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回归教材重难点09带电粒子在组合场、复合场中的运动

带电粒子在组合场、复合场中的运动仍将是各地命题的热点,大部分题目涉及带电粒子在有界场中的运动,题目阅读量仍会比较大,注重科技前沿问题情境,解决实际问题,考查学生的理解能力、推理论证能力和模型构建能力。会继续考查数学知识在组合场中的应用,可能还会有创新。

在复习备考过程中我们要注意:⑴立足基础,夯实基本功,注重物理知识的学习和物理模型的推导过程。如要重视对带电粒子运动的受力分析和过程分析,弄清带电粒子是否考虑重力、是电偏转还是磁偏转,然后选择合适的规律分段求解。同时也要注意对于物理模型的构建过程要让考生参与进来,亲自推导,熟悉特点,加深印象。⑵立足学科素养,关注科技前沿,培养学生学科能力。要重视以示波器、显像管、质谱仪、回旋加速器、霍尔元件等现代科技仪器为情境载体,以及其它的生活实践情境的多过程题型训练,让考生能够在大量的题干中提取有效信息,从而理解题目,建构合适的物理模型,利用模型特点进行推理论证,在这个过程中必须结合已有的物理知识,借助合适的数学工具(平面几何、立体几何、三角函数),从而解决问题;通过对临界极值、多解问题的训练,培养考生的批判性思维。

知识点一“磁偏转”和“电偏转”

匀强电场中的偏转

匀强磁场中的偏转

偏转产生条件

带电粒子以速度v0垂直射入匀强电场

带电粒子以速度v0垂直射入匀强磁场

受力特征

只受恒定的电场力F=Eq,方向与初速度方向垂直

只受大小恒定的洛伦兹力F=qv0B,方向始终与速度方向垂直

运动性质

匀变速曲线运动(类平抛)

匀速圆周运动

轨迹

抛物线

圆或圆弧

动能变化

动能增大

动能不变

处理方法

运动的合成和分解

匀速圆周运动的相关规律

知识点二带电粒子在复合场中的运动

1.复合场的分类

(1)叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.

(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠或在同一区域,电场、磁场交替出现.

2.带电粒子在复合场中的运动分类

(1)静止或匀速直线运动

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态或做匀速直线运动.

(2)匀速圆周运动

当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.

(3)非匀变速曲线运动

当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.

知识点三、带电粒子在复合场中运动的应用实例

1.质谱仪

(1)构造:如图所示,由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成.

(2)原理:粒子由静止在加速电场中被加速,根据动能定理可得关系式qU=

eq\f(1,2)

mv2.粒子在磁场中受洛伦兹力偏转,做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律得关系式qvB=m

eq\f(v2,r)

.

由以上两式可得出需要研究的物理量,如粒子轨道半径、粒子质量、比荷.

r=

eq\f(1,B)

eq\r(\f(2mU,q))

,m=

eq\f(qr2B2,2U)

eq\f(q,m)

eq\f(2U,B2r2)

.

2.回旋加速器

(1)构造:如图所示,D1、D2是半圆形金属盒,D形盒的缝隙处接交流电源.D形盒处于匀强磁场中.

(2)原理:交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等,粒子经电场加速,经磁场回旋,由qvB=

eq\f(mv2,r)

,得Ekm=

eq\f(q2B2r2,2m)

,可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定,与加速电压无关.

3.速度选择器(如图所示)

(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直.这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来,所以叫做速度选择器.

(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE=qvB,即v=

eq\f(E,B)

.

4.磁流体发电机

(1)磁流体发电是一项新兴技术,它可以把内能直接转化为电能.

(2)根据左手定则,如图中的B是发电机正极.

(3)磁流体发电机两极板间的距离为L,等离子体速度为v,磁场的磁感应强度为B,则由qE=q

eq\f(U,L)

=qvB得两极板间能达到的最大电势差U=BLv.

5.电磁流量计

工作原理:如图所示,圆形导管直径为d,用非磁性材料制成,导电液体在管中向左流动,导电液体中的自由电荷(正、负离子),在洛伦兹力的作用下横向偏转,a、b间出现电势差,形成电场,当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时,a、b间的电势差就保持稳定,即:qvB=qE=q

eq\f(U,d)

,所以v=

eq\f(U,Bd)

,因此液体流量Q=Sv=

eq\f(πd2,4)

·

eq\f(U,Bd)

eq\f(πdU,4B)

.

知识点四带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类

(1)磁场力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.

②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒,由此可求解问题.

(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.

②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用动能定理求解问题.

(3)电场力、磁场力、重力并存

①若三力平衡,一定做匀速直线运动.

②若重力与电场力平衡,一定做匀速圆周运动.

③若合力不为零且与速度方向不垂直,将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用能量守恒或动能定理求解问题.

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,除受场力外,还受弹力、摩擦力作用,常见的运动形式有直线运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况,并注意洛伦兹力不做功的特点,运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果.

