西南交通大学振动力学-第4章连续系统的振动(I)

第4章

连续系统的振动（I)李映辉西南交通大学2015.092023年2月2日《振动力学》22023年2月2日中国力学学会学术大会‘2005’22023年2月2日2声明本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2023年2月2日《振动力学》3教学内容连续系统的振动2023年2月2日《振动力学》3弦、杆的的振动梁的横向的振动薄板的振动连续系统固有特性的近似解法2023年2月2日《振动力学》4教学内容连续系统的振动/弦、杆的振动2023年2月2日《振动力学》4弦、杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动2023年2月2日《振动力学》5连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动

连续系统：具有分布质量和分布弹性的系统。如柔索或弦、梁、板等。

连续系统的运动状态可用时间和坐标的连续函数来描述y=f(x,t)基本假设如下：（1）材料是均匀连续的，且各向同性；

（2）线弹性，即服从胡克定律；

（3）小变形。2023年2月2日《振动力学》6连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动4.1弦、杆的振动弦、绳索构件：悬索桥的索[图4.1(a)]、斜拉桥的斜拉索[图4.1(b)]、悬索屋顶结构[图4.1(c)]、高压输电线[图4.1(d)]、小提琴、胡琴等琴弦。2023年2月2日《振动力学》7连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动4.1.1弦横向振动方程两端固定，张力T0

，单位体积质量ρ，横截面积A，长度l，如图4.2。

开始受干扰（冲击力或位移），干扰消失后，弦将在Oxy平面内发生横向自由振动。2023年2月2日《振动力学》8连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动(1)离散化方法

将弦任意分割为n+1段，如图4.3（a）。将每段的质量对半聚缩到两端。各质量点质量为mi(i=1,2,…,n)，且mi=ρA.Δxi。

使连续系统简化为一个n自由度的离散系统振动问题。2023年2月2日《振动力学》9连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动用yi表示各质点mi偏离平衡位置的横向位移，设各质点mi作微振动。考查3个相邻质点mi-1、mi和mi+1，mi受力如图4.3（b）所示。2023年2月2日《振动力学》10连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动质点mi的横向振动方程为式中αi、

βi分别为质点mi上两相邻弦段的张力T0与x轴的夹角。对微振动，sinαi≈

tanαi,sinβi≈tanβi,且代入整理得2023年2月2日《振动力学》11连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动

令yi-1=yi-yi-1,yi=yi+1-yi,代入式（4.1）得两边同除以xi，得令xi0,离散系统趋近连续系统。为弦横向自由振动方程。2023年2月2日《振动力学》12连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动（2）连续化方法在离左边固定端x处取微段dx[图4.4a]，x点的横向位移y=y(x,t)，其质量为dm=ρAdx。微段受力如图该微段的运动方程为

对微幅振动，有2023年2月2日《振动力学》13连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动因=y/x，得2023年2月2日《振动力学》14连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动4.1.2弦横向自由振动将（4.2）简写为式中c2=T0/ρA,c为波沿弦长度方向传播速度.式（4.3）一般称为一维波动方程。2023年2月2日《振动力学》15连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动设（4.3）的解为式中,Y(x)为弦的振型,而T(t)为弦的振动方式，式（4.4）代入（4.3）得整理得方程中含x和t两个变量，这种方法称为分离变量法。2023年2月2日《振动力学》16连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动因两边分别为x和t的函数，两边必为同一常数，设为-ω2，得式（4.6a）和式（4.6b）的解分别为（4.7b）称为振型函数，表明弦按固有频率作简谐振动的振动形态，即为主振型。

代入得2023年2月2日《振动力学》17连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式中A、B、φ、ω为4个待定常数，除需振动的初始条件外，还需端点条件确定。对两端固定弦，边界条件为代入（4.8）得2023年2月2日《振动力学》18连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式（4.9）为弦振动的特征方程，也就是频率方程，由于对应于正弦函数为零的固有频率ω值应有无限多个，即所以为此，对应于无限多阶的固有频率ωn，就有无限多阶的主振动，代入（4.8）得式中为主振型，即2023年2月2日《振动力学》19连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动通常称Y(x)为特征函数。为此Yn(x)为一特征函数族，主振型也应是一函数族。通常，弦的自由振动为无限多阶主振动的叠加，或式中An、ϕn或Cn、Dn根据初始条件来决定。

