第四章 流体流动基本原理

14流体流动基本原理主要内容系统与控制体输运公式质量守恒方程动量守恒方程能量守恒方程动量矩守恒方程

2

流体流动过程必然遵循物质运动的基本原理:质量守恒、动量守恒、能量守恒等。本章采用控制体分析方法，建立流体流动系统质量守恒、动量守恒、动量矩守恒和能量守恒的积分方程，分析研究流体运动的宏观行为。4.1概述

在研究流体运动的宏观行为时，既可在流场中选定部分流体即系统为对象，也可以选择确定的流场空间即控制体为对象。34.1.1

系统与控制体

流体力学中既有区别又有联系的一对重要概念。（1）系统

——是一团流体质点的集合，在运动中系统的形状和位置可以不断变化，而它所包含的流体质点却始终不变。4

上图示为一流道，t1时刻在位置1选取一个系统（虚线），在t2时刻这个系统运动到了位置2，t3时刻在位置3。在运动中系统的形状和位置都发生了变化，但其所包含的流体质点却不变。

由于系统始终包含相同的流体质点，所以系统是与拉格朗日方法相联系的概念。

1235

系统以外的物质称为外界。系统与外界的分界面称为边界。系统可通过边界与外界发生力的作用能量交换不发生质量交换。

质量不变是系统的特点。1236

以系统为对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪识别其边界，这在实际流动过程中显然是很困难的。

工程上所关心的问题也不在于跟踪质量确定的流体的运动，而在于确定的设备空间中流体的流动行为。所以在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象而不是以系统为对象的研究方法。7泵活塞式压缩机离心机8热交换器9（2）控制体

——根据需要选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。它是与欧拉方法相联系的概念。

控制体的表面称为控制面。在控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。10

图中，实线即为控制体。一般来说，控制体的体积形状不变，但控制体内流体的质量是随时间而变化的。11系统控制体定义流体质点集合流场空间特性形状、位置变化位置、体积、形状确定与外界关系力的作用能量交换无质量交换力的作用能量交换质量交换主要特征质量不变质量随时间变化对应方法拉格朗日方法欧拉方法系统与控制体对比12

由于有关物质运动的基本原理都是针对具有确定质量的系统而言的，所以，以控制体为研究对象时就存在这样一个问题：

“系统”

“控制体”

输运公式？13

关键问题是将

(dm/dt)系统(dmv/dt)系统

(dE/dt)系统转换成与控制体相关的表达式。4.1.2雷诺输运公式14t

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线

下面以(dm/dt)系统为例进行推导。图中阴影部分为固定于流场中的控制体，将控制体所包括的流体区域定义为系统的初始位置。

15

起始时刻t，系统的边界与控制体表面相重合，系统所占据的空间与控制体空间相重合。在经过Δt的时间后，系统的边界移动到一个新的位置，所占据的空间变为区域II和区域III，但控制体空间是固定不动的，仍然是区域I和区域II。IIIIIIt

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线t+Δt时刻的系统边界16

于是，在起始时刻t，系统的质量m|t将等于该时刻区域I和区域II的流体质量之和，即：在t+Δt时刻，系统的质量m|t+Δt则等于该时刻区域II和区域III的质量之和，即IIIIIIt

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线t+Δt时刻的系统边界17

根据导数的定义，系统的质量变化率为IIIIIIt

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线t+Δt时刻的系统边界18引入t+Δt时刻区域I的质量。于是上式得

IIIIIIt

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线t+Δt时刻的系统边界19于是，对于控制体所包括的流体系统，其质量变化率可表述为：(dm/dt)系统=输入控制体的质量流量控制体内的质量变化率控制体净输出的质量流量—+输出控制体的质量流量IIIIIIt

时刻的系统边界固定的控制体t时刻的流线t+Δt时刻的系统边界20同理可表述动量mv、能量E：上述三式即为雷诺输运公式。

(dmv/dt)系统=—+输出控制体的动量流量输入控制体的动量流量控制体内的动量变化率控制体净输出的动量流量

(dE/dt)系统=—+输出控制体的能量流量输入控制体的能量流量控制体内的能量变化率控制体净输出的能量流量214.2

质量守恒积分方程——连续性方程4.2.1控制体系统的质量守恒方程

根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质量守恒方程为由输运公式，以控制体为研究对象时质量守恒方程可表述为22输出控制体的质量流量输入控制体的质量流量控制体内的质量变化率控制体净输出的质量流量—+=023任意时刻t的流线ρθnvdA→→→→