知识点五带电粒子在组合场中的运动

带电粒子在组合场中的运动,实际上是几个典型运动过程的组合,因此解决这类问题要分段处理,找出各分段之间的衔接点和相关物理量,问题即可迎刃而解.常见类型如下:

1.从电场进入磁场

(1)粒子先在电场中做加速直线运动,然后进入磁场做圆周运动.在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度.

(2)粒子先在电场中做类平抛运动,然后进入磁场做圆周运动.在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度.

2.从磁场进入电场

(1)粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反,做匀变速直线运动(不计重力).

(2)粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直,做类平抛运动.

3.解决带电粒子在组合场中的运动问题的思路

(1)首先明确每个场的性质、方向、强弱和范围;

(2)对带电粒子进行受力分析,确定带电粒子的运动性质,分析粒子的运动过程,画出运动轨迹;

(3)通过分析,确定粒子从一个场区进入另一场区时的位置、速度大小和方向是解题的关键.

1.(2021·北京卷)如图所示,M为粒子加速器;N为速度选择器,两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场,磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

(1)求粒子加速器M的加速电压U;

(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向;

(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子,离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d,求该粒子离开N时的动能。

【答案】(1);(2),方向垂直导体板向下;(3)

【解析】

(1)粒子直线加速,根据功能关系有

解得

(2)速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡

方向垂直导体板向下。

(3)粒子在全程电场力做正功,根据功能关系有

解得

2.(2021·山东卷)某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d,左边界与x轴垂直交于坐标原点O,其内充满垂直于平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为;Ⅱ区宽度为L,左边界与x轴垂直交于点,右边界与x轴垂直交于点,其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界,其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子,加速后沿x轴正方向过O点,依次经Ⅰ区、Ⅱ区,恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用,不计重力。

(1)求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v;

(2)求Ⅱ区内电场强度的大小E;

(3)保持上述条件不变,将Ⅱ区分为左右两部分,分别填充磁感应强度大小均为B(数值未知)方向相反且平行y轴的匀强磁场,如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点,需沿x轴移动测试板,求移动后C到的距离S。

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

(1)设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r,由牛顿第二定律得

根据几何关系得

联立①②式得

(2)离子在Ⅱ区内只受电场力,x方向做匀速直线运动,y方向做匀变速直线运动,设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t,y方向的位移为,加速度大小为a,由牛顿第二定律得

由运动的合成与分解得

,,

联立得

(3)Ⅱ区内填充磁场后,离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动,如图所示。设左侧部分的圆心角为,圆周运动半径为,运动轨迹长度为,由几何关系得

由于在y轴方向的运动不变,离子的运动轨迹与测试板相切于C点,则离子在Ⅱ区内的运动时间不变,故有

C到的距离

联立得

3.(2021·广东卷)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图,空间有三个同心圆a、b、c围成的区域,圆a内为无场区,圆a与圆b之间存在辐射状电场,圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定,大小不同,方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场,电场可以反向,保证电子每次进入电场即被全程加速,已知圆a与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为,电子质量为m,电荷量为e,忽略相对论效应,取。

(1)当时,电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场,且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°,最终从Q点出射,运动轨迹如图中带箭头实线所示,求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能;

(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰,就能从出射区域出射。当时,要保证电子从出射区域出射,求k的最大值。

【答案】(1),,;(2)

【解析】

(1)电子在电场中加速有

在磁场Ⅰ中,由几何关系可得

联立解得

在磁场Ⅰ中的运动周期为

由几何关系可得,电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为

在磁场Ⅰ中的运动时间为

联立解得

从Q点出来的动能为

(2)在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为,此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切,由几何关系可得

解得

由于

联立解得

4.(2021·北京市朝阳区二模)静止电荷在其周围空间产生的电场,称为静电场;随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。如图1所示,在纸面内以O为圆心、半径为a的圆形区域内,分布着垂直纸面向里的磁场,磁感应强度B的大小随时间均匀增加,变化率为k。该变化磁场激发感生电场,距圆心r处的电场强度大小分布满足如下关系:。电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。一种电子感应加速器的简化模型如图2所示,空间存在垂直纸面向里的磁场,在以O为圆心,半径小于r0的圆形区域内,磁感应强度B1=k1t,在大于等于r0的环形区域内,磁感应强度B2=k2t,其中k1、k2均为正的定值。电子能在环形区域内沿半径等于r0的圆形轨道运动,并不断被加速。

a.分别说明B1、B2的作用;

b.推导k1与k2应满足的数量关系。

【答案】a.B1的作用是产生感生电场,使电子加速;B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力;b.