设初始条件为2023年2月2日《振动力学》20连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动代入式（4.13b），有把f1(x)、f2(x)按傅里叶级数展开，有式中2023年2月2日《振动力学》21连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动由式（a）、（b），得弦的自由振动响应为在求解弦的自由振动微分方程的过程中，要注意以下几点：（1）方程（4.7b）的解必须满足初始条件和边界条件。2023年2月2日《振动力学》22连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动初始条件和边界条件称为定解条件，只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题（或柯西问题）；没有初始条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题，两者皆有称为混合问题。

（2）特征方程（频率方程）由边界条件获得，解由无限多的特征值组成的。（3）特征函数族中的An是未定振幅，故Yn(x)仅描述了振型的形状。2023年2月2日《振动力学》23连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动（4）系统的固有频率中，当n=1时，，称为基频。较高次的频率ωn(n=2,3,4,…)是基频的整数倍，ωn与ρ、T0、l有关。可知：琴弦紧一些，可调高音调，松一些可调低音调。图4.52023年2月2日《振动力学》24连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动3.弦的横向强迫振动的微分方程及其解两端固定，长l的弦上，作用横向分布力q(x,t)，弦线作强迫振动，如图4.6所示。设张力T0，单位体积质量和横截面积A皆为常量,强迫振动方程为2023年2月2日《振动力学》25连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式中c2=

T0/ρA，振型函数为振动方式Hn（t）为未知的时间函数，振型函数必须满足边界条件。因此，令也必须满足边界条件，同时式（4.13）的解也应满足边界条件，设方程（4.15）的解为2023年2月2日《振动力学》26连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式（4.16）代入式（4.15），得设An=1，上式两边乘以，对x在[0,l]上积分，根据振型函数正交性得式中与无阻尼单自由度系统在外激励下方程形式相同，其解为：2023年2月2日《振动力学》27连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式中,为待定常数,由初始条件决定。分别表示广义坐标和广义速度的初始值，称为广义力。将式（4.18）代入式（4.16）中，可得弦的强迫振动解，即得系统在初始条件下和任意激振的响应。2023年2月2日《振动力学》28连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动【例4.1】在一旋转的圆平台上，沿直径方向安装了一根弦AB，弦内初拉力为T0，弦长为l，弦的一端A离圆平台的圆心距离为l1，弦在圆平台上作微振动，如图4.7（a）。在这种情况下，弦实为测量平台旋转角速度的敏感元件，即由测量弦振动基频来确定平台的角速度。试建立此弦的振动方程。2023年2月2日《振动力学》29连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动【解】平台旋转时，张力T(x)大小沿其长度方向变化。设分布离心力在x轴上投影为qx(x)，则作用在dx微段上的离心力因弦AB总伸长为0，m(x)=m0=常数有（b）2023年2月2日《振动力学》30连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动式中，E为材料弹性模量，F为横截面面积，Nq(x)为qx(x)作用引起弦的内力,有（c）代入（b）有2023年2月2日《振动力学》31连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动分布力离心力引起的弦内张力为对有初拉力为T0，弦内总张力为离心力q(x)在y方向的投影为2023年2月2日《振动力学》32连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动由平衡方程整理得此为该弦振动方程。【例4.2】两端固定弦，长l，横截面A,单位体积质量ρ，开始时，在距O点a处把弦拉高h，然后放手，如图4.9。设张力T0大小不变。求弦自由振动响应和弦以第n阶主振型振动时的总能量。2023年2月2日《振动力学》33连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动图4.9解：弦作自由振动，其响应可由式（4.14）表为：式中ωn=cnπ/l,f1(x)、f2(x)为初始条件。根据题意2023年2月2日《振动力学》34将f1(x)和f2(x)代入式(a)得连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动2023年2月2日《振动力学》35连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动当弦以第n阶主振型振动时，它的总能量公式为将yn(x,t)代入上式得由此可见，En将随n值的增大而快速变小，当n=1时，它的总能量有最大值。2023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》362023年2月2日《振动力学》36作业第156页4.4连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动2023年2月2日《振动力学》372023年2月2日《振动力学》37教学内容连续系统的振动/弦、杆的振动2023年2月2日《振动力学》37弦、杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动2023年2月2日《振动力学》38连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动1.杆纵向振动方程基本假设：（1）只考虑杆的纵向变形；（2）垂直于杆轴线的任一截面始终保持为平面，且始终垂

直于杆的轴线；（3）各横截面内各质点只沿着杆轴线方向作相等位移，即

不计杆的横向变形。基本参数：截面抗拉刚度EA(x)，弹性模量E，横截面积A(x)，单位体积质量ρ。2023年2月2日《振动力学》39连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动

