2022衡水中学地理内部学习资料专题08 外接球与内切球（新高考地区专用）（解析版）

专题08外接球与内切球技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲外接球8大模型秒杀公式推导1.墙角模型使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径秒杀公式：（4）图示过程秒杀公式：2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得（3）秒杀公式：（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理（3）秒杀公式：（4）图示过程4.折叠模型使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠推导过程第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算第三步：（3）秒杀技巧：（4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒杀公式：（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c秒杀公式：图示过程7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：（4）图示过程鳄鱼模型使用范围：适用所有的棱锥推导过程：（3）秒杀公式：（4）图示过程内切球的半径---等体积法推导过程秒杀公式：图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式例题举证例题举证技巧1外接球之墙角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足为，连接，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是与平面所成的平面角.又，.所以，解得.故该长方体的体对角线为.设长方体的外接球的半径为，则，解得.所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）棱长为的正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.技巧2外接球之汉堡模型【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.【举一反三】1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是，因此它的外接球的直径是，所以这个球的表面积是：.故选：B．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．4π B．3π C．2π D．4π【答案】D【解析】因为BD⊥平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、为棱的长方体与三棱锥A﹣BCD具有相同的外接球，所以该外接球的直径为，半径为，则该外接球的体积为故选：D.3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】长方体中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．设，则，解得，∴外接球半径为，表面积为．故选：C．4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取中点，连交于点，，为的外接圆圆心，，，，外接圆半径为,，平面，平面，又，点为三棱柱的外接球球心，外接球半径，外接球体积.故选：B.技巧3外接球之斗笠模型【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正三棱锥中，，,所以,故,同理可得,,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为,故选：C【举一反三】1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】【解析】过点作平面于点，记球心为.

∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，∴，∴.∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面积为.故答案为：.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.技巧4外接球之折叠模型【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积故选：D【举一反三】1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【答案】【解析】设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，连接，则为三棱锥外接球的半径．取的中点，连接、、，如图所示，由题意可知，，，，且，，为二面角的平面角，即，连接，平面，平面，，，四点共圆，且该圆的直径为．在中，由余弦定理知，的外接圆直径，当时，取得最小值，为，此时该球的表面积取得最小值，为．故答案为：．2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面积为S＝4πR2．故选：A．技巧5外接球之切瓜模型【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，，，，，，所以的外接圆的圆心为斜边的中点,，为等腰三角形.取的中点，连接，，，,,又面面，面面，面，面，过点作的平行线，则球心一定在该直线上.设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,由球的性质则，平面，则为矩形.在中，,则所以的外接圆的半径所以，则则所以球的半径为所以三棱锥的外接球的表面积为故选：B【举一反三】1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，

由已知可得，与均为等边三角形，

取中点，连接，，则，

∵平面平面，则平面，

分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，

则为三棱锥的外接球的球心，

由与均为边长为的等边三角形，可得，

，

，

∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选：D.技巧6外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为．技巧7外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即为外接球的球心，球的半径所以四面体的外接球的表面积为：.故选：B【举一反三】1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，因为,且,所以,所以,所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C2．（2020·重庆一中高三）已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为_______.【答案】【解析】因为，，所以，，所以△△均为直角三角形，取斜边的中点，连接、，如图：易得，所以点为该四面体外接球的球心，所以球的半径，故其表面积.故答案为：.技巧8内切球半径【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（）A． B． C． D．不确定【答案】A【解析】如图，正四面体的中心即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为，可得，，又，，，，．所以故选：【举一反三】1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，所以球的半径为，所以球的体积为，故选：D.2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1【答案】D【解析】设点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以，即三棱柱内切球的半径，，所以，即三棱柱外接球的半径，所以内切球的表面积为，外接球的表面积，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为故选：D3．（2020·江苏无锡市第六高级中学）正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵正三棱柱有一个半径为的内切球，则正三棱柱的高为cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，设底面正三角形的边长为cm,则，解得cm，∴正三棱柱的底面面积为cm2，故此正三棱柱的体积V＝cm3．故选：B．技巧强化技巧强化1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，可将直三棱柱补成长方体，其中，，长方体的对角线，即为球的直径，则球的半径为.球的表面积为.故选:A.2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，即，又，∴为等边三角形根据题意，有如下示意图：如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH.由题意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，，，代入解得，即有，∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（）A．6π B．8π C．12π D．16π【答案】A【解析】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径，即，则该球的表面积.故选：A5．（2020·江西赣州市·高三）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故选：B．6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，平面平面，又因为平面平面，平面，，可得平面，因为四边形为平行四边形，所以，同理平面，所以、均为，设中点为，连、，则，其中为三棱锥外接球半径，则，，则，故三棱锥外接球的表面积为.故选：C.7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）A．30 B． C． D．36【答案】C【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径满足：，则.由题意知：，则，，该正方体的外接球的表面积为，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面积为.故选：C.8．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以是等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故选：C9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱(侧棱底面，底面是正三角形)内接于球O，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知是与底面所成的角，则．故由，得．设，则，解得．所以球的半径，所以球的表面积．故选：A．10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，设，连接、.则，，又，，所以，四边形为平行四边形，，为的中点，所以，，由勾股定理可得，则，在中，，，，，又，则为等边三角形，，则是的外接圆的圆心.因为，为的中点，，，，，，，，又，，平面，且.设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，则外接球的半径满足，设，则，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为.故选：D.11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．10 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，,故选：C12．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，故，易知，又，，所以平面，而平面，于是得．设，，则，则，，，由，得，整理得，所以，所以，当且仅当，即时的面积取得最小值18．此时．设三棱锥的外接球半径为，因为，，故线段为外接球的直径，故所求外接球的表面积．故选：D．解法二：令，则，，，又因为平面，所以，又．所以平面，所以．的面积当且仅当时，取最小值，此时，．在三棱锥中，因为，取中点为，则，故为三棱锥的外接球的球心，所以为外接球直径，．故选：D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．【答案】【解析】因为正三棱柱的底面积，底面外接圆半径，所以正三棱柱的高，所以外接球的半径，则，故答案为：．14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可知：因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，设的外接圆的直径为，由正弦定理可知：，因为侧棱底面，，所以三棱锥的外接球的直径为，由勾股定理可知：，所以三棱锥的外接球的半径为：，所以三棱锥的外接球的体积为：故答案为：15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】由题意知：在中，根据余弦定理有：，，，∴中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，∴，又且，即面，又由面知：面面，∴三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，，则：，解得，所以由球的表面积，故答案为：.16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（biēnào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则________．【答案】．【解析】，，，则平面，平面，∴，又，，∴平面，平面，∴，．又，∴，，又，∴三棱锥可补形成以为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于的平方和，而由，则是三棱锥外接球的直径．∵，∴，，，，，，∴，，，∴．故答案为：．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.【答案】【解析】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为，故正方体外接球的直径为，所以半径为，故球的体积为，故答案为：.18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以.所以外接球的表面积为.故答案为：19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.【答案】【解析】如图所示：平面，连接，又为正方形，点为正方形对角线的交点，则是等腰直角三角形，是直角顶点，设是中点，则是的外心，取是中点，则，而平面，平面，三棱锥的外接球的球心在直线上，由已知可计算，，在的延长线上，设，则由得，解得，，外接球表面积：．故答案为：．20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为________.【答案】【解析】在中，因为，，可得的外圆球直径为，又由