电路分析第9章正弦稳态功率和能量3

第九章正弦稳态功率和能量三相电路§9-1基本概念§9-4单口网络的平均功率功率因数§9-5单口网络的无功功率§9-7正弦稳态最大功率传递定理§9-2电阻的平均功率§9-3电感、电容的平均储能1第9章正弦稳态功率和能量学习目的：掌握正弦稳态电路的功率计算。学习重点：计算平均功率、无功功率、视在功率、功率因数。学习难点：负载获得最大功率。关键词：功率、功率因数。2若在dt时间内，由a点转移到b点的正电荷为dq，且由a到b为电压降u，则正电荷失去的能量，即ab段电路消耗或吸收的能量为

dw=u•dq

p(t)>0时，电路吸收功率

p(t)<0时，电路放出功率1、能量瞬时功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在关联参考方向下§9-1基本概念2、功率3

R:p

=

u·i=i2R>

0耗能元件L、C:p

>0吸收功率

p

<0放出功率

储能元件pdwdt（t）=p=u·ip>0吸收功率；p<0放出功率。w(t)

=∫t∞-p(t

)dt§9-1基本概念消耗或吸收的能量为N0+–i(t)u(t)41.瞬时功率+u

i设：u(t)

=

Umcosti(t)

=

Imcost

p(t)

=

u·i

=

Umcost

Imcost

=

UmImcos2(t

)UmIm[cos(2t)+1]=12(1)

p

>

0

(2)

p

随时间变化，变化的角频率为2t

，是电压或电流角频率的2倍。

0tipuu·i·pπ2π§9-2电阻的平均功率结论：52.平均功率(有功功率）

P

=T1∫T0UmIm12UmIm[cos(2t)＋1]dt12=UmIm

=

UI12P

=P

=

I2RR

U2P

=平均功率的大小与电流的频率及初相角无关61p(t)

=

Umcost

Imsint

=2UmImsin2t

0tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗电能

(2)平均功率结论：–

+uiL设:u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos(

t–90º)§9-3电感、电容的平均储能1.电感元件（1）瞬时功率

7（4）贮能w(t)=12Li2(t)=12LIm2sin2t

=14LIm2(1-cos2t

)LIm2=14LIm2cos2t

14平均贮能：LIm2=WL

=14LI212(3)无功功率—瞬时功率的最大值：电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。单位为乏尔(var)

。QL

=

UI

=LI2=2WL无功功率又可表示为：i(t)

=

Imcos(

t–90º)8（1）瞬时功率

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗电能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcost

Imsint

=–UmImsin2t

UIsin2t

=–2.电容元件设:i(t)

=

Imcos(t–90º)u(t)

=

Umcos(t–180º)–

+uiC0tipuu·i·pπ2π结论：9(3)无功功率—瞬时功率的最大值（4）贮能平均贮能：瞬时能量QC

=–

UI

=–

CU2=–2WC无功功率又可表示为：u(t)

=

Umcos(t–180º)10单一参数的交流电路小结元件类型瞬时值关系大小关系相量关系功率纯电阻元件URm=RIRm

UR=RIR

UR=RIRP=IRUR=RIR2Q=0纯电感元件ULm=XLILm

UL=XLILXL=LQ=ILUL=XLI2=2WLP=0纯电容元件UCm=XCICmUC=XCICXC=1/

CQ=–ICUC=–

XCI2

=–2WCP=0uR=iRR1112课堂练习：

P-75习题：9－3P-75习题：9－4P-69习题：9－1P-69习题：9－21128结束12§9-4单口网络的平均功率功率因数设u(t)=Umcos(t+u)i(t)=Imcos(t+i)p(t)=UmImcos(t+u)cos(t+i)UmIm[cos(u-i)+cos(2t+u+i)]21=UmImcos(u-i)+UmImcos(2t+u+i)2121=N0i(t)电源+u(t)一.瞬时功率2coscos=cos(

-)+cos(+)N0不含独立源阻抗角

j=u–i13u·i·p0tipuπ2π二.平均功率P=T1pdt∫T0一.瞬时功率P

=

∑PKnK=1平均功率守恒j

：功率因数角=cosj：功率因数14

在无独立源的单口网络交流电路中，可将电路等效为RLC的串联。I•U•UR•UL•UC•UL•UC•RLC串联电路相量图§9-5单口网络的无功功率和视在功率UX•UX=UL–UCUXI=ULI–UCIQ=QL+QC三.无功功率QL=ULIQC＝–UCIUURUX15电压三角形功率三角形§9-5单口网络的无功功率和视在功率S2=P2+Q2S=UIQ=UXIP=URI视在功率：S=UI

