第四节 曲面方程

曲面方程的概念柱面

第七章解析几何向量代数

常见二次曲面第四节上页下页返回结束曲面及其方程旋转曲面一、曲面方程的概念在空间直角坐标系中,如果曲面

S

与方程定义:F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上任意点的坐标都满足此方程;

F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程,则称F(x,y,z)=0为曲面S的方程,称曲面S为方程上页下页返回结束上页下页返回结束空间解析几何研究的两个基本问题:(1)已知动点的运动规律,求动点坐标满足的方程;例1:一动点与二定点A(2,－3,2)及B(1,4,－2)等距离,求动点的轨迹方程.解:设动点坐标为M(x,y,z),平面方程故所求方程为特别地,当球心为坐标原点时,球面方程为设球面上动点坐标为M(x,y,z),即依题意半径为

R

的球面方程.上页下页返回结束例2.求球心为解:上页下页返回结束(2)已知曲面方程F(x,y,z)=0,求方程所表示的曲面的形状.解:曲面的形状.所表示例3.研究方程配方得:这方程所表示的是球心在点半径为3的球面.1.定义.一平面曲线

绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:上页下页返回结束二、旋转曲面曲线C2.旋转曲面方程的建立绕o

z轴上页下页返回结束旋转一周y

zoCx得旋转曲面SSM(x,y,z)SMN从而得旋转曲面S方程：N点在曲线C上,满足曲线方程M,N两点竖坐标相同M,N两点到oz轴距离相等坐标面yoz面上的曲线C即：绕oz轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕oy轴旋转所得旋转曲面S的方程为：坐标面zox面上的曲线C绕oz轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕ox轴旋转所得旋转曲面S的方程为：坐标面xoy面上的曲线C绕ox轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕oy轴旋转所得旋转曲面S的方程为：xOzy上页下页返回结束绕x轴一周.例4.将下列各曲线绕指定轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程．1.双曲线得双叶旋转双曲面axyoz上页下页返回结束2.上述双曲线绕y轴旋转一周.得单叶旋转双曲面z

yox上页下页返回结束3.两条相交直线绕z轴旋转一周.得圆锥面当a=b=1时,圆锥面为y.oxz旋转抛物面上页下页返回结束4.抛物线绕z轴旋转一周,得a=1时,为yxo绕y轴旋转所成曲面.上页下页返回结束5.z环面得引例.方程表示什么曲面?将此直线平行于z轴沿圆C移动所形成的曲面，解:所以在空间解析几何中,过此点作平行z轴的直线l,则此直线上的点的坐标都满足方程表示圆柱面.一点上页下页返回结束平面解析几何:表示xOy坐标面上的圆.空间解析几何:在xOy面上的圆C上任取显然是圆柱面.三、柱面即方程表示的曲面,平行于定直线并沿定曲线C移动的动直线l的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l

叫做(直)母线.表示表示平行于z轴的平面.表示上页下页返回结束抛物柱面,椭圆柱面.一般地,例5.画出下列方程所表示的曲面:zxy=0yo上页下页返回结束双曲柱面表示xzy0母线准线

(不含z)S表示平行于z轴的一张柱面上页下页返回结束一般地,F(x,y)=0母线准线xzy0表示母线平行于x轴的柱面上页下页返回结束

(不含x)同理,F(y,z)=0方程F(z,x)=0

(不含y)表示母线平行于y轴的柱面三元二次方程下面介绍几种常见的二次曲面:椭球面、抛物面、通过截痕法研究这几类二次曲面的特性.前面介绍过的双曲柱面、旋转抛物面等都是二次曲面.双曲面、锥面.表示的曲面称为二次曲面.(二次项系数不全为0)上页下页返回结束四、二次曲面标准方程:(1)范围：1.椭球面(2)截痕截曲面,得:用椭圆abcyx

zo截曲面,得:用椭圆越大,椭圆越小,时,椭圆缩变为点上页下页返回结束截曲面,得:用椭圆abcyx

zo截曲面,得:用椭圆越大,椭圆越小,时,椭圆缩变为点上页下页返回结束截曲面,得:用椭圆abc截曲面,得:用椭圆越大,椭圆越小,时,椭圆缩变为点yx

zo上页下页返回结束abcyx

zo(1)当a,b,

c中有两个数相同时,(2)当a＝b＝c时,上页下页返回结束标准方程:1.椭球面注:方程表示旋转椭球面;方程表示球面.xzy0(1)椭圆抛物面标准方程:上页下页返回结束2.抛物面截痕:用z=0截曲面,得点(0,0,0);截曲面,得:用椭圆越大,椭圆越大;xzy0(1)椭圆抛物面标准方程:上页下页返回结束用y=0截曲面,得截曲面,得:用抛物线抛物线用x=0截曲面,得抛物线截曲面,得:用抛物线当p=q时,注:方程表示旋转抛物面.xzy0截痕:双曲线上页下页返回结束(2)双曲抛物面标准方程:用z=0截曲面得,两条相交直线截曲面,得:用xzy0上页下页返回结束(2)双曲抛物面标准方程:抛物线截曲面,得:用截曲面,得:用抛物线xzy0上页下页返回结束

（马鞍面）(2)双曲抛物面标准方程:(1)单叶双曲面上页下页返回结束3.双曲面xyoz截痕:椭圆双曲线双曲线标准方程:截曲面,得：用截曲面,得：用截曲面,得：用当a=b时,注:方程表示单叶旋转双曲面.上页下页返回结束(2)双叶双曲面oxyz无截痕；截痕:双曲线双曲线oxyz截曲面,得：用两点.椭圆；截曲面,得：用截曲面,得：用当a=b时,注:方程表示双叶旋转双曲面.上页下页返回结束4.椭圆锥

面oxyz截痕:双曲线双曲线截曲面,得：用得点(0,0,0);椭圆；截曲面,得：用截曲面,得：用当a=b时,注:方程表示圆锥面.两条相交直线；两条相交直线；内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面方程为:

柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.常用:椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.上页下页返回结束三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面