2024年山东省济南市莱芜区中考一模数学试题（含答案解析） (二)

2024年山东省济南市莱芜区中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-2的倒数是（）

A.2B.—2C.~D.—

22

【答案】D

【分析】

本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可.

【详解】解：=

，-2的倒数是二，

2

故选：D.

2.下列几何体中，其主视图是三角形的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了判断简单几何体的三视图，旨在考查学生的空间想象能力.

【详解】解：A：主视图为三角形，符合题意；

B：主视图为矩形，不符合题意；

C：主视图为圆，不符合题意；

D：主视图为矩形，不符合题意；

故选：A

3.2023年我国城镇新增就业12440000人，将数字12440000用科学记数法表示为（）

A.0.1244xl08B.1.244xl08C.1.244xl07D.12.44xl07

【答案】C

试卷第1页，共30页

【分析】

本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为

axlO"的形式，其中141al<10,〃为整数是关键，科学记数法的表示形式为axlO"的形

式，其中14同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多

少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于10时，〃是正整数;

当原数的绝对值小于1时，〃是负整数，根据科学记数法的表示方法求解即可；

【详解】12440000=1.244xlO7.

故选：C.

4.剪纸艺术是我国独有的艺术形式之一，下列剪纸既是轴对称图形，又是中心对称图

形的是()

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条

直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕

着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中

心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义

进行逐一判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

B.是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

C.是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

D.既是轴对称也是中心对称图形，故该选项符合题意；

故选：D.

5.如图，AB//CD,/ECD=80。，EF平分NBEC,则()

cFD

试卷第2页，共30页

A.100°B.120°C.130°D.160°

【答案】C

【分析】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质,

角平分线的定义，由平行线的性质可得，4EC=80。，由邻补角的性质可得4EC=100。,

由角平分线的定义可得48历=50。，再由邻补角的性质即可求解.

【详解】ZECD=80°,

ZAEC=NECD=80°,

ZBEC=180°-ZAEC=180°-80°=100°,

EF平分/BEC,

ZBEF=-ZBEC=-xl00°=50°,

22

ZAEF=180°-ZBEF=180°-50°=130°,

故选：C.

6.实数a、6在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

ba

IIII.I，II.tII

-5-4-3-2-1012345

ab

A.a+b<0B.a-b>0C.-2a>-2bD.—<—

33

【答案】B

【分析】此题考查实数与数轴，实数的运算和比较大小等知识，熟练掌握运算法则是解

题的关键.先由数轴得到2<3,-2<b<-l,再逐项做出判断即可.

【详解】解：由数轴可知，2<a<3,-2<b<-l,

a+b>0,a-b>0,-2a<0<-2b,,

33

综上可知，只有选项B正确，

故选：B

7.下列运算正确的是()

A.a~+6~=(a+6)~B.(a-

C.(-a。2)=—a^b5D.(%).(-2a6~)=-2a/，

【答案】D

【分析】

此题主要考查了完全平方公式的运用和同底数幕的乘法运算以及幕的乘方运算，根据完

试卷第3页，共30页

全平方公式和同底数幕的乘法运算法则以及幕的乘方运算法则计算后判断即可.

222

【详解】解：A.a+b=(a+b)-2ab,原计算错误，故该选项不符合题意;

B.(a-b>)=a2-2ab+b2,原计算错误，故该选项不符合题意;

C.(-ab2>)=-a3b6,原计算错误，故该选项不符合题意；

D.(ab2)-(-2ab2)=-2a2b4,原计算正确，故该选项符合题意；

故选：D.

8.某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九(1)班的小华，小丽,

小军，小明积极报名参赛，从他们4人中选2名参赛，选中小华和小军的概率是()

1111

A.—B.-C.-D.-

12632

【答案】B

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌

握树状图或列表法是解题的关键.

【详解】解：设小华、小丽、小军、小明分别用4B、C、。表示,

画树状图如下：

开始

由树状图可得，共有12种等结果，其中选中小华和小军的有2种，

，选中小华和小军的概率是二2=1

126

故选：B.