设u(x,t)为t时刻，x处截面纵向位移。微段dx受力如图4.10（b），x处横截面上轴力N，x+dx处横截面上轴力、位移为2023年2月2日《振动力学》40连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动轴向应变量由σx=Eεx及有由平衡方程得2023年2月2日《振动力学》41连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动整理有（4.19）代入得对等直杆，EA(x)为常量时，式（4.20）写为式中c2=E/ρ，c为弹性纵波沿杆轴线的传播速度（材料内声的速率）。2023年2月2日《振动力学》42连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动2.杆的纵向自由振动式（4.21）与（4.3）有相同形式，是一维波动方程。用分离变量法求解。

设解u(x,t)=U(x)T(t)，得解得2023年2月2日《振动力学》43连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动A、B、ω、φ为待定常数，由初始条件和边界条件决定。对两端固定杆，边界条件为代入式（4.23）得得出对应的主振型2023年2月2日《振动力学》44连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动两端自由杆，边界条件为自由端轴力为零，代入边界条件有则有主振型为

2023年2月2日《振动力学》45连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动与两端固定杆不同处：

存在n=0时的固有频率ωn=0，表示杆顺轴线方向作刚体平移。对零频率ω0=0，若取B0=1，则其主振型为2023年2月2日《振动力学》46连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动三种边界条件下的杆纵向振动频率方程、固有频率及主振型2023年2月2日《振动力学》47连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动其它情况的边界条件2023年2月2日《振动力学》48连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动杆纵向振动响应：由无限多阶主振型的叠加得到，如对两端固定杆或式中An、φn或Cn、Dn两个待定常数，由初始条件决定。2023年2月2日《振动力学》49连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动

【例4.3】图中等直杆横截面积A，单位体积质量ρ，弹性模量E，长l，左端固定，右端固结一质量M的质量块，计算其固有频率,并进行正交性条件推导。【解】（1）计算固有频率

由（4.23）响应为2023年2月2日《振动力学》50连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动边界条件为代入及c2=E/ρ，得ρAl/M为杆质量和附加质量之比。式（a）为频率方程。

设ρAl/M=1，ωl/c=β，式（a）为2023年2月2日《振动力学》51连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动tanβ和1/β的曲线如图由两曲线交点β1，β2，…，可求得各阶固有频率。由图可得β1=0.86，β2=3.43，则2023年2月2日《振动力学》52连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动【讨论】(1)当杆质量和附加质量比不为1，令v为质量比，由（a）有则（a）可简化为由（c），当给定质量比时，可求出一系列的β值，代入ωl/c=β中，可得即可求出各阶固有频率。2023年2月2日《振动力学》53连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动【讨论】(2)当质量比v在两种极端情况，即v≈∞和v≈0时。a.当v≈∞时，由（c）知tanβ=

∞,即将（e）代入（d）得与表4.1中一端固定一端自由杆固有频率相同。

说明此质量块M的作用可以不计。2023年2月2日《振动力学》54连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动b.当v≈0时，tanβ≈β

，代入（c）得将v=ρAl/M和ωl/c=β

代入上式，得因EA/l是杆的纵向刚度，说明（h）为略去杆质量后，得到的单自由度系统固有频率。值得注意的是，若v=0.1时，由数值计算可得β1=0.32，代入（d）得2023年2月2日《振动力学》55连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动若v=0.1,代入v=ρAl/M中，则M=10ρAl，再代入(h)，则（j）与（i）比较，相对误差仅1.18%。为此，当v值较小时，略去杆的质量，可得到精度较好的结果。2023年2月2日《振动力学》56连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动（2）正交性条件的推导两个不同阶主振型Yn、Ym之间正交性定义为对右端带一质量块的杆主振型正交性证明如下：设Un(x)

和Um(x)为n阶和m阶主振型函数，则它们满足方程2023年2月2日《振动力学》57连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动式中c2=E/ρ，整理得式中m=ρA，将Un(x)和Um(x)代入（a），得用Um和Un分别（b）和（c），并积分得2023年2月2日《振动力学》58连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动应用分部积分，得两式相减得由将边界条件2023年2月2日《振动力学》59连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动代入式（f）得故有当m≠n时，ωm2≠ωn2，则有上式为右端带质量块的杆纵向振动主振型对质量的正交性条件。

与无质量块的杆纵向振动主振型对质量的正交性条件相比较，多了MUn(l)