微元面上流体的法向速度为：

vcosθ=(v·n

)

流体流过dA单位面积的质量①质量流量

在流场中取一任意控制体。设在微元面积dA上，流体密度ρ，流体速度矢量与微元面外法线单位矢量n的夹角为θ。

→24称为质量通量，其单位为kg/（m2s）。于是通过微元面积dA的质量流量可表示为：

ρ(v·n

)dA→→ρvcosθ=ρ(v·n

)→→n→ρθvdA→25②控制体净输出的质量流量质量流量有正负之分。若为输出，则θ<90,若为输入，则θ>90,

ρ(v·n)dA→→

ρ(v·n)dA>0；→→

ρ(v·n)dA<0。→→由于通常情况下，控制面上总有流体输入面和输出面两部分，所以将沿整个控制面CS积分，即为

ρ(v·n)dA→→n→ρθvdA→26控制体净输出质量流量=27③控制体内的质量变化率

对于控制体内密度为ρ的任意微元体积dV，其质量为ρdV。将ρdV在整个控制体CV积分可得控制体内的瞬时总质量，再对时间求导得:控制体内的质量变化率=ρdv28④质量守恒方程

将上述各式集合在一起即可得到控制体系统的质量守恒方程：输出控制体的质量流量输入控制体的质量流量控制体内的质量变化率控制体净输出的质量流量—+=0294.2.2质量守恒方程的常用表达形式设A1，A2分别为控制面上流体的输入面和输出面。由于输入面A1上输出面A2上这里用分别表示流体输入、输出控制体的质量流量，则净输出质量流量又可表达为

ρ(v·n)dA<0

。→→

ρ(v·n)dA>0

。→→30若用mCV表示控制体内的瞬时总质量，则质量守恒方程可写成31

对稳态流动系统，流体及流动参数均与时间无关，即因此，质量守恒方程简化为即稳态流动，输入与输出的质量必然相等。32即输入与输出的体积流量相等。对不可压缩流体的稳态流动，ρ=const，则33例题：不可压缩流体在半径为R的圆管内作层流流动。已知进口截面1-1上速度均匀分布。截面2-2上速度的分布为vmax为截面2-2上的最大速度。试确定vmax与v1之间的关系。v2v1zrR221134解：取1-1、2-2截面之间的管段间为控制体。

（θ=180°）截面1-1上：（θ=0°）截面2-2上：v2v1zrR221135于是v2v1zrR221136

由于控制体内为不可压缩流体，则控制体内总质量不随时间变化,即则有

故有

vmax=2v137例题：一储气罐，罐中空气经管道向外界排出，已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，而速度呈抛物线规律分布：p0ρ0pρv已知排气管r0=0.025m，当储气罐中p0=0.14MPa，T0=277.8K，测得管道出口处气流vmax=32m/s，储气罐和管道的总容积0.32m3。试求此时从管口排出的空气流量以及储气罐和排气管中空气密度随时间的变化率。38解：从管口排出的空气流量可表示为

管道中气体流速很低，可认为气罐中和管道中的空气密度相同，则出口处气流密度可由气体状态方程求出，即p0ρ0pρv39p0ρ0pρv4041练习题：已知有密度为850kg/m3的液体，在内径为0.2m的输油管道截面上的流速为2m/s，求在另一内径为0.05m的截面上的流速以及管道内的质量流量。32m/s；53.4kg/s42434.3

动量守恒方程对于质量为m，速度为v的运动系统，其动量随时间的变化率为思考题：系统上的作用力包括哪几种力？44

对流动系统，以控制体为对象研究其动量守恒时，动量守恒方程可表述为输出控制体的动量流量输入控制体的动量流量控制体内的动量变化率控制体净输出动量流量作用于控制体系统各力矢量之和=-+45ρθdAv→n→xyzG→F1→F2→

观察如图流场中的控制体。其中，表示作用于控制体上的表面力。表示体积力。表示力的矢量和。

G→∑F→①动量流量定义：动量流量=速度×质量流量则流体通过微元面积dA的动量流量为：F2→F1→46单位：kg·m/s2，方向与速度方向相同。

动量流量的分量为：动量流量的正负与质量流量的正负是一致的！思考题：可否表示成点积形式？47②控制体净输出的动量流量将动量流量沿整个控制面CS积分，得到输出控制体的动量流量与输入的动量流量之差：控制体净输出动量流量=48③控制体的动量变化率