9.如图，在中，AC=BC,NBAC=36°,以点/为圆心，以/C为半径作弧交48

于点。，连接CD,以点。为圆心，以。。为半径作弧交4D于点£,分别以点为

圆心，以大于!CE的长为半径作弧，两弧交于点尸，作射线。2交ZC于点尸，以下结

2

论不正琥的是()

A./CDF=36°B.AF=BD

试卷第4页，共30页

AB^AABC

【答案】D

【分析】

此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，

解一元二次方程，根据题中的作图步骤，得出。P平分再结合/C=3C,

NBAC=36。,可得出图中相等的边，相等的角，由此可证明A/CDSAOB,据此可解

决问题.熟练掌握各知识点是解题的关键.

【详解】解：根据题中的作图步骤可知，AC=AD,DP平分NCD4.

,：ABAC=36°,AC=BC,

：.ZCZ)^=Z^CZ)=1x(180o-36o)=72o,ZB=ZBAC=36°,ZACB=1OS°

：・NCDF=N4DF=I7牙=36,ZCFD=12°,ZBCD=ZACB-ACD=36°,

2

故A选项中的结论正确.

ZA=ZADF=36°,

AF=DF.

ZFCD=ZCFD=72°,

・•・DF=CD.

丁/B=NDCB=36。,

：.CD=BD,

：.AF=BD.

故B选项中的结论正确.

VZBAC=ZCDF=36°,ZACD=ZDCF,

AACDS^DCF,

,ACCDACAF

••=,叫"=,

CDCFAFCF

AF+CF〔CFAF人CF

即Rn：-------=1+一=一,令——=t,

AFAFCFAF

则1+1J,解得：yI二1（负值舍去）,

t2

.CFV5-1

••-------------•

AF2

不妨令。尸=有-1,AF=2,

则AD=AC=y/5-1+2=45+1.

又：BD=AF=2,

试卷第5页，共30页

/.715=75+1+2=6+3,

,CF_=布-1=4囱一8

'AF石+3（3+君卜（3-6）4

故C选项中的结论正确.

.广△CDF=CF二期-1,

S&ADF4F2

.S“DF_CF_也_3-也

S/XACD/CV5+12

又.广用_AD_也-\

S/L4BCABJ~5+32

:.建辿=三具虫」=出一2,

S/LIBC22

故D选项中的结论错误.

故选：D.

10.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角

形.有下列结论：

①已知Ay43c是比例三角形，AB=4,BC=5,那么/C=2百；

②在。8c中，点。在/C上，且4D=3C,ZABD=NC,那么AA8C是比例三角形;

③如图，在四边形4BCD中，己知BD平分/ABC,AB1AC,ADLCD,

那么“3C是比例三角形；

④已知直线;；=岳+30与x轴、V轴交于点48,点C（3,0）,那么小BC是比例三角

形.

其中，正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

本题考查新定义比例三角形、勾股定理、相似三角形，理解新定义是解题关键.

试卷第6页，共30页

①应该有3种情况，②条件不足，③用相似三角形定义判定A/BCSADCN,得到

AC-=ADBC,进而求解乙4。8=44助，得至U48=/£),即可得证；④由解析式求48

坐标，确定三边长度，即可得证.

【详解】①三角形ABC是比例三角形，若AC?=/BBC,那么/C=2百；若/炉=4c・BC,

那么/C=£；若BC°=AB,AC,那么/C=25,因此①错误；

②已知NO=8C,ZABD=/C,无法证得三角形Z8C一条边的平方等于另外两条边的

乘积，因此②错误；

③因为所以/DZC=//CS,又因为48_L/C,ADVCD,所以

Z.ADC=Z.CAB,所以A4BCSADC4,---=---,可以得到/C?=/DBC;因为

ACAD

AD\\BC,所以N4DB=NCBD；又因为8。平分/4BC,所以ZABD=NCBD,

ZADB=ZABD,AB=AD,因此/C?=/公台。，三角形NBC是比例三角形，因此③正

确；

④已知直线的解析式，可以求出点/(-3,0)、点以0,3。)，那么/C=6,48=6,BC=6,

三角形任意一条边的平方都等于另外两条边的乘积，三角形ABC是比例三角形，因此

④正确；

综上所述，正确的序号有③④，答案是选项C.

