能量法,超静定课件

目录下页上页11章能量法1目录下页上页内容提要能力要求应变能、余能、卡氏第一定理、余能定理、卡氏第二定理、单位力法理解功能原理熟练计算结构的应变能熟练应用卡氏第二定理了解卡氏第一、二定理、余能定理的意义了解单位力法，用其计算线弹性结构的位移211章

能量法11.1能量法的基本概念11.2应变能11.3卡氏定理11.4用能量法解超静定问题11.5虚位移原理与单位力法11.6本章的主要内容及学习重点目录下页上页3目录下页上页§11.1能量法基本概念

利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围：1.能量法（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础4目录下页上页§11.2应变能

1.杆件应变能的计算轴向拉伸或压缩（1）应变能（a）轴力沿轴线不变5目录下页上页（b）轴力沿轴线变化（2）应变能密度6目录下页上页（b）扭矩沿轴线变化（1）应变能（a）扭矩沿轴线不变扭转7目录下页上页（2）纯剪切应力状态下的应变能密度8目录下页上页（1）纯弯曲弯曲9目录下页上页（2）横力弯曲微段dx整个梁10目录下页上页组合变形下应变能11目录下页上页对图(a)的拉杆,其F-关系如图（b）F在d上所作微功为

dW=Fd

F作的总功为：（F-曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdDO1(b)非线性弹性体的应变能表达式ΔΔ12目录下页上页由能量守恒得应变能：类似，可得其余变形下的应变能：(此为由外力功计算应变能的表达式）13目录下页上页应变能密度:(-曲线与横坐标轴间的面积）sOde11(c)

若取边长分别为dx、dy、dz

的单元体，则此单元体的应变能为：整个杆的应变能为：(此为由应变能密度计算应变能的表达式)特别地，在拉杆整个体积内为常量14目录下页上页对于线弹性问题(3)已知内力函数求应变能(线弹性问题)(1)已知对于线弹性问题(2)已知应变能的计算方法15目录下页上页(4)已知位移函数求应变能16目录下页上页例弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示,

试求梁内的应变能解：梁的挠曲线方程为：荷载所作外力功为：得：wxlyABqx17目录下页上页[例]如图杆系受F作用，求应变能解：BAF18目录下页上页或：（几何非线性弹性问题）应变能为：FO19目录下页上页2.余能设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b

“余功Wc”定义为：F(a)FOdF1F1(b)

与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc

在数值上相等20目录下页上页即：（F-曲线与纵坐标轴间的面积）FOdF1F1(b)21目录下页上页余能密度vc为：（图c中-与纵坐标轴间的面积）也可由余能密度vc计算余能V

c：Od1(c)22目录下页上页对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计

算方法却截然不同。注意：对非线性材料，则余能V

c与应变能V

在数值上不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。23目录下页上页例试计算图a所示结构在荷载F1作用下的余能Vc。结构中

两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸

时的应力一应变曲线如图b所示。解：两杆轴力均为：O11(b)F1CBD(a)24目录下页上页§11.3卡氏定理1.卡氏第一定理设图中材料为非线性弹性应变能只与最后荷载有关，

与加载顺序无关

按比例方式加载假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量di,则应变能的变

化为：123n123nB（卡氏第一定理）外力功的变化为：25目录下页上页注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。式中Fi及i分别为广义力、广义位移。必须将V

写成给定位移的函数，才可求其变化率。卡氏第一定理26目录下页上页例平面桁架，受集中力F，如图a所示。两杆的材料相同，

弹性模量为E，面积均为A，且均处于线弹性范围内。试

按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，先假设结点B只发生水平位移1

（图b）则：AB(b)CB'1ABF45O(a)ClAB(c)CB''2同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）27目录下页上页当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）应用卡氏第一定理得解得：桁架的应变能为28目录下页上页2.卡氏第二定理设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi，外力总余功的相应改变量为：余能的相应改变量为：（余能定理）特别：对线弹性体（卡氏第二定理）29目录下页上页注意：卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性

弹性体，而卡氏第二定理，仅适合于线弹性体。所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其

看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。实际计算时，常采用以下更实用的形式：30目录下页上页例图示桁架结构。已知：F=35kN,d1=12mm,d2=15mm,E=210Gpa。求A点垂直位移。

