自动控制原理7.47.5离散系统数学模型,稳定性分析

线性离散系统的分析与校正第七章解法：（1）迭代法：从初值出发，按照差分方程一步步递推出输出序列。（2）z变换法：对差分方程两端取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取z反变换，求得输出序列c(k)。课前复习1、差分方程G(s)2、脉冲传递函数

所谓零初始条件，是指在t<0时，输入脉冲序列各采样值以及输出脉冲序列各采样值均为零。课前复习课前复习

例：已知差分方程如下，试用迭代法求出c(k),k=0,1,2,3,4;求出该离散系统脉冲传递函数。其中，r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。7.4离散系统的数学模型离散系统的数学定义线性常系数差分方程及其解法脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数1、有串联环节时的开环系统脉冲传递函数（1）典型情况之一：串联环节之间有采样开关结论：被理想采样开关隔开的n个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积7.4.4、开环系统脉冲传递函数解：①（2）典型情况之二：串联环节之间无采样开关例：

:：7.4.4、开环系统脉冲传递函数∴

②

∴

7.4.4、开环系统脉冲传递函数2.带有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数零阶保持器连续环节7.4.4、开环系统脉冲传递函数上式第二项可以写为采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为7.4.4、开环系统脉冲传递函数例：采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。解：脉冲传递函数7.4.4、开环系统脉冲传递函数由于系统采样开关配置的多样性，故系统无唯一结构形式。（1）闭环离散系统的典型结构G(s)H(s)7.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的z变换直接得到。7.4.5、闭环系统脉冲传递函数例、已知离散控制系统结构如上图所示，前向传递函数，反馈传递函数，试计算系统的闭环脉冲传递函数。

解：

G(s)H(s)7.4.5、闭环系统脉冲传递函数（2）数字控制系统的典型结构E(s)7.4.5、闭环系统脉冲传递函数解：

例已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。7.4.5、闭环系统脉冲传递函数

通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。见课本P319。但只要误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数C(z)。7.4.5、闭环系统脉冲传递函数小结离散系统的数学定义线性常系数差分方程及其解法：迭代法、z变换法脉冲传递函数：定义，求法(定义、G(s)G(z))开环系统脉冲传递函数：有串联环节、有零阶保持器闭环系统脉冲传递函数7.5、离散系统的稳定性与稳态误差

s域到z域的映射离散系统稳定的充要条件离散系统的稳定性判据离散系统的稳态误差离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在s平面上分析稳定性的结果离散线性系统在z平面上的稳定性。一、s域到z域的映射关系7.5.1、s域到z域的映射回忆z变换的定义：令z=eTss域和z域的关系s域和z域的关系z=eTs令σ=0，相当于取s平面的虚轴，当ω从-∞变到∞时，映射到z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。s平面z平面7.5.1、s域到z域的映射当s平面上的点沿虚轴ω从-∞移到∞时，z平面上的点已经沿着单位圆转过了无穷多圈。等σ曲线07.5.1、s域到z域的映射结论：s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半s平面。7.5.2、离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。1、离散系统稳定的充要条件（时域）--自学2、离散系统稳定的充要条件（z域）G(s)H(s)7.5.2、离散系统稳定的充要条件设特征方程的根（闭环极点）各不相同z1，z2，z3…….zn由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部；s平面的右半平面对应的不稳定区域：z平面上单位圆的外部；s平面的虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即7.5.2、离散系统稳定的充要条件例：设典型离散系统采样周期T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。解：开环脉冲传递函数特征方程结论：闭环系统不稳定。7.5.2、离散系统稳定的充要条件7.5.3、离散系统的稳定性判据连续系统的代数稳定判据—劳斯稳定判据判定：特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性判定：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？将劳斯判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内新平面上的左半平面Z域w域1.W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据令注意到z和w都是复变量，则有显然：考察上式：在z平面的单位圆上，满足对应在w平面上：表明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。7.5.3、离散系统的稳定性判据Z平面单位圆内Z平面单位圆外w平面左半平面w平面右半平面劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。7.5.3、离散系统的稳定性判据例：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时K的极限值。解：7.5.3、离散系统的稳定性判据进一步整理后，w域的特征方程：劳斯表由劳斯稳定判据使系统闭环稳定的取值范围极限增益7.5.3、离散系统的稳定性判据连续系统求稳态误差的方法：（1）L变换的终值定理；（2）动态误差系数法上述方法求离散系统稳态误差由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式。例如图示系统7.5.5、离散系统的稳态误差设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z平面上的单位圆内。由z变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差。稳态误差：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期T有关。例1设图中试求离散系统相应的稳态误差。7.5.5、离散系统的稳态误差系统闭环稳定。先判断稳定性再求稳态误差7.5.5、离散系统的稳态误差如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希望求出离散系统在扰动作用下的稳定误差，只要求出系统误差的z变换函数E(z)，在离散系统稳定的前提下，同样可以应用z变换的终值定理算出系统的稳态误差。7.5.5、离散系统的稳态误差7.5.6、离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别根据开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点个数来确定。ν=0,1,2..称为0型、Ι型、ΙΙ型离散系统。在连续系统中，将开环传递函数G(s)具有s=0的极点数ν作为划分系统型别的标准，ν=0,1,2..的系统称为0型、Ι型、ΙΙ型等。1.单位阶跃输入时的稳态误差0型系统I型及以上的系统静态位置误差系数G(Z)的极点，即，其分母为0，G(z)为无穷大。7.5.6、离散系统的型别与静态误差系数2.单位斜坡输入时的稳态误差0型系统II型及以上系统I型系统系统稳态误差为有限值。系统稳态误差为零。静态速度误差系数7.5.6、离散系统的型别与静态误差系数3.单位加速度输入时的稳态误差0型和I型系统II型系统系统稳态误差为有限值。III型及以上系统系统稳态误差为零。静态加速度误差系数7.5.6、离散系统的型别与静态误差系数不同型别单位反馈离散系统的稳态误差0型与I型离散系统不能承