材料力学第3章扭转

第三章扭转§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3.3纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力§3.5圆轴扭转时的变形§3.7非圆截面杆扭转的概念§3.1扭转的概念和实例一、工程实例汽车方向盘MeMe二、受力特点

杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.直接计算1.外力偶矩§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me若功率的单位为马力时，则公式为Me

在n-n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算1.求内力截面法TMeMeMex••nnMeMe•xTMe•xT

采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.2.扭矩符号的规定3.扭矩图

用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置;用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在x轴上方,负的扭矩画在x

轴下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示,其转速n=300r/min,主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n

计算CA

段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T

2为正值.结果为负号,说明T

2应是负值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理,在BC

段内BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC

段内在AD

段内1133

注意：若假设扭矩为正值,则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩图4774.5N·m9549N·m6366N·m+_从图可见,最大扭矩在CA段内.讨论:若将A，D互换，扭矩图发生什么变化？4774.5N·m9549N·m__15915N·m

§3-3薄壁圆筒的扭转1.实验前（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力偶.一、应力分析薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.3.推论（1）横截面上无正应力，只有切应力；（2）切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxδ

圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDC此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4.推导公式

薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.Tττxdydzdxyz二、切应力互等定理ττ1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,其方向与y

轴平行.

两侧面的内力元素

dydz大小相等,方向相反,将组成一个力偶.由平衡方程其矩为(dydz)dxxydydzzdxττ2.要满足平衡方程

在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dx3.切应力互等定理

单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线.4.纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.MeMel式中,r

为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到

薄壁圆筒的扭转试验发现,在切应力低于材料的剪切比例极限时，φ与Me

（在数值上等于

T

）成正比.在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量称为切应变。三个弹性常数的关系TO从T与之间的线性关系,可推出与

间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克定律G–剪切弹性模量O思考题：指出下面图形的切应变2切应变为切应变为0四、

剪切变形能剪切变形能的推导过程与拉压变形能的推导过程相同。也可写为:

剪切变形比能当切应力小于剪切比例极限时:或:§3.4圆轴扭转时的应力变形几何关系物理关系静力关系

观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式一、变形几何关系试验现象:各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2)各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍是直线；平面假设

变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面.圆轴扭转时，横截面保持为平面,形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地绕轴线发生“刚性”转动。变形几何关系距圆心为处即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。二、物理关系

剪切胡克定律

距圆心为处切应力沿半径呈线性分布。三、静力关系

1.公式的建立rO结论dAdAρρTρρ代入物理关系中得到式中：T—横截面上的扭矩

—求应力的点到圆心的距离Ip—横截面对圆心的极惯性矩Wt

称作抗扭截面系数，单位为mm3或m3.2.的计算rOTdAdAρρρmax（1）实心圆截面dO3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算ρdρODdρdρ（2）空心圆截面其中例题2图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切变模量G=80GPa.（1）画轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力,并指出其位置.M1M2ABCll解:（1）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求轴的最大切应力,并指出其位置max

最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.M1M2ABCllmax1.数学表达式四、强度条件2.强度条件的应用强度校核设计截面确定许可载荷扭转强度条件：1.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：例3(书例3.2)已知：传动轴为无缝钢管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核轴的强度。解：计算Wt

切应力ABC解：作轴的扭矩图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别校核两段轴的强度例题4

图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC

段的直径

d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[]=80MPa,试校核该轴的强度.因此,该轴满足强度要求.例题5实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M

和长度l

均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比

=0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.ll(a)(b)

分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T.已知：dd2D2因此解得

两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.40§3.5

圆轴扭转时的变形扭转角

两个横截面绕轴线的相对转角。

微段的扭转角

整体的扭转角

整体的扭转角

等直圆轴且扭矩不变时GIp

圆轴的抗扭刚度。

台阶轴或扭矩分段变化42

等直圆轴且扭矩不变时

单位长度扭转角

刚度条件(rad/m)

若的单位为“度”，则(º/m)扭转强度条件扭转刚度条件已知T

、D和[τ]，校核强度已知T

和[τ]，设计截面已知D和[τ]，确定许可载荷已知T

、D和[φ/]，校核刚度已知T

和[φ/]，设计截面已知D和[φ/]，确定许可载荷例题6图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，DB=1°.试求：（1）AD杆的最大切应力;（2）扭转角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩图计算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题7某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成,钢管外径D=76mm,壁厚d=2.5mm,轴传递的转矩Me=1.98kN·m,材料的许用切应力

[]=100MPa,切变模量为G=80GPa,轴的许可扭角[′]=2/m.试校核轴的强度和刚度.DddMeMe解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比由强度条件

由刚度条件DddMeMe将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.其截面面积为空心轴的截面面积为

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力偶矩例题8

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件

按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件

5.选同一直径时

6.将主动轮安装在两从动轮之间受力合理例9(书例3.4)已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80GPa。取[t]=40MPa,[]=1.5º/m。求：设计4轴的直径。54

计算力偶矩

取4轴,受力如图

画出扭矩图

计算力偶矩T

画出扭矩图可得到：T

由强度条件

由刚度条件57

由强度条件

由刚度条件

最后取：

说明：本题实际上是弯扭组合变形的问题。由刚度条件控制例10(书例3.5)已知：把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和G2IP2。解：求：轴和筒的扭矩。先扭后焊，属装配应力问题。59

静平衡方程设外力偶矩m撤销后，轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为T2

。T1T2T1T2

变形协调方程设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为1

，筒的扭转角为2

，转向如图。所以：61

物理关系代入变形协调方程与平衡方程联立解得T1T2

弹簧的螺旋角5°,且D>>d,这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧.推导这种弹簧的应力与变形的计算公式.§3-6

密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力F

簧丝的横截面上有两个内力分量即FSTFPF

作为近似计算,通常可略去与剪力FS相应的

,且D/d

很大时,还可略去簧圈曲率的影响,所以簧杆横截面上最大切应力为2.应力的计算

为便于分析,将杆的斜度视为0°

截面法1.内力的计算公式修正的原因:（1）当D/d较小,会引起很大的误差;

（2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的.式中c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表3.13.强度条件FSTFPF

若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形1.应变能的计算3.功能原理Vε=W当弹簧的变形为l

时，外力所做的功为FFOll2.外力做的功c—弹簧刚度例题11某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经R=59.5mm,簧丝横截面直径d=14mm,有效圈数n=5.材料的[]=350MPa,G=80GPa,弹簧工作时总压缩变形（包括预压变形）为l=55mm

试校核弹簧的强度.解：求出弹簧所受的压力F为由R及d求出查表3.1查处弹簧的曲度系数k=1.17弹簧满足强度要求.§3-7

非圆截面杆的扭转一、基本概念对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲而不再是平面.

（2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同引起相邻两截面间纵向线段长度改变,这将在横截面上引起附加的正应力.这一情况称为

约束扭转.

（1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同,纵向线段的长度无变化，横截面上仍然只有切应力而没有正应力.这一情况