补充习题简答

（1）如图1所示，一个小环同时套在两根细棒上，求其速度。解：根据伽利略变换，有：于是：下略。（2）如图2所示，一个质量为m的物体通过一根质量可以不计的绳子绕水平棒1.25周后于另一端加一水平力F。若绳子和棒间的静摩擦系数为μ，要使物体保持静止，F应多大？解：对一小段绳元做受力分析，临界情况下有：其中“＋”“－”取决于绳子的运动趋势。下略。（3）某人观察到一个空间站始终停留在地球同一点的垂直上空。问此空间站的轨道如何？地球半径是6371km。解：空间站的一般轨道是以地球为一个焦点的椭圆。现在它始终停留在地球同一点的垂直上空，意味着其轨道只能是地球赤道上空的圆，且其角速度与地球自转速度相等。下略。（4）一个质点从静止开始在如图3轨道滑下，在某处开始脱离轨道。说明脱离轨道的位置，并计算发生这种情况的h的最小值。解：脱离轨道意味着轨道提供的支持力为零。显然从出发点一直到A点都不可能。如果A点处也未脱离轨道，则从A到B，质点速率减小，但重力沿轨道径向的分量增大，故质点不会脱离轨道；至于B点的右半圆弧段，质点的运动情形完全与AB段对称，故质点也不会脱离轨道。因此，就已知轨道而言，唯一可脱离处即A点。于是：（5）水从5m高处以每分钟60kg的速率注入静放在地上的桶中，桶的质量为12kg。求水注入1分钟时桶受到地面的作用力。解：地面对桶的作用力的大小等于桶对地面的压力，为桶中水的重量与刚落下的水的冲力之和。其中后者大小等于桶中水对刚落下的水的冲力。根据动量定理：下略。（6）如图4所示，一个人想用把杆子打在岩石上的方法折断杆子。他握住一端，让杆子绕腕转动打在岩石上。如何尽量减少对手的冲击？重力可忽略。解：为减少对手的冲击，杆子应当停止运动并折断。希望手的平均受力为零。故若设击打点距手，则根据动量定理和角动量定理：（7）如图5所示，物体以一根不可伸长的绳子绕在均质滑轮上，绳子另一端固定在轮上。求物体在下落时绳中的张力。解：注：此类问题也可以将视为整体，有：（9）一均质球m以初速v沿水平窄道抛出，开始时为纯滑动，与地板的摩擦系数为μ。求球开始作纯滚动时的速度。解：方法一：球在运动过程中对球与窄道的接触点角动量守恒：纯滚动条件：解得：方法二：根据质心运动定理和角动量定理：下略。（10）如图6所示，一质量为m的质点以垂直于原静止的均质细杆的速度v在杆端与杆做弹性碰撞后静止。求细杆的质量。解：以为系统，根据动量守恒，有：根据动能守恒、柯尼希定理（P186），有：还有角动量守恒。考虑到杆的对称性，选取质心计算比较方便：下略。（11）一个速度为v的航天旅行者和地球上的朋友在出发时均将钟调为0。地球上的朋友同时观察两个钟。问当旅行者的钟读数为1小时时，本地钟的读数是多少？解：建议采用洛伦兹变换。方法一：当旅行者的钟指向1小时时，其时空坐标为：由洛伦兹变换，得：地球上的朋友要看到指针，需要其光传到地球：此时地球上的钟的读数为：方法二：旅行者的钟固定在运动的参照系，为固有时间。根据动钟变慢，得此时地球上的钟指向：在此时间内，旅行者认为地球运动的距离为：下面从两个角度讨论：（1）这一距离是在旅行者参照系时钟指向1小时的同一时刻确定下来的。根据动尺收缩，知其固有长度为：该固有长度即地球上的人认为此时旅行者距地球的距离。光信号飞越此距离所需时间为：（2）旅行者认为其时钟指针发出的光到达地球需时：他判断这两个事件（指针发光和到达地球）的时间间隔，始终是观察固定在身边的钟，即此时间为固有时。根据动钟变缓，此时地球上的钟又走了：下略。下略。（12）静长L的车厢以v运动，从车厢后端A发出光，经前端B的平面镜反射回A。问车厢上的人和地面上的人看来，两过程各耗时多少？解：建议采用洛伦兹变换。方法一：从A到B，车厢参照系时空坐标变化为：根据洛伦兹逆变换，地球参照系时空坐标变化为：注：也可由光速不变原理，得从B到A，车厢参照系时空坐标变化为：根据洛伦兹逆变换，地球参照系时空坐标变化为：从A到B再返回A，车厢参照系认为需时：该时间为固有时，故地球参照系看：方法二：从A到B及从B到A，车厢均在运动。