31目录下页上页例弯曲刚度为EI的悬臂梁,如图所示,材料为线弹性。

试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。解：在自由端“虚加”外力FqqxlyABx00lx32目录下页上页例图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。

环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。

试用卡氏第二定理求圆环的张开位移和相对转角

解：1、张开位移FRFjjR(1-cos)33目录下页上页2、相对转角：

FRFjjR(1-cos)34目录下页上页1.计算A点垂直位移yaaFABCEI1EI2x1x2解：[例]不计轴力和剪力影响，计算图示钢架A点垂直位移y及

转角A35目录下页上页2.计算B截面转角A在A处施加力矩M0AaaFBCEI1EI2x1x2（“-”表示A与M0转向相反）Mo36目录下页上页1、应变能余能应变能余能2、卡氏定理卡氏第一定理卡氏第二定理回顾37目录下页上页卡氏第二定理的实用形式桁架结构梁与刚架结构38目录下页上页（2）建立变形协调条件；1.用能量法解超静定系统的步骤：（4）求解多余未知力：将力-位移间物理关系，代入变形协调

条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。（1）选取基本静定系；（5）进行其他计算。§11.4用能量法解超静定系统（3）求力-位移关系：应用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）

计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位移；39目录下页上页例作图示梁的弯矩图，EI为常数。ABq解：（1）选基本静定系（2）变形协调条件（3）求力-位移关系ql2/89ql2/12840目录下页上页例由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，如图a所示。

已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力--应变关系

为=K1/n，且n>1；并知1、2两杆的杆长为l。试计算各杆的内力。解：（1）选基本静定系统如图b。FBDCA132aa(a)BA(b)DC132XFaa（2）变形协调条件:D=0（3）求力-位移关系:用余能原理41目录下页上页由图b的平衡得各杆轴力：BA(b)DC132XFaa余能密度为：42目录下页上页总余能为（4）求解未知力43目录下页上页1绪论例试作图示结构的弯矩图。解：aaABCx2x1XqFAyFAxFBy49ql2/512qa2/1644目录下页上页1绪论例

试作图示结构的弯矩图。（1）基本静定系；

（2）变形条件：ΔBx=0，ΔBy=0；

解：（3）求力-位移关系：

45目录下页上页1绪论46目录下页上页1绪论例图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。

环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对

圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。解：FR(a)F22FjX11X2X3XX3X247目录下页上页练习题：作图示刚架的弯矩图，EI为常数。ABFaa48目录下页上页§11.5虚位移原理与单位力法1.虚位移原理刚体的虚位移原理：

刚体处于平衡状态的充要条件为：作用于刚体上的所有力在该位置的任一虚位移上所作虚功之和等于零。其中虚位移为假想的约束所容许的任何微小的位移。变形体的虚位移原理：

变形体于平衡状态的充要条件为：作用于变形体上的所有外力在该位置的任一虚位移上所作虚功之和等于变形体的内力在相应虚变形上所作虚功之和。49目录下页上页外力在虚位移上所作虚功之和称为外力虚功，用表示；内力在虚变形上所作虚功之和称为内力虚功，用表示。则变形体的虚位移原理可表示为

下面以悬臂梁为例，来推导变形体的虚位移原理的具体表达式梁上外力荷载为……（广义力）相应虚位移……（广义位移）外力虚功为：内力虚功为：则有50目录下页上页2.单位力法由单位力所引起的杆的任意横截面上的内力记为杆件的虚位移原理表达式成为对于线弹性体的杆件，由实际荷载引起的变形位移分别为：式中为杆件横截面上由实际荷载所引起的内力51目录下页上页

单位力法求线弹性体位移的计算公式：（对于非圆截面杆，上式中的应以替代）则有，注意：（1）在由实际荷载所引起的横截面上的内力，并不一定都有轴力,弯矩、剪力和扭矩。同样，在单位力作用下也不一定都有因此，需具体对象具体分析（2）单位力为广义力，视所需确定的位移而定，且是个由单位的量（3）若计算结果为正值，表示所求位移的指向与单位力指向一致；若为负值，则的指向与单位力的相反。公式右端积分号内由单位力引起的内力以及由荷载引起的内力，其正负号的规定与以前的规定相同52目录下页上页1绪论例弯曲刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载（其集度为q）作用，如图图11-24（a）所示。试用单位力法计算梁中点C的挠度和支座截面A的转角。剪力对弯曲变形的影响可略去不计。解：取x轴与梁的轴线重合，并以左支座A为坐标原点。在均布荷载作用下，任意x截面的弯矩为在C处施加向下的单位力（如图b），引起x截面弯矩：