【解析】

a.B1的作用是产生感生电场,使电子加速,B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力;

b.电子在轨道运动的瞬时速度为v,电子的质量为m,电荷量为e,由牛顿第二定律得

经极短时间

综上得

5.(2021·北京市东城区一模)1931年,劳伦斯和学生利文斯顿研制了世界上第一台回旋加速器,如图1所示,这个精致的加速器由两个D形空盒拼成,中间留一条缝隙,带电粒子在缝隙中被周期性变化的电场加速,在垂直于盒面的磁场作用下旋转,最后以很高的能量从盒边缘的出射窗打出,用来轰击靶原子。

图1

图2

图3

(1)劳伦斯的微型回旋加速器直径d=10cm,加速电压U=2kV,可加速氘核()达到最大为Ekm=80KeV的能量,求:

a.氘核穿越两D形盒间缝隙的总次数N;

b.氘核被第10次加速后在D形盒中环绕时的半径R。

(2)自诞生以来,回旋加速器不断发展,加速粒子的能量已经从每核子20MeV(20MeV/u)提高到2008年的1000MeV/u,现代加速器是一个非常复杂的系统,而磁铁在其中相当重要。加速器中的带电粒子,不仅要被加速,还需要去打靶,但是由于粒子束在运动过程中会因各种作用变得“散开”,因此需要用磁铁来引导使它们聚集在一起,为了这个目的,磁铁的模样也发生了很大的变化。图2所示的磁铁为“超导四极铁”,图3所示为它所提供磁场的磁感线。请在图3中画图分析并说明,当很多带正电的粒子沿垂直纸面方向进入“超导四极铁”的空腔,磁场对粒子束有怎样的会聚或散开作用?

【答案】(1)a.N=40;b.R=2.5cm;(2)图示见解析。

【解析】(10分)(1)a.氘核每穿越缝隙一次,电场力对氘核做功均为W=eU

由动能定理NeU=Ekm

得氘核穿越两D形盒间缝隙的总次数N=40。

b.设氘核被第n次加速后在D形盒中环绕时半径为r,由牛顿第二定律

,,

三式联立得到,可知

则氘核被第10次加速后的环绕半径R与被第40次加速后的环绕半径d/2之间满足,

得到R=2.5cm。

(2)

a

c

d

b

aOO

c

d

b

答图1答图2

如答图1,选择a、b、c、d四个有代表性的粒子,根据左手定则画出其垂直进入空腔时所受洛伦兹力的方向如图所示,可见洛伦兹力使得粒子束在水平方向会聚,同时,在与之垂直的竖直方向散开。

或如答图2所示选择特殊位置,画出有代表性粒子受到的力,并将力正交分解,也可证明磁场使粒子束在水平方向会聚,同时在竖直方向发散。

6.(2021·北京市海淀区二模)质谱仪是一种检测和分离同位素的仪器。如图所示,某种带电粒子,从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场,其初速度可忽略不计。这些粒子经过小孔S2沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中,随后粒子束在照相底片MN上的P点形成一个曝光点。对于同一种元素,若有几种同位素时,就会在底片上的不同位置出现按质量大小分布的谱线,经过分析谱线的条数、强度(单位时间内打在底片上某处的粒子动能)就可以分析该种元素的同位素组成。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

(1)求比荷为的粒子进入磁场的速度大小;

(2)若测得某种元素的两种同位素a、b打在底片上的位置距离小孔S2的距离分别为D1和D2,强度分别为P1和P2,求:

①两种同位素a、b的粒子质量之比m1:m2;

②两种同位素a、b在该种元素物质组成中所占的质量之比M1:M2。

【答案】(1);(2)①D12∶D22;②P1D12∶P2D22

【解析】

(1)对粒子在加速电场中的运动,根据动能定理有

解得比荷为的粒子进入磁场的速度大小为

(2)①设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有

粒子打在底片上的位置距离小孔的距离为

联立②③④可得

由⑤式可知

②设单位时间内打在底片上的粒子数位N,则由题意可得

联立①⑦可得

由⑤⑧可得单位时间内打在底片上的粒子总质量为

由⑨式可知

7.(2021·福建省龙岩市三模)如图所示,在竖直的xoy平面内,在水平x轴上方存在场强大小、方向平行于x轴向右的匀强电场,在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场、大小与方向都未知的匀强电场E2。一质量为m、带电量为q的小球从y轴上的P(0,L)位置无初速度释放,释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动,运动轨迹恰好与y轴相切。

(1)求匀强电场E2大小与方向;

(2)求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离;

(3)若让小球从y轴上的Q点(图中未标出)无初速度释放,小球第二次穿过x轴后进入第二象限做直线运动,恰好又回到Q点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小。

【答案】(1);方向竖直向上;(2);(3)

【解析】

(1)小球在第四象限做匀速圆周运动,有

qE2=mg①

小球释放后进入第一象限,故小球带正电,可得电场方向竖直向上

(2)小球在第一象限做匀加速直线运动,对小球,有

由③④⑤得

小球再次回到第一象限做类平抛运动,如图所示,有

竖直方向

水平方向

由⑥⑦⑧得

(3)假设x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B0,从P点释放的小球进入磁场,有

假设Q点离坐标原点的距离为yQ,对从Q点释放的小球,进入第一象限的速度v1,同理可得

从Q点释放的小球进入x轴下方,做匀速圆周运动,

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