根据动尺收缩，地面上的人认为车厢长度为：在光传输的过程中，车厢还运动了：故两过程中，光的行程分别为：下略。一质量为m的均质细杆下端置于光滑的桌面上，从与铅垂线成θ0角静止释放，求释放后瞬间杆对桌子的压力。牛顿第二定律刚体定轴转动初始条件mgNOCβ解：设杆长L，杆重心C的向下线加速度a，杆绕重心旋转的角加速度β，角速度ω初始时刻：杆绕重心旋转的角速度为0，支持点处O的加速度为0一半径为r的均质小球，沿一半径为R+r的竖直固定圆环内侧运动，为使小球能到达环顶而不落下，试讨论在纯滚动和无摩擦的纯滑动两种情况下，小球在环底部时需具有的最小质心速度。圆周运动机械能守恒柯尼希定理P186解：（1）纯滚动（2）纯滑动（1）一容器被隔板分成两部分，隔板上有直径为的孔。容器中的氦气分别被维持在和。设、为稳恒状态下两部分分子的平均自由程。问：在和时，各等于多少？解：两部分通过孔交换分子，故稳恒状态下两部分分子数守恒。（1）当时，孔处几乎不发生碰撞，作用力等于零，此时不涉及压强的概念。分子交换通过零星泄露实现，交换速度等于撞击频率，所以：（2）当时，孔处频繁发生碰撞，已涉及宏观受力（压强的概念），分子交换通过气体宏观流动实现：（2）试用球形容器推导平衡状态下理想气体的压强及温度的表达式。由于器壁法线总是指向球心，故该分子与器壁的碰撞点始终处于同一过球心的圆。于是该分子在与器壁连续两次碰撞期间行程为解：设某分子从壁上某处开始碰撞旅程，其速度方向与器壁上即将被碰撞处的法线方向的夹角为，则由弹性碰撞假设知，其反射角亦为该分子与器壁的碰撞频率为每次碰撞给器壁的冲量为

故器壁压强为：下略。（3）试推导理想气体的麦克斯韦动能分布，并求最概然动能。解：准确理解等物理量的含义。根据分布（概率）函数的定义：对于最概然动能，有：（4）用麦克斯韦速率分布证明理想气体单位时间与单位面积器壁的碰撞次数为现在考虑对应的分子数密度。三维空间的总立体角为：那些速度与轴夹角的分子可以碰撞该方向器壁，条件是单位时间内可以到达器壁。即对速率为，速度与轴夹角的分子而言，其距离器壁的最大距离为。进一步，对于速度与轴夹角的所有分子，其距离器壁的平均最大距离为。证明：由气体动理论的基本假设，知由任一点出发的分子，在任一单位立体角内的数目相等，平均速率也相等，并等于整个容器内分子的平均速率。现设器壁处于轴方向，可建立球坐标系。对应的立体角为：故其对应的分子数密度：于是，单位时间单位面积的碰撞次数为：（5）在大气中有一个封闭的绝热箱。开始时箱内有摩尔温度为、压强为的空气，箱外空气的温度和压强分别为、。若在箱上开一小孔，则箱外空气缓慢流入箱内。试求箱内外压强相等时箱内气体的温度。解：做功的计算方法：设有摩尔的空气被等压地压入绝热箱。可设想存在一个容器，存有该空气，容器内的气压始终等于箱外空气的气压。现在缓慢压缩该容器，把空气压入绝热箱，直至其体积为零。显然，在此缓慢过程中，做功的箱外空气压强始终等于。因此，外界做功：其中为这些空气在大气下的体积：故：

由于是绝热过程，这些功都转化为的空气内能，其中两部分空气的温度变化相等：另外，根据理想气体状态方程：解得：（6）一个绝热活塞将两端封闭的绝热气缸分成A、B两部分，装有等量的状态相同的单原子理想气体。现缓慢加热A部分，使B部分气体压强增为3倍。求传给A中气体的热量。解：以整个气缸为系统：其中两部分初始状态相同、终态压强相等：所以：由此可求两部分的温度：（7）图1。一端封闭的薄壁圆柱形浮沉子，开口端向下插入密度为的恒温液体中，被液体封住少量气体。当外部空气压强为时，浮沉子正好悬浮在液体中，且其封闭端恰好与液面相平。现突然将外部空气压强增加到。求浮沉子下降到深度时的速度。初始时刻，浮力与重力平衡：在处，浮沉子内压强及温度（薄壁）均与外界相等：解：一个力学题此时，浮沉子所受净外力为：根据功能原理：（8）将压强为的空气等温压缩进肥皂泡内，最后吹至半径。设肥皂泡的表面张力系数。（提示：内能＝内势能＝；表面张力产生的压强）。求吹成此泡所做的功。其中第一部分：第二部分包含内外两个表面：所以：解：该功包含两部分，即将空气等温压缩所做的功和肥皂泡内能的增加。