二、填空题

11.因式分解：x2-3x=.

【答案】x(x-3)

【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2-3x=x(x-3).

考点：因式分解.

12.为刺激消费，某商店举行促销活动，凡在本店购物总额超100元，便有一次转动转

盘(如图)返现金机会，指针停在线上无效，重转一次，某顾客购物超100元，他获得

20元返现金的可能是.

试卷第7页，共30页

【答案叱

【分析】

本题主要考查了概率公式，随机事件A的概率尸(/)=事件A可能出现的结果数+所有

可能出现的结果数.

【详解】解：获得20元返现金的次数是1,则获得20元返现金的可能是」.

12

故答案为：—.

Y1

13.已知代数式丁三比二一大2,则工=

3x-22-3x

【答案】1

【分析】

本题主要考查了解分式方程，解题的关键是根据题意列出方程，先变分式方程为整式方

程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可.

【详解】解：•.•代数式厂三比一1大2,

3x-22-3x

A-............--2,

3x-22—3x

去分母得：x+l=2(3x-2),

解得：x=l,

经检验X=1是原方程的解.

故答案为：1.

14.如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边/C上，则度.

【答案】12

【分析】

本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、

正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得/胡£、ZDAB,进

而可得答案.

【详解】：正五边形的内角=0-2)x180。=]08。,

试卷第8页，共30页

十、、-uTT/4A.qA（6—2）x180°

,•,正六边形的1内角=^^——-----=120°,

6

ZBAE=nO0,

ZDAE=ZBAE-ZDAB=120°-108°=12°,

故答案为：12.

15.某学校的八年级学生到距学校2千米的劳动基地参加植树活动，一部分人步行，另

一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往，如图，4，4分别表示步行和骑车的人前

往目的地所走的路程兴千米)随时间式分钟)变化的函数图象,则骑车的人用分

钟追上步行的人.

“/千米

2------------------

051015202530x/分

【答案】y

【分析】

本题考查的是从函数图象中获取信息，理解坐标含义是解本题的关键，先求解骑车与步

行的速度，再建立方程求解即可.

【详解】解：由图象可得：骑车的人的速度为每分钟2+(2575)=0.2千米，

步行的速度为每分钟：2+30=3千米，

设骑车的人用x分钟追上步行的，则

—(x+15)=0.2x,

15''

解得：尤=:，

2

•••骑车的人用y分钟追上步行的，

故答案为：v-

2

16.如图，在矩形4BCZ)中，AB=2,BC=3,点尸为CD的中点，将尸沿4尸折

叠，点。的对应点为连接尸。并延长，交于点尸，CP的长为.

试卷第9页，共30页

3

【答案】4

【分析】

此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定及性质，过点〃作

分别交ZB、CD于点M、N,即可判定四边形/跖VD是矩形，根据折叠的性质得出

ZD=ZAD'F=90°,DF=D'F=1,AD=AD'=3,根据直角三角形的性质求出

4MAD'

AMAD'=/FD'N,进而推出根据相似三角形的性质得出=,

DNFD

,,,_____,,3

设D，N=x,贝l]MD'=3-x,根据勾股定理求出=根据比例的性质求出x=1，

根据勾股定理求出网=:,再根据锐角三角函数定义求解即可.根据相似三角形的性质

求出。W是解题的关键.