对于控制体内密度为ρ，速度为v的任意微元体积dV，动量为，则动量变化率为：vρdV→控制体内的动量变化率=任意时刻t的流线ρθnvdv→→上式也可写成三个分量式的形式→49④

动量守恒方程

由上述各式可得控制体系统的动量守恒方程：上式即为矢量形式的动量守恒积分方程。作用于控制体系统各力矢量之和输出控制体的动量流量输入控制体的动量流量控制体内的动量变化率控制体净输出动量流量=-+50

实际应用中常采用该方程的分量式。对直角坐标系统，动量守恒方程的分量式为：514.3.2动量守恒方程的应用①以平均速度表示的动量方程

工程实际应用中，往往采用平均速度来计算进出口截面上流体的动量。设控制体进出口截面上流体的平均速度分别为v1和v2，质量流量分别为qm1，qm2，52于是可得：同样可得其余两个表达式。则x方向动量的净输出流量为：53②稳态流动

稳态流动时，流体参数及流动参数与时间无关，控制体动量随时间的变化率为零。54注意：①动量方程描述了流体的动量变化和导致这种变化的作用力之间的关系，在分析流体机械及管道受力中十分有用。②动量方程中的力指的是作用于流体上的力，而流体作用于管道设备上的力则是其反力。③在分析实际问题时，通常采用分量形式的动量方程，因而，首先要建立合适的坐标系统，然后按方向逐一列出动量方程。55动量方程的解题步骤：1.选分离体（控制体）

根据问题的要求，将所研究的两个断面（通常为进、出口）之间的流体取为分离体；

2.选坐标系

选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；

3.作计算简图

分析分离体受力情况，并在分离体上标出全部作用力的方向；

4.列动量方程解题

将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。

56例题1：流体稳态流动，经过x-y平面内的弯头，弯头进出口截面面积为A1，A2。试确定流体对弯头的作用力。(考虑重力)βv2v1xy2157解：取1和2截面间的管道空间为控制体。流体受力分为：

1.进出口压力2.重力3.弯头内壁面对流体作用力的合力

RxRyGRyRxp2p1βv2v121xy58于是有GRyRxβp2p1v2v1xy2159控制体净输出动量流量为GRyRxβp2p1v2v1xy2160由于是稳态流动，则得x，y方向的动量守恒方程分别为：61解得：流体对弯头的作用力的分量正好与Rx，Ry相反。62例题2：如图所示，喷水推进船，从前舱进水，然后用泵及直径为d=15cm的排水管从后舱排向水中。已知船速v1=36km/h，推进力F=2kN。试求水泵的排水量为多少m3/s?

v2Fv1v1dQ=0.29663解：取船内流管的全部内壁轮廓为控制体，已知进水速度为v1=36km/h=10m/s，设相对于船艇的排水速度为v2，排水量为Q，则由动量方程得

代入数据得v2Fv1v1d64例题3：水从固定喷嘴定常喷出，垂直冲击一块平板。水离开喷嘴的速度为v1=20m/s，喷嘴出口面积为A1=0.005m2。假定水冲击平板后沿平板流动。水的密度ρ=1000kg/m3，试确定支撑这块平板所需的水平力。喷嘴2000N65解:如图所示选择控制体。由动量守恒定理有：Ryx

动量流项有三部分：一个流入和两个流出。其中两个流出动量流量由于与x向垂直，所以沿x向的分量为零，因而沿x向的动量流量只有进口截面上的值。6667练习

如图，水以v2=10m/s的速度从内径为d2=50mm的喷管中喷出，喷管的一端用四个螺栓固定在内径为d1=100mm水管的法兰上。如不计损失，试求作用在每个螺栓上的拉力。其中p1=46875Pa（表）。xv2d1p1，v1水答案要点：v1=2.5m/s，F=55.2N684.4动量矩方程及其应用