Um(l)。2023年2月2日《振动力学》60连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动当m=n时，ωm2=ωn2，，则有式中，λ是一个任意常数。若取λ=1，则振型函数即可按照下面方式规格化2023年2月2日《振动力学》61连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动3.杆的纵向强迫振动微分方程的解在两端自由杆上作用均布轴向力Q(x,t)，如图4.13。截面抗拉刚度为EA(x)，E为弹性模量，A(x)为横截面面积，单位体积质量为ρ，杆振动方程为式中q(x,t)=Q(x,t)/ρA。2023年2月2日《振动力学》62连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动设杆振动方式Tn(t)为时间函数，则必须满足边界条件时设方程（4.25）的解为代入（4.25），应用正交性条件和规格化后，得式中Un(x)是正则振型函数，根据杜哈美积分求得2023年2月2日《振动力学》63连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动杆的纵向强迫振动的响应为2023年2月2日《振动力学》64连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动【例4.4】图4.14（a）为一端自由，一端固定端的细长杆。其固定端支承相对于地面按抛物线函数作平移。设杆长l,杆截面抗拉刚度EA，E为弹性模量，A为横截面面积，ρ为单位体积质量。在初瞬时，杆处于静止。试确定支承运动所引起的杆的纵向振动响应。2023年2月2日《振动力学》65连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动【解】设u(x,t)为

x处纵向位移。X处微段dx，受力如图4.14（b）轴向应变由动静法得2023年2月2日《振动力学》66连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动

整理后得（a）代入（b）中，得设则有代入式（c）中，得2023年2月2日《振动力学》67连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动

令c2=E/ρ，整理得令q(x,t)=,代入上式式（e）和式4.25）相同。先解齐次方程：根据边界条件，得到固有频率2023年2月2日《振动力学》68连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动

式中，Un*(x)是规格化的正则振型函数，根据（4.28）有由支承运动引起的杆的纵向振动响应为故2023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》692023年2月2日《振动力学》69作业第156页4.7连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动2023年2月2日《振动力学》702023年2月2日《振动力学》70教学内容连续系统的振动/弦、杆的振动2023年2月2日《振动力学》70弦、杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动2023年2月2日《振动力学》71连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动

4.1.3杆的扭转振动

1.振动微分方程

圆截面细长直杆，单位体积质量ρ，截面抗扭刚度GJt(x)，G为剪切弹性模量，It(x)为截面抗扭常数，圆形截面It(x)=Ip(x),Ip(x)为截面极惯性矩。2023年2月2日《振动力学》72连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动基本假设：杆扭转振动时，截面翘曲可忽略不计，且始终保持截面平面绕x轴作微摆动，φ(x,t)表x处截面的角位移，微段dx，其受力如图4.15（b）。则由动量矩定理整理后式（4.29）代入，得2023年2月2日《振动力学》73连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动对等直杆，It为一常数，上式可化简为式中，对于圆截面杆，It=Ip，则c2=G/ρ，c为剪切弹性波沿x轴的传播速度。2023年2月2日《振动力学》74连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动2.杆扭转自由振动式（4.30）与（4.21）形式相同，也是一维波动方程，故其解可直接写成式中A、B、ω、φ四个待定常数，由初始条件和边界条件来确定。2023年2月2日《振动力学》75连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动表4.3为一些常用的边界条件。表4.3常用边界条件2023年2月2日《振动力学》76连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动杆扭转自由振动通解由各主振型叠加而成，即给定初始条件后，则由来决定式（4.32）中常数项An（或Bn）和αn。2023年2月2日《振动力学》77连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动杆扭转受迫振动式（4.28）形式相同，其解也有相同的形式。现以表4.4给出弦、杆振动方程的参数对应关系。2023年2月2日《振动力学》78连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的扭转振动如已知两端固定均匀弦的固有频率，正则振型表达式，根据表4.4，两端固定均匀轴固有频率及正则振型表达式：2023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》792023年2月2日《振动力学》79作业第157页4.11连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动2023年2月2日《振动力学》80教学内容连续系统的振动/弦、杆的振动2023年2月2日《振动力学》80梁的横向振动梁的横向振动方程Euler梁的横向振动方程Timosheko梁的横向振动方程轴力作用下梁的横向振动方程梁的双向横向振动方程梁的横向振动解梁的横向自由振动主振型的正交性梁的横向强迫振动移动载荷作用下梁的横向振动2023年2月2日《振动力学》81连续系统的振动/梁的横向振动4.2梁的横向振动房屋中的主梁、次梁，钢轨、枕木，桥梁等都是梁的例子。梁在垂直其轴线方向发生的振动，称为梁的横向振动或弯曲振动。