【详解】解：如图，过点〃作跖V〃/。，分别交A3、CD于点W、N,

•.•四边形/BCD是矩形，

；.NBAD=ND=90°,AD=BC=3,AB=CD=2,

:MN//AD,

：.ZAMN+ZBAD=180°,ZD+ZDNM=180°,

ZAMN=ZDNM=90°,

四边形4VCVD是矩形，ZAD'M+ZMAD'=90°,

:.MN=AD=3,

:点尸为C。的中点，

DF=CF=\,

:将尸沿胫折叠，点。的对应点为DC,

/.ZD=ZAD'F=90°,DF=D'F=\,AD=AD'=3,

：.ZAD'M+NFD'N=90°,

：.ZMAD'=AFD'N,

试卷第10页，共30页

又：ZAMN=ZDNM，

：.△AMD"八D'NF,

.AMAD'

,•丽―初‘

设。W=x,则M>=3-x,

AM=AD'2-MD'2=^32-（3-X）2=yJSx-x?，

.<6x-x23

X1

3

：.x=-^x=O（舍去），

3

即Z）W=|,

FN=1DF-DN。=J-[I=|>

3

CP叽1.2

tanZCFP=——

CFFNi4

5

3

：.CP=-

4

3

故答案为:

4

三、解答题

17.计算：一［一匕］+(^-3.14)°-cos45°.

【答案】-2.

【分析】本题考查了化简绝对值，负整数指数幕的运算，零指数幕运算和三角函数值的

运算，先化简绝对值，负整数指数幕的运算，零指数幕运算和三角函数值的运算，再进

行实数的运用即可，熟练掌握运用法则是解题的关键.

【详解】

解：原式="一3+1一包，

22

=-2.

3(x-l)<x+l

18.解不等式组x+2x，并写出所有整数解.

---->—

135

【答案】不等式组的解集为-5Vx<2；-4,-3,-2,-1,0,1

【分析】

试卷第11页，共30页

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识，能根据不等式

的解集找出不等式组的解集是解题的关键.

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

3(x-l)<x+l@

解：\x+2x公

1-3---->-5-②

由①得：x<2,

由②得x>—5，

，不等式组的解集为-5<x<2,

.,.整数解为-4,-3,-2,-1,0,I.

19.如图，已知。为Y4BCD对角线NC的中点，过点。的直线与4B、CD的延长线

相交于点£、F.求证：BE=DF.

FDC

ABE

【答案】见详解

【分析】

本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性

质得出AB=CD,NOAE=ZOCF,再用ASA证明AAOE冬MOF,即可证明AE=CF,

再利用线段的和差和等量代换即可证明BE=DF.

【详解】

证明：•.•四边形/BCD为平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

NOAE=ZOCF,

:。为/C的中点，

AO=CO,

在△/£?£和ACO尸中

ZOAE=ZOCF

<AO=CO,

NAOE=ZCOF

:.AAOE知COF(ASA),

AE=CF,

试卷第12页，共30页

AE-AB=CF-CD,

即BE=DF.

20.如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是

其侧面结构示意图，量得托板=120mm,支撑板CD=110mm,底座DE,托板48

固定在支撑板顶端。处，且CS=40mm,托板可绕点C转动，支撑板可绕点。

转动.

图1图2

⑴若/DC3=70。，NCDE=60°,求点/到直线DE的距离.(精确至iJO.lmm)

(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把绕点。逆时针旋转20。后，再将CD绕点。

顺时针旋转，使点2落在直线。£上，求旋转的角度大约是多少度？

参考数据：(sin40°*0.643,cos40°»0.766,tan40°»0.839,sin20°»0.342,

cos20°®0.940,tan20°®0.364,G*1.732).