（单位：伏安）Q

=

UIsinjUURUX三.无功功率Q=QL+QC四.视在功率16功率小结：1.平均功率(W):功率因数角、阻抗角、电压与电流的相位差电阻上消耗的功率之和S=UIQ=UXIP=URIP

=

∑PKnK=1功率因数17功率小结：3.视在功率Q=QL+QC电感与电容无功功率的代数和2.无功功率(var)

S=UI

（伏安）S=UIQ=UXIP=URIQ

=

UIsinj电感取正，电容取负，视在功率反映电源设备的容量Q

=

∑QKnK=118例1:试求电路中的平均功率P,无功功率Q，视在功率S及功率因数cos，已知：=1000ºV。U•解：方法一Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10–36.87º3.633.69º==2.78–

70.56ºI=UZ••=1000º2.78–

70.56º=3670.56ºAP=UIcos=100×36cos(0º–

70.56º)=1200WQ=UIsin=100×36sin(0º–

70.56º)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos=cos(0º–70.56º)=0.33I•j43+–U

•I1•I2•–j219解：方法二I1=U|Z1|=1005=20AI2=U|Z2|1002==50AP=I12R=202×3=1200WQL=I12XL=202×4=1600varQC=–I22XC=–502×2=–5000varQ=QL+QC=1600–5000=–3400var=arctgQ/P=–

70.56ºcos=cos(–70.56º)=0.33S=P2+Q2=3600V·AU•例1:试求电路中的平均功率P,无功功率Q，视在功率S及功率因数cos，已知：=1000ºV。I•j43+–U

•I1•I2•–j220例2图示电路中电压源在

=400rad/s和超前功率因数0.8之下供电（即电流超前电压）,消耗在电阻上的功率是100W，试确定R和C的值。解：cosj=0.8j=–arccos0.8=–36.87°R2

+

(C1)2UI

=RC1=

0.751jC1CR1=R2

+

(C)2Z

=

R

+

arctg(–)tg(–36.87˚)

=

–0.75RjC1I·+U

=

1000˚V–·RC1=

0.75

400

=

30021R2

+

(C1)2U2P

=

I2R

=

R=2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100－－－(2)2C2RU21

+

2C2R2

=

300－－－－－－(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

643001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=RjC1I·+U

=

1000˚V–·22

例3.电路如图所示，

。

（1）求200负载的功率P；

（2）求电源侧电路功率因数l；

（3）求100电阻上消耗的功率；

us(t)

=

100√2cos200tV2H200+us–100j400Ri·RL200+Us–100I·23·15I

=1000˚300

+

j400=1000˚50053.1˚=(–53.1)˚A

P200Ω

=

I2RL

=

(

15)2

200

=

8W(2)l

=

cos(u

–

i)

=

cos53.1˚

=

0.6(滞后)(3)P100Ω

=

I2Ri

=

(

15)2

100

=

4W解：(1)US

=

1000˚V·j400Ri·RL200+Us–100I·(1)求200负载的功率P

；(2)求电源侧电路功率因数l；(3)求100电阻上消耗的功率.24解:例4：R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L=127mH、C=40F，。求：(1)电流i及电压uR，uL，uC；(2)功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)得25V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos(2352-=tuC（2）电路为电容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+求：(1)电流i及电压uR，uL，uC；(2)功率P和Q。2627课堂练习：

P-86练习题：9－9P-86练习题：9－1027功率因数低引起的问题平均功率

P=UNIN

cos

功率因数(1)电源设备的容量不能充分利用(2)增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下，cos越低，I越大，损耗越大。情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差、阻抗角、功率因数角在电源设备UN、IN一定的五.提高功率因数1.提高功率因数的意义28提高功率因数的方法+–uiiRLLRCiCI

•IC•IRL•U

•1电路功率因数低的原因

并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了整个电路的功率因数。同时总电流减小。通常是由于存在电感性负载将适当的电容与电感性负载并联因