2023年2月2日《振动力学》82连续系统的振动/梁的横向振动梁的三种力学模型（1）欧拉-伯努利梁（Euler-Bernoullibeam）只考虑梁的弯曲变形，不计剪切变形及转动惯量影响。（2）瑞利梁（Rayleighbeam）除考虑梁的弯曲变形外，还考虑转动惯量影响，但不计剪切变形影响。（3）铁木辛科梁（Timoshenkobeam）既考虑梁的弯曲变形和转动惯量，还考虑其剪切变形影响。2023年2月2日《振动力学》83连续系统的振动/梁的横向振动4.2.1梁的横向振动微分方程

1.欧拉-伯努利梁的振动方程设y(x,t)为梁的横向位移，如图4.17(a)，它是横截面位置x和时间t的函数。横截面对中心主轴的截面惯性矩为I(x),单位体积质量为ρ,横截面积为A(x)，作用有分布力q(x,t)。2023年2月2日《振动力学》84连续系统的振动/梁的横向振动取微段dx，受力如图4.17（b）。Q为剪力，M为弯矩,惯性力由整理得由2023年2月2日《振动力学》85连续系统的振动/梁的横向振动略去二阶微量，可得由弯矩和挠度关系有把式(a)和(4.35)代入式(4.36)，整理得为欧拉-伯努利梁横向振动方程。对等直梁，EI(x)和A(x)为常量，得到2023年2月2日《振动力学》86连续系统的振动/梁的横向振动2.铁木辛科梁的振动方程铁木辛科梁力学模型考虑了梁的剪切变形和转动惯量。取微段dx，如图4.18。梁轴线（截面）转角ψ由弯矩、剪力共同作用产生。弯矩作用产生的梁轴线（截面）转角θ，剪力作用产生的梁轴线（截面）转角β，则2023年2月2日《振动力学》87连续系统的振动/梁的横向振动由弯矩M和剪力Q关系式(b)代入上式得式中，k’=1/k，k为取决于截面几何形状的常数。矩形截面k=1.2，圆形截面k=1.11，而k’A为截面有效剪切面积。由得2023年2月2日《振动力学》88连续系统的振动/梁的横向振动整理得式(d)代入上式得由，得略去二阶微量，整理得式中I为横截面对中心主轴惯性矩，为转动惯性矩，ρIdx为微段转动惯量。2023年2月2日《振动力学》89连续系统的振动/梁的横向振动式(c)、(d)代入上式，得对等截面梁，将(e)、(f)中θ消去，得(4.39)为铁木辛科梁振动方程。2023年2月2日《振动力学》90连续系统的振动/梁的横向振动3.在轴向力影响下，梁的横向振动方程梁除承受横向载荷外，常还受平行于轴线的轴向力，如图4.19。因轴向力和横向位移相互影响，不能直接应用横向振动方程，需推导其振动方程。2023年2月2日《振动力学》91连续系统的振动/梁的横向振动设轴力N为常量，取微段dx，受力图如图4.19(b)，由，得因θ很小，sinθ≈θ，整理得由，得含轴力的梁振动方程2023年2月2日《振动力学》92连续系统的振动/梁的横向振动4.梁的双向横向振动方程以上讨论的梁，在振动中轴线始终在同一平面内。若截面主方向随x改变，在振动中轴线将不再位于同一平面内。对每一主振动，皆包含两个相互垂直的分量，两个方向的横向振动是互相耦合的。称这种振动为梁的双向横向振动。建立梁的双向横振动方程。常采用哈密顿原理，式中，T为动能，U为势能，δW为主动力的虚功。2023年2月2日《振动力学》93连续系统的振动/梁的横向振动设x轴为变形前的弹性线，坐标轴如图4.20，弹性线上各点位移沿y和z方向的分量为2023年2月2日《振动力学》94连续系统的振动/梁的横向振动则梁上任一点a在3个方向的位移分量为由图4.20(b)-(c)得因sinθ=θ，sinφ=φ，则2023年2月2日《振动力学》95连续系统的振动/梁的横向振动微元的动能、势能为式中，则系统的动能、势能为：2023年2月2日《振动力学》96连续系统的振动/梁的横向振动式中，Iz、Iy

为截面对于z轴和y轴的惯性矩，Iyz为相应的惯性积。

设梁受分布载荷为qz(x,t)

、

qy(x,t)

