高数武大上册2012第七章微分方程-7.5常系数

常系数机动目录上页下页返回结束第五节线性微分方程

第七章一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程三、欧拉方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束2.当时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束3.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例5.解:特征方程:即其根为方程通解:机动目录上页下页返回结束例6.解:

特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束思考与练习

求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第九节目录上页下页返回结束备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动目录上页下页返回结束二、二阶常系数线性非齐次微分方程根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束（一）为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束（二）例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.

(填空)

设机动目录上页下页返回结束2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:

特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、欧拉方程常系数线性微分方程欧拉方程的算子解法:

则计算繁!机动目录上页下页返回结束则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:机动目录上页下页返回结束例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①机动目录上页下页返回结束①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得机动目录上页下页返回结束例2.解:

将方程化为(欧拉方程)

则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为机动目录上页下页返回结束例3.解:

由题设得定解