【答案】⑴点/到直线DE的距离是156.5mm

(2)40°

【分析】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；

(1)过点C作CFLDE于点尸，过点/作NGLCF于点G,由题意易得。尸=55方，

则有/BCF=4CG=40。，然后问题可求解；

(2)由题意易得ZZ)C8=90。，然后可得1211/8。。=五=询70.3636,进而问题可

求解

【详解】(1)

解：过点。作CFLDE于点尸，过点/作NGLCF于点G,

试卷第13页，共30页

在RtZ^C。厂中，ZCDE=60°,

CF

sin60°=—

CD

,6_CF

・—-TT5

:・CF=556

•：CF±DE,

：.ZCFD=90°f

：./DCF=90°-ZCDE=90°-60°=30°,

ZBCF=ZDCB-ZDCF=70°-30°=40°,

・・・ZBCF=ZACG=40°f

在Rt/iZCG中，ZACG=40°,AC=120-40=SOmm,

：.cos40°=—,0.766=—,

AC80

・・・CG=61.28,

・・・G/=CG+C尸=61.28+55凤156.5,

・・•平行线间的距离处处相等，

...点N到直线DE的距离是156.5mm.

(2)

在RM8CZ)中，

40

tanNBDC=——=——«0.3636,

CD110

・•・NBDC=20°,

・・・60°-20°=40°,

试卷第14页，共30页

/.CD旋转40。.

21.某校对九年级学生进行了一次“读名著诵经典”知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学

生(人数相同)的竞赛成绩(满分100分)进行整理，描述分析，下面给出部分信息：

甲班成绩的频数分布直方图如图所示(数据分为6组：A：40<^<50,B：50Mx<60,

C:60Vx<70,D:70Mx<80,E:80Vx<90,F:904尤4100),其中90分以及90分

以上的人为优秀；甲班的成绩在70Mx<80这一组的是：71,72,72,73,74,75,76,

77,77,78,78,78,79.甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如下表：

平均数中位数优秀人数

甲班成绩76m3

乙班成绩73725

⑴统计图中50Mx<60组对应扇形的圆心角是度；

(2)请补全条形统计图；

(3)表中m的值是；

(4)如果该校九年级学生有300名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人?

【答案】(1)57.6

⑵见解析

(3)77

(4)24

【分析】

本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力.

(1)根据E组的条形统计图和扇形统计图的数据求出抽取的甲班学生人数，即可求解;

(2)计算出C、尸组的人数即可求解；

(3)中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数).

(4)计算出样本中优秀人数所占比例即可求解.

试卷第15页，共30页

【详解】（1）解：由题意得：抽取的甲班学生人数为：17+34%=50（人）

O

，统计图中50Mx<60组对应扇形的圆心角是：—X360°=57.6°

故答案为：57.6

故答案为：77

（4）解：300X2_=24（人）

50x2

即：估计九年级学生成绩优秀的有24人

22.如图，为O。的直径，BE与G。相交于点C,过点C的切线垂足

为点D.

E

（2）若/3=6,CB=4,求CD的长.

【答案】（1）见解析；

⑵CD=拽.

3

【分析】（1）连接OC,由切线的性质，等腰三角形的性质即可求证；

CDAC

（2）连接ZC,由勾股定理求出/C的长，证明A/DCSA/CB,得出丁=），即可

求解;

试卷第16页，共30页

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，和勾股定理,

熟练掌握以上知识的应用是解题的关键.

【详解】

(1)证明：连接OC,

・・・CQ是。。的切线,

・・・OCLCD,

又

・・・AE//OC,

：.ZE=ZOCB,

・.・OC=OB,

：./B=ZOCB,

・・・/E=/B,

**•AE=AB;

(2)连接NC,

NB为。。的直径，

AZACB=90°,即/C_L8E,

.,.在中，由勾股定理得/C=，/炉_叱=用孑=2右，

:AB=AE,AC1BE,

试卷第17页，共30页

ZEAC=ZBAC,

又NADC=ZACB=90°,

...LADCSAACB,

.CD_ACCD2V5

••一,--------,

BCAB46

：.CD=^-.

3

23.为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购

部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270

元.

(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；

(2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的:，那么购买足

球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？

【答案】(1)每个足球的价格为45元，每个篮球的价格为30元

(2)足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，此时总费用为3300元

【分析】

本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函

数关系式.

(1)设篮球的单价为N元，足球的单价为V元，可得':即可解得答案；

[3x+4y=27。

(2)设购买。个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的!得：a>!(100-a),求出

^>20,而平=45。+30(100—。)=15。+3000,根据一次函数性质可得答案.