，两端作用弯矩和剪力为Qy0、Qz0、My0、Mz0、Qy1、Qz1、My1、Mz1，如图4.20(a)，则主动力的虚功为将(4.42a)、(4.42b)、(4.42c)代入(4.41)得2023年2月2日《振动力学》97连续系统的振动/梁的横向振动式中，“.”表示，“’”表示，且δv(0)、

δv(l)、δv’(0)、

δv’(l)、δw(0)、δw(l)、δw’(0)、δw’(l)为两个端点的虚位移。式（4.43）中动能变分为（a）中第一项式中，因为t1、t2瞬时的运动已给定。2023年2月2日《振动力学》98连续系统的振动/梁的横向振动式中。同理（4.43）中势能变分为（b）中第一项为2023年2月2日《振动力学》99连续系统的振动/梁的横向振动

同理（b）其余三项为以上结果代入（4.43），整理得2023年2月2日《振动力学》100连续系统的振动/梁的横向振动2023年2月2日《振动力学》101连续系统的振动/梁的横向振动在边界上的变分δv(0)、δv’

(0)、δw(0)、δw’(0)对应于位移边界条件为零，而力边界条件是任意的，同时δv、δw也是任意的，得到2023年2月2日《振动力学》102连续系统的振动/梁的横向振动由（4.45）得梁的双向横振动方程以上方程相互耦合。欲使不耦合，则Iyz=0，有2023年2月2日《振动力学》103连续系统的振动/梁的横向振动相应于（4.47）的边界条件为2023年2月2日《振动力学》104连续系统的振动4.2.2梁的横向自由振动1.梁的横向自由振动

(1)欧拉-伯努利梁横向自由振动方程对等截面直梁，振动方程为设2023年2月2日《振动力学》105连续系统的振动代入（4.50）中得有得到2023年2月2日《振动力学》106连续系统的振动（4.53）第一式为式中设其基本解为Y(x)=eλx，代入(4.54)得四次代数方程，四个根为则通解为2023年2月2日《振动力学》107连续系统的振动因整理得(4.55)为梁横向振动的振型函数。由(4.53)第二式得代入整理得(4.50)的通解。2023年2月2日《振动力学》108连续系统的振动式中，A、B、C、D、ω和φ为6个待定常数，将由初始条件和边界条件决定。如两端简支的梁，其边界条件为代入(4.57)得及由(a)-(b)得2023年2月2日《振动力学》109连续系统的振动因shkl≠0，故C=0。代入(a)得因A≠0,得频率方程：其根为knl=nπ,n=1,2,3,…又，则固有频率为相应主振型为2023年2月2日《振动力学》110表4.5各种边界条件下的频率方程和固有频率连续系统的振动2023年2月2日《振动力学》111表4.6振型函数与主振型连续系统的振动2023年2月2日《振动力学》112常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》113例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》114简化后，得：频率方程当

i=1,2,3时解得：当

时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》115铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》116例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：以及：频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》117频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》118例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》119频率方程：模态函数：其中：当

i=1,2,3时解得：当

时自由端：弯矩和截面剪力为零当

时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》120第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》121例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》122连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界条件固定端：自由端：模态函数：2023年2月2日《振动力学》123连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》124连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：2023年2月2日《振动力学》125连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.5602023年2月2日《振动力学》126例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》127固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》128或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》129（1）若k1、k2

同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：2023年2月2日《振动力学》130（2）若k1＝0、k2

无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：2023年2月2日《振动力学》131例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年2月2日《振动力学》132连续系统的振动

(2)铁木辛科梁横向自由振动由(4.39)得对简支梁代入(4.59)，得频率方程2023年2月2日《振动力学》133连续系统的振动若仅考虑(4.59)中前二项，即不考虑转动惯量和剪切变形影响，得式中，λn=l/n为振动中梁的半波长度，得固有频率与欧拉-伯努利梁模型固有频率相同。若仅考虑(4.59)中前三项，即只考虑转动惯量影响，得频率方程2023年2月2日《振动力学》134连续系统的振动由二项展开，得固有频率若只考虑剪切变形影响，则频率方程得出固有频率2023年2月2日《振动力学》135连续系统的振动可见，转动惯量、剪切变形都是使梁固有频率降低，对高阶固有频率影响更大。因考虑转动惯量后，梁惯性增加，考虑剪切变形后，刚度就降低，两者都引起梁固有频率降低。剪切变形影响比转动惯量影响大。最后一项与第一项相比是一微量，略去得固有频率2023年2月2日《振动力学》136连续系统的振动2.主振型的正交性自由振动解通常为无限多阶主振型的叠加，对简支梁有式中An、φn为待定常数，由初始条件决定。设Yn(x)和Ym(x)为n、m阶固有频率ωn和ωm对应的主振型函数。对欧拉-伯努利梁，满足方程：2023年2月2日《振动力学》137连续系统的振动将Yn(x)、Ym(x)代入(a)，得由Yn(x)、Ym(x)分别乘(b)、(c)，并在[0l]上积分,得对(d)、(e)应用分部积分，得2023年2月2日《振动力学》138连续系统的振动两式相减，得对简支、固定、自由三种支承的任意组合，右边皆为零，故m≠n，ωn≠ωm时，有2023年2月2日《振动力学》139连续系统的振动此式为主振型对质量的正交条件。将(4.65)代入（f)或(g)，得此式为主振型对刚度的正交条件。对等截面梁,主振型正交性条件可表为2023年2月2日《振动力学》140连续系统的振动当m=n时，则式中，正常数Mn称为广义质量。如果Mn=1，则称Yn(x)为正则振型函数，即满足代(4.68)入(d)，得2023年2月2日《振动力学》141连续系统的振动(4.66a)、(4.68)可统一写为(4.69)可写为