（9）图2。一个作如图循环的卡诺热机，若分别采用1单原子理想气体和1双原子理想气体，求其完成一个循环的对外做功之比。解：卡诺循环的基本特点是两个绝热过程净做功为零，四个终态的体积间有比例关系：对于绝热过程：所以：（10）一个可逆热机工作时的最高温度为、最低温度为。证明其效率不大于卡诺热机。证明：在图上，以的极值为边界作一个矩形。则该矩形为卡诺循环。热机效率：对于卡诺热机：其中小写的s表示图形的面积。（2）对于熵非单调变化的热机，可引入等辅助线，示例如图。则该热机循环可以看作多个熵单调变化的循环过程的叠加。显然，其中任一子循环，故上述结论仍成立。（1）对于一个熵单调变化的热机：显然：（11）有一个高100m的大坝，上下水的温差为10℃。试比较利用落差发电和温差发电分别从1g水获得的能量。落差发电：温差发电：可以有多种方式，例如采用理想气体工作或采用热电偶工作。但其内涵是不变的，即将热转化为功（电功）。上题曾证明，不论其工作方式如何，均以卡诺热机效率最高。而在热机工作过程中，水温下降10℃。故：实际热机的效率远低于理论值。故水电均采用落差发电。解：（12）试证明循环过程中摩尔热容不能为恒量。证明：重要方法－反证法根据热力学第一定律，循环过程做功等于吸热：矛盾。（13）图3。求水蒸汽作如图循环的效率。解：准确理解热机效率的定义。（1）为等压过程，同号：（2）为等容过程：分析：设（3）复杂，其状态方程为：其起始点的温度均为：中间过程的温度：从到中央的半段：（4）因此，这个循环里，吸热过程包括两段：做功为曲线所围面积：效率：为吸热过程。而后半段显然为放热过程。理想状况下的斯特林热机的基本循环过程如图所示。试求其工作效率。热机效率等温和等容过程解：考虑一定质量物质的p-V图中的一族绝热线，证明任两条不相交。反证法绝热过程和等温过程热力学第二定律开尔文表述广义力-广义位移证明：反证法假设两条绝热线至少相交于一点3。现在其上方作一等温线，则因其较平缓（等温做功有热源，绝热做功无热源），而必与两绝热线相交。设交点分别为1和2。现考虑正循环1→2→3→1。在此循环中，系统从单一热源吸热，并将之完全转化为功，而未引起其它任何变化。与热力学第二定律矛盾。故假设不成立。证明完毕。测定γ的Rüchardt方法的实验装置图如下。当玻璃细管中的小球振动很快时，P、V的变化为准静态绝热过程。现测得振动周期T，试求γ。简谐振动的动力学方程绝热过程的泊松方程解：铝杆长1m。现夹住杆中点，沿杆的轴线打击杆的一端，产生2500Hz的声波。（1）求杆中声速；（2）要激发3750Hz的声波，应夹在哪里？在两端打击有区别吗？波动的边界条件驻波波速P65(2.20)解：（1）夹持点为波节，打击点为波腹，故：（2）仍在此打击，则夹持点距此：若在另一侧打击，则：一种测量空气中光速的装置如图：仪器内的发光二极管发出红光，光的强度受到调制，调制频率为50MHz。调制波经半反射片后分成两路：一路输入到双踪示波器的Y端；另一路出射，经反射镜组的反射后输入到X端。通过观察示波器图形的变化可以测量光速。试分析其工作原理。若可使反射镜组同步移动，其沿光束方向的可移动范围至少为多少？李萨如图形解：输入X端的光信号与输入Y端的光信号间的光程差为：其中δ0对应于Y端信号穿过半反射片2的光程、直角反射镜间的光程、以及X端信号经三次反射的半波损失。于是输入XY两端口的电信号间具有相位差：该相位差为π的偶数倍时，李萨如图形为1－3象限内的直线，当其为π的奇数倍时，李萨如图形为2－4象限内的直线。于是，这两种情形对应的距离变化为：测得光速为：显然，为使反射镜能够同步，其动态范围至少对应相位变化π如图所示，在平面反射镜上相继放置一个1/4波片和一个偏振片，偏振片的透光轴与1/4波片的光轴夹角为θ。光强为I0的自然光垂直入射。求反射光的光强。（隔离器）起偏器双折射¼波片(P232)解：光轴（主平面）通过偏振片后，电矢量为设自然光的电矢量为E0沿光轴方向振动的分量为e光，两次通过1/4波片，与o光的附加相位差为