<

1

故

cos>cos

12、提高功率因数cos的方法29例3设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因数为0.5（1）电源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？解：（1）PL=UIL

cosL

+–uiLPL=50kWiCiCQL=UIL

sinL=2204550.866=86.7kvarcosL=0.5L=6030例3设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因数为0.5（1）电源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）并联电容后，电源提供的无功功率解：cos=0.9=25.84由QC

=–

CU2P=UIcos31§9-7正弦稳态最大功率传递定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·求负载获得最大功率的条件设UOC、Z0不变，ZL可变，·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可变Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL·32(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL=当X=X0+XL=0时，分母最小，PL最大(R0

+

RL)2

UOC2

RLPL

=dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC2(R0+RL)4(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL

=

R0负载获得最大功率的条件：共轭匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(–arctgR0+RL)X0+XL·Z0ZLI·+UOC-·+UL-·33(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4RO

UOC2获得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·负载获得最大功率的条件：共轭匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可变34(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)负载为纯电阻RLdPL(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)dRL=[(R0+RL)2+X02]2UOC2=0(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)=0R02+2R0RL+RL2+X02–2R0RL–2RL2=0R02–RL2+X02=0RL2=R02+X02RL=R02+X02=

Z0模匹配PLmax=I2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·35

(3)负载ZL的阻抗角固定而模可改变

ZL

=

R02

+

X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL=RL

+

jXL=|ZL|∠j在这种情况下，可以证明，负载获得最大功率的条件为：负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模匹配。在这种情况下，负载所获得的最大功率并非为可能获得的最大值。如果负载阻抗的阻抗角也可调节，还能使负载得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·36负载获得最大功率的条件ZL=RL+jXL

RL和XL都可变*ZL

=

Z0负载为纯电阻

RLPLmax=I2RLZL的阻抗角固定而模可改变模匹配PLmax=I2RL模匹配共轭匹配37例1：电路如图，求（1）获得最大功率时ZL为何值？（2）最大功率值；（3）若ZL为纯电阻，ZL获得的最大功率。解：Z0

=(2

+

2)

103

j4

103(2

+

2)

103

+

j4

103=j16

1034

+

j4=

2

+

j2

=

2245˚k（1）ZL

=

2

–

j2k

时获得最大功率=

212245˚V=212

j42

+

j2·UOC=2

1032

103

+

(

2

103

+

j4

103)

2120˚

10-3

j4

103（2）ZL2120˚mAj4K2K2K+UOC–·2120˚mAj4K2K2K38·I·Z0ZLUOC·UOC

=212245˚V(2)Pmax

=4

2

103=

UOC2(2122)28

103=

11.24W(R0

+

RL)2

UOC2

RL

=Pmax

=4RO

UOC2获得的最大功率ZL

=

2–

j2k

时获得最大功率39ZL

=

22103

=

2.83K时获得最大功率I

=·(2

+

j2

+

2.83)

103

UOC·=212245˚(4.83

+

j2)

103=57.3422.51˚mAPmax

=

I2RL

=

(57.34

10-3)2

2.83

103

=

9.3WI·Z0ZLUOC·（3）若ZL为纯电阻，求ZL获得的最大功率。Z0

=

2245˚k40正弦交流电路的过渡过程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–us(t)

=

Usmcos(

t+)uC

(t)

=

uCh+

uCpuCh—对应齐次方程的通解，即暂态解uCp—非齐次方程的特解，解的结构即稳态解，用相量法求：设：41正弦交流电路的过渡过程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–响应非齐次方程的解，uC

(t)

=

uCh+

uCp根据42正弦交流电路的过渡过程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–4344ABCUA•UB•UC•相电压N中性点中性线（零线）相线（火线）相线相线1.三相电源的星形联接相线与中性线之间的电压称为相电压;其有效值用UA、

UB、UC表示或一般用UP表示。+–+–+–=UP–120ºUB•=UP0ºUA•UC•=UP120º=UA0ºUA•=UB–120ºUB•UC•=UC–

240ºuA=UmsintuB=Umsin(t–120°)uC=Umsin(t–240°)45ABCEA•EC•EB•UA•UB•UC•UBC•UAB•UCA•N中性点中性线相线（火线）相线相线1.三相电源的星形联接+–+–+–两条相线之间的电压称为线电压。其有效值用UAB、UBC、UCA表示或一般用Ul表示。