝0A＋A＝1 变量与变量的关系⒉与普通代数相类似的公式A(B

＋C)＝AB＋AC, A＋BC＝(A＋B)(A＋C)

交换律结合律分配律A＋B＝B＋AA＋(B

＋C)＝(A＋B)＋C重叠律对合律、非非律93⒊逻辑代数的特有公式吸收律: A＋AB＝AA(A+B)＝A

A＋AB＝A+BA(A+B)＝AB摩根定理:

A＋B＝AB AB＝A＋B包含律:

AB+AC+BC＝AB+AC

(A+

B)(A+C)(B+C)=(A+

B)(A+C)尾部变换:

AB＝

AAB94⒋两种常用的运算公式

⑴异或:

AB＝AB＋

AB

⑵同或:

A⊙B＝AB＋

AB变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0

A0＝A

A1＝A

A⊙0＝A

A⊙1＝A

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB95？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！96⒌证明方法

真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。代数法：应用已证明的公式、定理来推导。

例1证明摩根定理:

A＋B＝AB AB＝A＋B证：用真值表法证明。同理可证A＋B＝AB97例2：证明

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB1+0＝10+0＝0110+0＝00+1＝1010+0＝01+0＝1100+1＝10+0＝000AB＋ABAB＋ABA⊙BA

BBA证：用真值表法证明。证毕98证明：推广之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB+=++=+++=++1吸收吸收例3：证明包含律CAABBCAABCCAAB+=+++=99二、逻辑代数的重要规则⒈反演规则F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”100使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。例2：已知例3：已知长非号不变与变或时要加括号101⒉对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变例:求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。102推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。例:证明包含律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证毕例：如则103f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用D+EF代替A，则该等式仍然成立，即：

(D+EF)(B+C)=(D+EF)B+(D+EF)C

由式(A+A=1)，故同样有等式：⒊代入规则104§3逻辑函数的化简一、逻辑函数的表达形式函数表达式：真值表：卡诺图：例：函数F=AB+ACABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。010100110100011110CAB105二、函数表达式⒈基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式106⒉

最小项表达式⑴最小项及最小项表达式如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。

假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。107变量的各组取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1对应的最小项及其编号最小项编号例：三变量函数的最小项：编号规则:原变量取1,反变量取0。108即n个变量的所有最小项之和恒等于1。所以=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.=m(2,3,6,7)1092）当时，。⑵最小项的性质：1）只有一组取值使mi＝1。3）全部最小项之和等于1，即∑mi＝1。110最小项的性质(续)5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。4）n变量的最小项有n个相邻项。一对相邻项之和可以消去一个变量。相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。111⑶

最小项表达式的求法观察法一般表达式：→除非号→去括号→补因子真值表法除非号去括号补因子方法112用真值表法求最小项表达式例：函数F=AB+ACABC F000 001 010 011 100 101 110 111 1111其余补00000113由一般表达式直接写出最小项表达式（了解）例：函数F=AB+AC所以:

F=∑m(1,3,4,5)114⒊

最大项表达式（自学）⑴最大项及最大项表达式如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项，也叫标准和。假如一个函数完全由最大项的积组成,那么该函数表达式称为最大项表达式。115变量的各组取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1对应的最大项及其编号最大项编号例：三变量函数的最大项：编号规则:原变量取0,反变量取1。116所以与最小项类似，有注意：变量顺序.例如：最大项表达式:F117⑵最大项的性质：1）只有一组取值使Mi＝0。3）全部最大项之积等于0，即∏Mi＝0。2）当时，。118最大项的性质(续)4）n变量的最大项有n个相邻项。一对相邻项之积可以消去一个变量。5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。119

以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。=m(2,3,6,7)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏M(0,1,4,5)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)同理120？举例说明：Mi和mi的关系121三、逻辑函数的化简

同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）——掌握卡诺图化简法——熟练掌握列表化简法——不要求122该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。⒈代数化简法1231）表达式中"与项"的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个"与项"中的变量个数最少。解：函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：124125例：反演被吸收被吸收配项126⒉卡诺图化简法将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。127⑴变量卡诺图

二变量卡诺图（A，B）mo

m2m1

m30 101ABAB0 101mo

m1m2

m30 101BABA0 101一对相邻的最小项之和可以消去一个变量。128mo

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA三变量卡诺图mo

m1m2m3m6m7

m4

m50100011110CAB0001111001BCA一对相邻的最小项之和可以消去一个变量。1290001111000011110CDAB01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB四变量卡诺图一对相邻的最小项之和可以消去一个变量。130五变量卡诺图（不要求）000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310对称轴n≥5变量的卡诺图，可由n－1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。131说明：⑴2个或以上变量，按循环码规则排列；⑵每个小方格对应一个最小项；⑶相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；⑷具有逻辑相邻性的方格有： 相接——几何相邻的方格； 相对——上下两边、左右两边的方格； 相重——多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。逻辑相邻的最小项可以消去互补变量132三变量卡诺图逻辑相邻举例0001111001BCA相接相对0001111001BCA133四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对0001111000011110CDAB134五变量卡诺图逻辑相邻举例（不要求）000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310相重对称轴135⑵函数卡诺图

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。方法真值表→填卡诺图表达式→一般与或式→填卡诺图化成最小项表达式→填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。136由真值表填卡诺图ABC