【详解】(1)解：设篮球的单价为&元，足球的单价为y元，

根据题意得：[xw+上2y=;1"2鼠0

[3x+4y=270

x=30

解得

7=45

每个篮球的价格为30元，每个足球的价格为45元；

(2)

解：设购买。个足球，则购买(100-。)个篮球，购买足球和篮球总花费为沙元,

根据题意得：a>y(100-a),

试卷第18页，共30页

解得a之20,

犷=45。+30(100-a)=15«+3000,

vl5>0,

.,・沙随。的增大而增大，

.•・当。=20时，，取最小值；

.•・当〃二20时，少取最小值，最小值为15x20+3000=3300,

••・足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，最少总费用为3300元.

24.如图，一次函数了=-^x+l的图象与反比例函数>的图象交于点尸(。,2),

与y轴交于点Q.

⑴求a、左的值；

⑵直线N5过点尸，与反比例函数图象交于点N,与x轴交于点3,AP=PB,连接

①求△/尸。的面积；

②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、。为顶点的四边形

是平行四边形，请求出所有符合条件的点"坐标.

【答案】(l)a=-2,k=-4

(2)①李②卜川，(一4,1)

【分析】

(1)将尸点坐标代入一次函数解析式可求出。的值，再将坐标代入反比例函数解析式

可求出左的值；

(2)过点/作了轴，交尸。于点H,设2的坐标(80),点/的坐标为日耳，根

据尸的纵坐标，可以求出〃的值，进而求出A点坐标，求出。点坐标，根据可求出77点

坐标，进而求出的长，S&APQ=S^PH+SMHQ，在VNPH和A/H。中，AH为底边,

高分别是尸点、了轴到的距离，根据点P、点A的横坐标即可求得，根据面积公式

试卷第19页，共30页

计算即可；

（3）分两种情况，当血W和尸。为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来

确定M点纵坐标，进而求出M的坐标；当和NP为对角线时，以及平移来确定M

点纵坐标，进而求出对应”点坐标，从而求解.

【详解】（1）

解：⑴把点尸（。,2）代入了=-；x+l解得，a=-2,

把尸（-2,2）代入y=!解得，k=-4；

x

（2）

•?k=-4,

4

，反比例函数解析式为y=——.

x

①设8的坐标（。，0）,点N的坐标为（/，〃），

VAP=PB,尸（-2,2）,

〃=4,才巴代入y=_±得：Z=-1,

x

.♦.点/（-1，4）,

..,一次函数V=-；x+l的图象与夕轴交于点

...0的坐标为（0,1）,

过点N作轴，交PQ于点、H.则点"坐标（T,'|

试卷第20页，共30页

・••Sf。=SBH+S4H2=1+；xAHx1=p

（〃）

②设点Mm,----j,N,O,

VP（-2,2）,。（0,1）,点M、N、P、。构成平行四边形;

当MN和尸0为对角线时，如下图:

Q点可看做是将N点先向右平移I«I个单位，再向上平移。。个单位得到，

故M点也是相应关系，即尸点向右平移同个单位，再向上平移。。=1个单位，如下图:

故W点的纵坐标为尸点纵坐标加。。：加=2+1=3,

44

即——=3,m=——

m3

试卷第21页，共30页

M的坐标为w，3

N点可看做是将。点先再向下平移。。个单位，向左平移向个单位得到，

故〃点也是相应关系，即M点是尸点再向下平移个单位，再向左平移同个单位

m

m=-4,

故此时M点坐标为：（-4,1）；

综上，”点的坐标为：［一*3］，（-4,1）,

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的综合,待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，

解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用.并利用图像

的平移找到点与点之间的关系，从而求解.

25.在中，AB=4C,/8ZC=a,点。是射线/C上的一点，连接2D,将线

段2。绕点。逆时针旋转到。£,旋转角等于a,连接8£、CE.