带入单位力法求线弹性体位移的计算公式53目录下页上页1绪论则有可得梁中点的挠度（结果为正值，表示挠度的指向与单位力指向一致，即向下）求左支座截面A的转角在该截面处施加单位力偶1，其转向取逆时针向（图c）。由单位力偶作用所引起的x的截面弯矩表达式为:带入单位力法求线弹性体位移的计算公式，经积分得54目录下页上页则有（结果为负值，表示转角转向与单位力偶相反，即为顺时针转向）55目录下页上页1．利用功能原理解决力学问题的方法统称为能量法。2．杆件的应变能计算：轴向拉伸与压缩杆件的应变能：§11.6本章的主要内容及学习重点扭转圆杆的应变能：弯曲梁的应变能：56目录下页上页在线弹性、小变形条件下，轴力、弯矩、剪力和扭矩在杆件变形上作的功是相互独立的，因此组合变形时杆件的应变能为：3．余功与余能的计算：4．卡氏第一定理：应变能函数对某个广义位移的偏导数等于与该位移相应的广义力。该定理适用于线性和非线性弹性体。即：57目录下页上页5．余能定理：余能对某个广义力的偏导数等于与该力相对应的位移。该定理适用于线性和非线性弹性体。即：6．卡氏第二定理：对于线弹性结构，应变能对某广义力的偏导数等于与该力相对应的位移。即：实际应用时常采用的形式：7．单位力法法求线弹性体位移的计算公式58目录下页上页1绪论59第十三章能量法§13-1概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即=W§13-2杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩二、扭转三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：13-3变形能的普遍表达式即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移与整个力系有关，但与其相应的广义力呈线性关系。例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。F解：例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求梁的应变能。LFMeAB解：⑴弯矩方程⑵变形能LFM0AB⑶当F和M0分别作用时⑷用普遍定理§13-4互等定理位移发生点荷载作用点F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理:位移互等定理:例：求图示简支梁C截面的挠度。F例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。F13-5卡氏定理若只给以增量，其余不变，在作用下，原各力作用点将产生位移变形能的增加量：略去二阶小量，则：如果把原有诸力看成第一组力，把看作第二组力，根据互等定理：所以：变形能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移卡氏第二定理推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。横力弯曲：桁架杆件受拉压：轴受扭矩作用：13-6单位载荷法莫尔积分莫尔定理

（莫尔积分）例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。§13-7计算莫尔积分的图乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分直杆的M0(x)图必定是直线或折线。顶点顶点二次抛物线例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。LFF解（1）求自由端的挠度Fm=1(2)求自由端的转角例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。qM解（1）简支梁的最大挠度（2）求最大转角最大转角发生在两个支座处例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。CL12TU34解：例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。CL12TU35解：例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。CL12TU36解：例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：

(1)集中力作用端挠度为零时的X值；

(2)集中力作用端转角为零时的X值。CL12TU37F解：(1)F(2)例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。CL12TU38解：例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移θAB

和沿P力作用线方向的相对线位移ΔAB

。CL12TU39解：例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。CL12TU40解：例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH

和转角θA

。CL12TU41解：第十四章

超静定结构第十四章超静定结构14-1超静定结构概念14-2用力法解超静定结构14-3对称及反对称性质的利用目录14-1超静定（静不定）结构概述目录在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：外力超静定：内力超静定：支座反力不能全由平衡方程求出；外力超静定系统和内力超静定系统。支座反力可由平衡方程求出，但杆件的内力却不能全由平衡方程求出.目录例如

解除多余约束，代之以多余约束反力然后根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。目录我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。

解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的基本静定系统或相当系统。（本章主要学习用力法解超静定结构）求解超静定系统的基本方法是：§14-2用力法解超静定结构在求解超静定结构时，目录我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法称为“力法”。一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系，再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座B，并以多余约束X1代替若以表示B端沿竖直方向的位移，则：是在F单独作用下引起的位移是在X1单独作用下引起的位移目录例如：

目录对于线弹性结构，位移