广东省2023-2023学年高三年级第一学期期末质量检测理科数学试题

广东省2023—2023高三年级期末质量检测考试数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【1】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【2】复数在复平面内对应的点的坐标为（）（A）（B）（C）（D）【3】若，且为第四象限角，则的值等于（）（A）（B）（C）（D）【4】已知左、右焦点分别为的双曲线：过点，点在双曲线上，若，则（）（A）（B）（C）（D）【5】已知，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（）（A）（B）（C）（D）【6】若干年前，某教师刚退休的月退休金为元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图。该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图。已知目前的月就医费比刚退休时少元，则目前该教师的月退休金为（）（A）元（B）元（C）元（D）元【7】已知向量与共线且方向相同，则（）（A）（B）（C）（D）【8】拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外（内）侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。如图所示，以等边的三条边为边，向外作个正三角形，取它们的中心，顺次连接，得到，图中阴影部分为与的公共部分。若往中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）（A）（B）（C）（D）【9】已知函数的最大值为，周期为，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若是偶函数，则的解析式为（）（A）（B）（C）（D）【10】如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）【11】在凸平面四边形中，，且，，，则的面积等于（）（A）（B）（C）（D）【12】已知函数在上存在导函数，若，且时，则不等式的解集为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。【13】二项式展开式中的常数项为。（用数字作答）【14】已知实数满足，则的最小值为。【15】已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为。【16】已知抛物线：经过点，直线分别与抛物线交于点，若直线的斜率之和为零，则直线的斜率为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分。【17】（本小题满分12分）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项。（1）求；（2）若，求数列的前项和。【19】（本小题满分12分）在多面体中，是边长为的正方形，，平面平面，，。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。【20】（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。【21】（本小题满分12分）已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。【22】（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系中，点，曲线的极坐标方程为，点在曲线上运动，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数。（1）求直线的极坐标方程与曲线的参数方程；（2