【创新方案】高考数学 第七章第七节 立体几何体中的向量方法 A

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直

D．以上均不正确解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(

)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：C3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为________．4．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1

中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有

个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有

个，它们是共线向量．无数无数2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔

.若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔

.(3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2a1a2＋b1b2＋c1c2＝03．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a、b分别是两异面直线l1、l2的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.考点一利用空间向量证明平行、垂直关系如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.(2010·天津高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．考点二利用空间向量求空间角(2010·湖南高考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．考点三利用空间向量解决存在性问题如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法．它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型．2．证明空间向量的平行、垂直的方法(1)证线线平行与垂直．若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则：①l1∥l2⇔v1∥v2.②l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)证线面平行与垂直若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则：①l∥α⇔v⊥n.②l⊥α⇔v∥n.(3)证面面平行与垂直若平面α和β的法向量分别为n1，n2，则①α∥β⇔n1∥n2.②α⊥β⇔n1⊥n2.3．利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.(2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种办法：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(3)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：①分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；②通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[特别警示]利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(

)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案：D2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(

)A．2