对等直梁

2023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》1422023年2月2日《振动力学》142作业第157页4.12、4.13、4.14、4.16连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动2023年2月2日《振动力学》143连续系统的振动3.梁的横向强迫振动长l的均质等截面欧拉-伯努利梁，受分布力q(x,t)作用，其强迫振动方程为设其解为式中，Yn(x)为固有频率ωn对应的正则振型函数，Hn(t)待求时间函数，即正则坐标(广义坐标)。将(4.72)代入(4.38)，得2023年2月2日《振动力学》144连续系统的振动注意：主振型的正交性对等直梁2023年2月2日《振动力学》145连续系统的振动式(4.73)两边均乘Ym(x)，并对x在[0l]上积分，应用正交性条件(4.70)、(4.71a)得式中，称为广义力，(4.74)通解为因此欧拉-伯努利梁强迫振动解为式中，为广义坐标和广义速度初值。2023年2月2日《振动力学》146连续系统的振动【例4.5】图4.21为长l简支梁，截面抗弯刚度EI，单位体积质量ρ，截面积A，离梁一端a处，作用周期性集中载荷F=F0sinω0t。梁初位移及初速度均为零，求此系统的响应。【解】作用于x=a处的集中载荷可写为对简支梁，正则振型函数为2023年2月2日《振动力学》147连续系统的振动由(4.75)有因t=0时，，则两边均乘ρAYm(x)，对x在[0l]积分，利用振型正交性得2023年2月2日《振动力学》148连续系统的振动代入初始条件得广义力则系统响应为2023年2月2日《振动力学》149连续系统的振动4.2.3移动载荷作用下的梁的横向振动桥梁、桥式吊车大梁皆承受移动载荷，在其作用下将产生振动。

1.恒值集中动荷作用下梁的横向振动对欧拉-伯努利梁，所受恒值集中载荷F以速度v向右运动。在t=0，F位于支承A处，t时刻F距A距离为a=vt。设x处横向位移y(x,t)，则振动方程为2023年2月2日《振动力学》150连续系统的振动式(4.76)通解为式中，Yn(x)为正则振型函数，表达式为广义力则2023年2月2日《振动力学》151连续系统的振动故系统响应为2023年2月2日《振动力学》152连续系统的振动2.移动质量作用下梁的横向振动考虑欧拉-伯努利梁。对移动质量m，以等速度v向右移动，t=0时位于支承A处。则t时刻，移动质量距A距离a=vt，联连于移动质量上的坐标ξ，则有2023年2月2日《振动力学》153连续系统的振动以移动质量为对象，受力如图4.23(b)，由牛顿定律有梁的横向位移y(x,t)，则横向振动方程为把(b)代入(c)中，有因2023年2月2日《振动力学》154连续系统的振动将以上关系代入(d)中，得当x=vt时当x≠vt时2023年2月2日《振动力学》155连续系统的振动(4.79a)解可表示为代入(4.79a)，得式(4.80)为非常系数微分方程，可用逐步渐近法求解。2023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》1562023年2月2日《振动力学》156作业第158页4.18连续系统的振动/弦、杆的振动/杆的纵向振动2023年2月2日《振动力学》157连续系统的振动3.车轮滚动时轨道的横向振动对图4.24模型，车轮为刚性，半径R，质量m，受轴重G和驱动力MA作用。MA随Ω变化如图4.25，且车轮中心以速度v在无限长弹性轨道上滚动。轨道基础认为是粘弹性基础。