动量守恒方程阐明了流体运动的变化与所受外力的关系，但是当系统还受到力矩的作用从而产生转折或旋转运动时，如叶轮，往往就需要用到动量矩定理。4.4.1动量矩定理①动量矩力矩为M=rF，大小为M=|r||F|sinβ动量矩为r

mv，大小为|r||mv|sinα→→→→→→→→→αFr0zyx→→mv→β69②

动量矩定理

为确定力矩与动量矩之间的关系，将动量方程两边同时叉乘矢径rαFr0zyx→→mv→β→其中方程左侧为,为系统所受力矩之和；而右边可按矢量微分法则展开70

由于dr/dt=v

，所以有，于是可得：→→上式表明，系统所受力矩等于系统动量矩随时间的变化率，即动量矩定理。71

4.4.2控制体系统的动量矩方程因此，如果将速度矩矢量(rv)暂用H表示，则动量矩方程可表示为→→→由于72按照动量守恒方程的形式可写出动量矩守恒方程该方程的意义是：作用于控制体的总力矩控制体净输出的动量矩流量控制体内动量矩变化率73则动量矩方程在x方向的分量式为y、z方向分量式只须改变相应下标即可。74

二维稳态流动系统的动量矩方程

动量矩方程常应用于二维稳态流动系统，如叶轮机械中的流动和力矩分析。①

二维条件下动量矩方程只剩下一个分量式。？作为工程计算，不计进出口截面上速度的具体分布，按平均速度计算。由于是稳态流动，所以有75叶轮76风扇：77高速泵叶轮78高速泵叶轮速度矢量图79整体流动显示模拟结果80zyxov1→α1r1→r2→v2→α2

设平面流道系统平行于x-y平面，与z轴垂直。在流道进口截面上，流体质量流量为qm1，流体的平均速度为v1，则进口截面上速度v1对z轴的矩为：→→看详图81zyxov1→α1r1→r2→v2→α2流道82

若出口截面上流体质量流量为qm2，平均速度为v2，则有zyxov1→α1r1→r2→v2→α283

所以有zyxov1→α1r1→r2→v2→α284

于是根据动量矩方程第三式，可得x-y二维平面系统稳态流动情况下的动量矩方程：zyxov1→α1r1→r2→v2→α285应用上式应特别注意：①式中取Mz的正方向为轴的正方向，所以式中的α必须是由矢径r的延伸线逆时针转动到与速度v相重合时的角度。②工程实际中，有时可能不知道出口面上的绝对速度v2，但知道其分速度v21和v22以及r2与它们的夹角α21，α22，这时可用→代替r2v2sinα2。zyxov1→α1r1→r2→v2→α286于是有③该式多用于叶轮机械的流动分析中，因为直接知道的是叶轮流道进出口截面上流体的相对速度和牵连速度，而不是绝对速度。该式也可应用于有多个进出口的系统。87v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→88例题：密度ρ=1200kg/m3，质量流量qm=60kg/s的海水通过离心泵稳态流动。叶片流道进出口圆半径分别为R1=0.05m和R2=0.20m，进出口叶片宽度分别为b1=0.02m和b2=0.015m，角速度ω=124rad/s，叶片出口角θ2=135º，设流体进入流道时的绝对速度沿叶轮径向方向。试确定：1）流体在叶轮中受到的力矩；2）为使流体进入叶片流道时的相对速度与叶片相切的叶片进口角θ1。v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→89解：取控制体为叶轮半径R1和R2包括的流体空间。控制体进出口截面面积分别为由于是稳态流动，有qm1=qm2=qm。叶轮仅在垂直于z轴的平面内转动，所以属于二维稳态流动系统，仅有Mz。v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→90对于出口截面：

出口截面上流体的绝对速度的两个分量为：牵连速度v2T=R2ω相对速度v2R与叶片相切，与矢径的夹角为θ2-90º，未知。））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R91

由于只有径向速度才能使流体流出叶轮流道，因此，相对速度的径向分量乘以出口面积等于流体体积流量则有））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R92由此可得出口截面上流体动量对z轴的矩为））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R93对进口截面：

由于假设绝对速度沿叶轮径向，所以相对速度不一定与进口处叶片相切。设相对速度与牵连速度的夹角为θ1，则有））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R94进口流体动量对z轴的矩为由于进口截面流体的绝对速度沿径向，所以该面上流体对z轴的动量矩必然为零，即(a)95于是，根据二维稳定流动的动量方程有代入数据得：Mz=-265.77N·m。这说明流体所受的矩指向z轴反向。96