试卷第22页，共30页

A

D

⑴当点。在线段/C上时，

①如图1,若a=60。，则线段CE与的数量关系是________,此时，

NDCE=°；

②如图2,若a=120。，则线段CE与线段4D有怎样的数量关系？请给出说明，并求出

此时NDCE的度数；

⑵当点。在射线NC上时，若a=90。，过点/作〃。后交8。于点"，AC=2CD,

猜想CE与的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴①CE=4D,120；②CE=eAD,/DCE=150。，理由见解析

Q)CE=MAM或CE=^~AM,理由见解析

22

【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似

三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

(1)①由SAS可证丝ACBE可得C£=/。，△4=/8CE=60。即可求解；②通过

证明△力AD,可得---=---=A/39/BCD=/BAD=12。°,即可求解；

ADAB

(2)分两种情况讨论：当点。在线段ZC上时，当点。在线段/C延长线上时，通过

设出CD的长度，由股定理可求CE的长，即可求解.

【详解】(1)

解：®vAB=AC,ZA=60°,

是等边三角形，

=ZACB=ZABC=60°,

将BD绕点D逆时针旋转60°得到DE,

DB=DE,ZBDE=60°,

:.ABDE是等边三角形，

BD=DE=BE,NDBE=60°=ZABC,

试卷第23页，共30页

・・・/ABD=/CBE,

"BDaCBE(SAS),

/.CE=AD,AA=ZBCE=60°,

ZDCE=120o；

故答案为：CE=AD,120；

②CE=&D,ZDCE=150°,理由如下：

・.・AB=AC,4=120。

ZABC=ZACB=30°,

如图所示，过点/作力厂IBC于尸，

:・BC=2BF,AF=-AB,

2

________巧

：.BF=y/AB2-AF2=—AB,

2

/.BC=s/3AB,

•••将。3绕着点。逆时针旋转120。，得到。£,

DB=DE,ABDE=120°,

ADBE=ZDEB=30°=/ABC,

ZABD=ZCBE,

同理可得BE

:./\ABD^/\CBE,

CEBC[T

：.—=—=J3,ZBCD=ZBAD=120°,

ADAB

CE=43AD,ZDCE=ZDCB+ZBCE=150°；

(2)

解：CE=®~AM或CE=叵~AM,理由如下：

22

如图，当点。在线段/C上时，

试卷第24页，共30页

A

vAM//DE,

/.ZAMD=NBDE=90°,

AC=2CD,

/.AD=CD,

同理可证明AABDs^CBE,

—亚

ADAB

设CD=x,则=AB=AC=2x,CE=®x，

BD=^AB-+AD2=&，

•••S..^-ABAD^-BD-AM,

/AADRUn22

AB•AD_2x-x_2\/~5x

BDV5x5

如图，当点。在线段ZC的延长线上时

试卷第25页，共30页

A

vAM//DE,

ZAMD=NBDE=90°,

'：AC=2CD,

・•・设CZ)=x,则4Z)=3x,AB=AC-2x,CE=3Cx，

BD=siAB2+AD2=V13x，

•••=-AB-AD=-BD-AM,

4ADU22

AB•AD2x-3x6\f\3x

二.AM=-----------=i—=----------,

BDV13x13

.CE_3A/2X_V26

'AM~6V13-2

-------x

13

57

・•・CE=--AM;

2

综上所述，CE=®~AM或CE=^^~AM.

22

26.抛物线与x轴交于4,5两点,与丁轴交于点G顶点为D已知点5（-4,0）,C（0,4）.抛

物线的对称轴是直线X=-1,P为抛物线上一动点，点尸的横坐标为加（加＞-|）,过

点尸作x轴的平行线交抛物线于另一点M.

试卷第26页，共30页

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)当是等边三角形时，求加的值及此时三角形的边长；

⑶过点尸作x轴的垂线尸N,垂足为N,设直线九W交直线3c于点尸，是否存在这样

的加值，使MN=2MF?若存在,求出此时正的值；若不存在，请说