将轨道简化为欧拉-伯努利梁，弯曲刚度EI，单位长度质量μ，轨道高度h<<R，单位长度基础刚度k，单位长度基础阻尼b。2023年2月2日《振动力学》158连续系统的振动建立如图4.24的坐标系，考虑车轮有微小的偏移s(t)、y(t)、φ(t)，梁在垂直方向有微小的偏移w(x,t)，轮心到K点的半径为R，铅垂线偏转了一个微小的角度α(t)，车轮的平均角速度是ω=v/R，接触点K的横坐标为xK=vt+sK，由图4.24可见式中“′”表示ə/əx。假设车轮为纯滚动，则在接触点K处不存在相对运动，又假设梁在接触点处水平方向运动非常小而忽略不计，在接触点K处有一下的运动关系式：2023年2月2日《振动力学》159连续系统的振动又假设梁在接触点处水平方向运动非常小而忽略不计，在接触点K处有一下的运动关系式：式中，“·”表示ə/ət。因为非线性项，又可忽略不计，故上两式可化为2023年2月2日《振动力学》160连续系统的振动根据图4.26所示车轮的受力图，应用动静法可写出车轮的运动微分方程为而非线性项可忽略不计，J0为车轮的转动惯量，则式(g)可写为对梁而言，其振动微分方程为2023年2月2日《振动力学》161连续系统的振动则本系统的运动微分方程共有4个：式(4.81)、式(4.82)、式(4.83)、式(4.84)。对上述方程组将从两个方面来考虑，一方面考虑车轮为静止时，即车轮中心的平均速度v=0的情况，另一方面考虑车轮中心的速度v≠0的情况，在此情况下，把坐标进行变换，取一运动坐标系，其坐标原点在轮心，设将方程(4.84)的齐次方程改写为2023年2月2日《振动力学》162连续系统的振动其边界条件为其中间连续条件(在接触点处)为式中(4.83)经过坐标变换后，可写为2023年2月2日《振动力学》1632023年2月2日《振动力学》163教学内容连续系统的振动/弦、杆的振动2023年2月2日《振动力学》163薄版的横向振动矩形板的横向振动矩形板横向振动方程矩形板横向自由振动矩形板横向强迫园板的横向振动园板的横向振动方程园板的自由振动园板的强迫振动2023年2月2日《振动力学》164连续系统的振动4.3薄板的振动工程结构中，除梁、柱基本构件外，还有板构件。

薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板（通常长/厚>10)，在上下表面之间存在着一对称平面，称为中面，且假定：

（1）板材料由各向同性弹性材料组成；

（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；（3）自由面上的应力为零；

（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。2023年2月2日165连续系统的振动4.3.1矩形薄板的横向振动

1.振动方程为了建立应力、应变和位移之间的关系，取一空间直角坐标系Oxyz，坐标原点及oxy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图4.27。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。2023年2月2日166连续系统的振动由假定（2），板的横向变形w和面内变形u、v相互独立。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移w(x,y,t)所决定。根据假定（3），可认为σz处处为零;

根据假定（4），剪切应变分量γxz=γyz=0板内任意一点a(x,y,z)沿x,y,z三个方向的位移分量u,v,w分别为2023年2月2日《振动力学》167连续系统的振动

应变与位移的几何关系为

2023年2月2日《振动力学》168连续系统的振动应力应变关系为：

2023年2月2日《振动力学》169连续系统的振动2023年2月2日《振动力学》1702023年2月2日《振动力学》170连续系统的振动整理得

《振动力学》171连续系统的振动整理得

2023年2月2日《振动力学》172连续系统的振动整理后，可得将（4.92）、（4.93）代入（4.91）得

因2023年2月2日《振动力学》173连续系统的振动将（4.90）代入（4.95），积分得

将（4.96）代入（4.94），得薄板振动方程

2023年2月2日《振动力学》174连续系统的振动

四阶线性非齐次偏微分方程。2.矩形板横向振动自由振动矩形板的横向自由振动方程

应用分离法，设解为

2023年2月2日《振动力学》175连续系统的振动将（4.99）代入（4.98）得

式中由边界条件可求解固有频率。2023年2月2日《振动力学》176连续系统的振动令代入（4.100）得

（4.102）可改写为

2023年2月2日《振动力学》177连续系统的振动现讨论式（4.103a）中，首先要满足边界条件，设

根据上两式，有则-α4=β4，故有

2023年2月2日《振动力学》178连续系统的振动将上两式代