根据进口截面上动量矩为零的条件，可得进口相对速度和牵连速度的夹角为即为叶片进口角。注：由于1算完只能为锐角，所以用π来减。97例题2：对称臂洒水器，旋转半径R=200mm,喷口直径d=8mm,θ=45°,总流量qv=5.6×10-3m3/s,不计摩擦阻力矩，求旋转角速度。若喷水时不让其旋转，应受到多大的力矩？θRR196.944.1N.m98θRRv（θω99解：每个喷嘴的出口速度为这一速度的切向分量即为旋臂的切向圆周速度100θRRv（θω101练习Rrω已知：总流量qv，R、r、出口面积A。求ω及水所受力矩。ω=qv/(R+r)A102例题3：不可压缩理想流体平面射流（单位宽度），冲击在如图所示的挡板上。射流厚度为d，在挡板两端流出的两股分流厚度为d1,d2，射流速度为v，不计重力和摩擦力。假设转折流速度v1=v2=v。求流体作用在平板上的合力和合力中心。vv2v1d2d1d103解：取控制体如图。vv2v1d2d1dFbEeyx104

由流体的连续性及不可压缩性，进入与排出控制体的流量应该相等。则有：

由于是理想流体，挡板与水流之间的作用力与挡板相垂直。以Fb表示挡板对控制体的作用力。vv2v1d2d1dFbEeyx105对控制体应用动量方程：vv2v1d2d1dFbEeyx106107vv2v1d2d1dFbEeyx1084.5能量守恒积分方程

流体在流动过程中将发生压强变化、速度变化、位置变化及流动损失，因此要遵守能量守恒。4.5.1能量守恒方程对于流体系统，热力学第一定律可表达为：系统从外界吸热的速率与系统对外界做功的速率之差等于系统能量的变化率。109式中，Q为单位时间内控制体系统的吸热速率，单位为J/s或W。并规定系统从外界吸热时为正，向外界放热时为负；W为单位时间内控制体系统对外界的做功功率，单位为W，并规定系统对外界做功为正，外界对系统做功为负；E为控制体系统的瞬时能量，单位为J。˙˙110①控制体系统能量方程的表达根据输运公式可表述为：控制体系统从外界吸热速率控制体系统对外界做功速率输出控制体的能量流量输入控制体的能量流量控制体内的能量变化率控制体净输出能量流量111②能量流量以e表示单位质量流体所具有的能量，则流体通过微元面积dA时的能量流量为θnvdA→→xyzQ˙W˙(a)112③控制体净输出的能量流量

有流体输出的控制面上，能量流量将（a）式沿整个控制面CS积分，则得有流体输入的控制面上，能量流量113控制体净输出能量流量④控制体内的能量变化率

对控制体内任意微元体积dV，其能量为eρdV，则有控制体内的能量变化率114⑤能量守恒方程

将上述各表达式代入控制体系统能量守恒方程表达式可得：上式为流动系统中通用的能量守恒积分方程，各项单位为J/s。115几点说明：一、做功功率W包括三部分：˙①Ws是轴功率:流体对机械设备做功功率为正；反之为负。②Wμ是流体克服控制面上的粘性力（如剪切力）做功功率，即粘性功功率。对于理想流体，粘性功功率为零。˙˙116

流体输出控制面，其为正，表示系统对外做功；流体输入控制面，其为负，表示系统获得流动功。③

Wp流体克服控制面上的压力做功的功率，称为流动功功率。在微元面dA上，压力的作用力为pdA，单位时间内流体在作用力方向(n方向)移动的距离为vcosθ，所以单位时间内流体所作的流动功为˙→117则控制体系统净输出的流动功功率为于是，能量守恒方程又可表达为118二、单位质量流体具有的能量e

e通常由内能u、动能v2/2和位能gz组成：于是能量守恒方程表示为119例题：滑动轴承，轴以匀角速度转动，轴表面受到的切应力为τ，轴承在轴线方向的宽度为W。假设润滑油无外漏，确定保持油温恒定所需要的散热速率。分析：这个问题是稳定散热问题。取轴瓦间润滑油空间为控制体，由于控制体无流体进出，润滑油本身也不存在轴功的输入或输出ωτR1R120解：由分析可知能量方程可简化为此时粘性功功率为轴对流体做功的功率，因此有即为所求的散热速率。ωτR1R121

对能量方程的讨论：

对稳态流动,控制体内的能量不随时间变化，此时能量方程为下面再看一个例题。122例题：设有瀑布从高处大的水体流入低处另一大的水体，瀑布的落差为100m，试求流下后水的温升。水的比热c=4186J/(kg·k)。截面1截面2100m123解：取一小截面流管控制体如图所示，流管上端从上部的水体表面起始，下端到下部水体表面为止。水流为自由流动，因此仅有流动功。对该控制体应用能量方程得截面1截面2100m124忽略流动过程的热传递，即Q=0，又p1/ρ1=

p2/ρ2，v1=v2=0，则有•由于Δu=c(T2-T1)，所以则有可见，对于水来说，很大的落差才能产生很小的温度增加。125①无热量传递，即Q=0②无轴功输出，即Ws=0③流体不可压缩，即ρ=常数④稳态流动，即әECV/әt=0⑤理想流体，即Wμ=0•••4.5.2伯努利方程及其应用

