理论力学第三章

第3章

力系的平衡

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结论与讨论

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空间力系的平衡方程

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平面汇交力系的平衡

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平面力偶系的平衡

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平面任意力系的平衡条件与平衡方程2.平衡的几何条件结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF4例题1

已知：P，a

求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图（3）按比例作图求解

P

FBFA由图中的几何关系得

PBACD

FB

FAFAxFAy3.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。例题2

已知：P，a

求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解

PBACD

FB

FAFAxFAyxyBMFACFBCFBAFBCFCBFMFNC

已知：F，例题3求：物块M的压力。解：（1）取销钉B为研究对象（2）取挡板C为研究对象解得解得xyPABCD60°30°30°FBAFBC求：BA、BC杆的内力。例题4已知：图示简易起重机，P＝20kN解：取销钉B为研究对象B30°PFD30°yx90°45°30°60°F1F2ABCD90°45°F2BFBAFBC30°60°F1CFCBFCD求：F1、F2的关系。例题5已知：铰接连杆机构，在图示位置处于平衡状态，杆重不计。解：取销钉B为研究对象沿x轴投影，得取销钉C为研究对象沿y轴投影，得又因为，FBC=FCB§3.2平面力偶系的平衡若物体在平面力偶系作用下处于平衡，则合力偶矩等于零反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。

由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶矩的代数和等于零。称为平面力偶系的平衡方程？MaaABCa例题6求：A、C处约束反力。已知：a,M解：（1）取AB为研究对象（2）取BC为研究对象BCABMFBFCFA若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力对任意点之矩是否还等于力偶矩。CM1M2ABD解:

(1)取AB为研究对象(2)取CD为研究对象例题7求：平衡时M1、M2之间的关系。已知：AB=CD=a,∠BCD=30°解得解得因为FB=FCB

FB

FAM1AM2CD

FC

FD注意！（1）明确研究对象（2）正确作出受力图（3）列方程求解文字不宜过多，但也不能过少。力不允许多画，但也不能少画。ADCBRoABC问刚体在四个力的作用下是否平衡? 若改变F1和F1′的方向，则结果又如何。当M=PR时，系统处于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，这种说法对吗。图示系统平衡否?若平衡A、B处约束反力的方向应如何确定。思考题？例题8

两个完全相同的矩形。自重不计求A、B处的约束反力。ACFAFC解：对于整体而言，力偶是平衡的，即A，B两处的力必为一对平衡力，如图。ABCabFAFBFC，FA之间的距离然后取矩形AC为研究对象力偶平衡的方程式为即§3.3平面任意力系的平衡条件与平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程1.平面任意力系的平衡方程例题9

已知：M=Pa

求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解法1:(2)画受力图(3)建立坐标系,列方程求解(1)取刚架为研究对象2a

PaMABCDFAxFAyFB

解法2解上述方程，得

解法3解上述方程，得（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的三种形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFBFCPACaaaMB一等边三角平板重为P，上面作用已知力偶M。用三根无重杆通过铰链连接，如图所示。求：三杆对三角平板ABC的约束反力。例题11yxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F3F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二力矩式2.平面平行力系的平衡方程平面任意力系的基本形式假设所有的力都平行于y轴，则有分布荷载的合力及其作用线位置q(x)荷载集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB合力大小：由合力之矩定理：合力作用线位置：hxdxlx☆两个特例(a)均布荷载Ph(b)三角形分布荷载Phlq0qlxx解：取AB梁为研究对象例题10

悬臂梁如图所示，上面作用均部荷载q和集中荷载F。求固定端的反力。PAlBFqAlBFqFAxFAyMA解：取梁ABCD为研究对象

图示外伸梁，受到三角形荷载q=1kN/m，以及集中荷载F=2kN，求：A、B支座反力。例题12D1m2m1mABCFqPFNBFNAABqC2a4aGM

如图所示水平梁AB，梁的跨度为4a，自重G作用在梁的中点C。梁AC段上作用均布荷载q，梁的BC段上作用力偶M=Ga。求A和B处的约束力。例题13FBFAyFAx解：以水平横梁AB为研究对象。

AB2m2m6m12mG1G2G3

塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)当平衡荷重G3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？例题14解：取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得(1)起重机不翻到AB2m2m6m12mG1G2G3

空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得则有

75kN＜G3＜350kN列平衡方程解方程得(2)取G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力。PADEBCrFBxFByFAPADEBCaara

构架如图，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例题15解：取图示部分为研究对象PADEBCaar45°FTEPADBrFAxFAyFB45°

构架如图，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例题16解：取梁和滑轮D为研究对象PAqaaaaBPAqBFAxFAyMAF1F2

构架如图，已知：a=3m，q=4kN/m，P=12kN求：A处的反力。例题17解：取刚架AB为研究对象其中F1＝12kN，F2=6kNDBMFACFNCFBA解：取图示部分为研究对象假设BC＝aBFCFM例题18

简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F，A、B、C三处均为光滑铰链，角度已知。杆重不计。求：托板给物体M的压力。另解例题3。MABDCaaaaMBCFBFCFDADCFA解：取弯杆BC为研究对象取T形杆ADC为研究对象求：A处的反力。例题19

图示组合构架，弯杆BC上作用一力偶M。§3.4空间力系的平衡方程1.空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和等于零2.空间力偶系的平衡方程平衡条件：FR=0

Mo=0′平衡方程:空间平行力系平面任意力系3.空间任意力系的平衡方程4.空间平行力系的平衡方程

空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束反力和各杆的内力。例题20解：

建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分∠CBD。由于ABCD是正角锥，所以AB与y

轴的夹角为θ。

三杆内力在坐标面Bxy上投影1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。

为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Bxy上投影，然后再向轴上投影。力FAC

和

FAD

在轴

x，y上的投影：3.联立求解。负号表示三杆都受压力。2.列平衡方程。联立求解得4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。5.同理，再取球铰链C和D为研究对象，可求得：xzy20075ABFyFzFx

镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀尖B的坐标x=200mm，y=75mm，z=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束反力的各个分量。例题21xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz刀杆根部是固定端，约束反力是任意分布的空间力系，通常用这个力系向根部的A点简化的结果表出。一般情况下可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶。解：1.取镗刀杆为研究对象,受力分析如图。3.联立求解。xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz2.列平衡方程。已知：

Q=100kN，P=20kN，等边△ABC边长a=5m，HD＝l=3.5m，=30°,ED＝AD/3求：各轮的点面反力。又当=0°时，最大载重Pmax是多少。例题22解:取起重机为研究对象FAFCFBFA=26.3kNFC=43.4kNFB=50.3kNCABEHDy

xPAB,CDQHz30°解:取起重机为研究对象CABEHDxy

PAB,CDQHzFAFCFB解得:

FA=19.3kN，FB=53.9kN，FC=46.8kN（2）当=0°，由上面第一个方程得：为确保安全，必须：FA≥0例题23如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一水平力F，且F=2G。杆重不计，求各杆的内力。2.列平衡方程。综上，有解：1.取板为研究对象，受力分析如图。

结论与讨论1、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行封闭。平衡方程为

2、平面力偶系的平衡方程为

ΣM

=0一个独立方程，可求解一个未知量。

本章讨论了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系、空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系及空间任意力系的平衡。应用几何条件或平衡方程都可求解两个未知量。3、平面平行力系平衡方程为