下面讨论能量方程在管流时的应用。对能量方程，假设：126则方程可简化为：进口截面上，出口截面上，对于理想不可压缩流体的稳态流动，可认为流体参数与进出口截面无关。无热量传递意味着u为常数，则上式可写成127由于稳态流动，所以有这就是伯努利方程，第一项为动能，第二项为位能，第三项为压力能。——机械能守恒方程。128丹尼尔·伯努利，(DanielBernoulli1700～1782)

瑞士物理学家、数学家、医学家。生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。1716年获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位。伯努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学教授。1727年，20岁的欧拉到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。

129关于伯努利方程应用的说明：①适用条件：质量力为重力；不可压缩；理想流体；稳态流动。②伯努利方程应用于管流时，一般要求管流进出口处于均匀流段或等直径管段。③方程的物理意义：沿着同一根流线流体的动能，位能和压力能可以相互转变，三者之和保持不变。130上式表明，沿同一根流线，流体的总水头即：速度水头、位置水头和压强水头之和为常数。⑤对于粘性流体流动，应计入内摩擦导致的机械能损耗，通常单位质量流体的摩擦能耗又叫阻力损失，以hf表示。于是粘性不可压缩流体稳态流动的机械能守恒方程可表示为：④方程的几何意义：将方程改写成131若流动过程中同时有轴功的输出或输入，则伯努利方程可表示为Ws为流体输出的轴功。⑥对于可压缩流体的稳态流动，只要流体的速度v与当地音速a之比（马赫数）Ma=v/a≤0.3且与外界无能量交换，则可近似按不可压缩流动处理。132例：变径弯管，轴线位于同一水平面，转角=60°，直径由dA=200mm变为dB=150mm，Q=0.1m3/s，pA=18kN/m2。求水对弯管的作用力。不计弯管水头损失和水的重量。ABQαyx133解：1.用质量守恒方程计算vA、vB2.由能量方程计算pB1343.将流段AB作为控制体，分别写出x、y向动量方程带入数据得：ABQαyx135伯努利方程的应用1.皮托管（Pitot.Henri：1695.5-1771.12，法国数学家、水利工程师

）

当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（或驻点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压力能。驻点的压强称为滞止压强或总压。皮托管就是利用这个原理制成的一种测量流速的仪器。

136ABhH0

简单的皮托管是一根两端开口弯成直角的玻璃管。1773年，皮托首次用这样的玻璃管测量了塞纳河水的流速。137其方法是：将玻璃管的一端放入水深为H0处，开口面向来流，另一端开口向上，管内液面上升，高出水面h。A点速度为零，是水中的驻点。在A点的上游同一水平流线上取一点B，B点未受测管的影响，B点的速度即水流的速度。ABhH0138对A、B两点应用伯努利方程ABhH0由于vA=0，zA=zB，则有（a）139又由于pB=ρgH0，pA=ρg(H0+h)，带入上式得：这样测得了河水的流速。讨论：式（a）指出了A点的总压和B点的压强及速度的关系。实际上A点的总压和B点的总压必定相等，因此点B的总压同样等于式（a）左端的两项之和。ABhH0140对任意一点都有：总压或滞止压强静压动压值得注意的是：

静压不是静止流体的压强，而是流动流体真实的压强。所以称为静压是由于为了测量流动流体的压强，可以让测压计随同流体一起运动，与流体保持相对静止，这样流体不受任何扰动，就可以测出流动流体的真实压强。1412.文丘里管（罗伯特·文丘里是世界著名的建筑师，1925年，他出生于美国宾夕法尼亚州费城）

文丘里管在工程上用于测量管道中流体的流量。它由收缩和扩散管连接在一起组成，收缩和扩散管连接处称为喉部。∆h12Venturi142

测量原理为，管道收缩，流通截面变小，流体流速增加，从而使压强降低。根据压强降低的程度确定流速大小，计算出流体的流量。测量时，在文丘里管入口前的直管段截面1和喉部界面2两处测量静压强，在中心流线和这两个截面的交点1和交点2间建立伯努利方程∆