结构力学基础

结构力学基础一、静定结构分析二、超静定结构分析三、影响线及其应用四、结构动力学基础2/2/20231§1-1概述§1-2静定梁与静定刚架§1-3静定桁架§1-4静定拱§1-５静定结构位移计算一、静定结构分析2/2/202321.工程结构的定义:——由基本构件（如拉杆、柱梁、板等）按照合理的方式所组成的构件的体系，用以支承荷载并担负预定的任务。如：桥梁、房屋等。

§1-1概述一、静定结构分析2/2/202332.结构力学的研究对象:研究对象材料力学——研究单个杆件弹性力学——研究杆件（更精确）、板、壳、及块体（挡土墙）等非杆状结构结构力学——研究由杆件系统（FramedStructure）组成的工程结构。§1-1概述2/2/20234桁架结构传力分析§1-1概述2/2/20235拱结构传力分析§1-1概述2/2/202363.结构力学的任务：(1)研究结构在荷载等因素作用下的内力（强度）及位移（刚度）计算。

☆强度——结构在外力作用下是否会破坏的问题。（如：桥在火车作用下的内力计算问题）。☆刚度——结构在外力作用下变形是否满足规定值。（如：桥在火车作用下的位移、挠度、转角计算）。

§1-1概述2/2/20237

(2)研究结构的稳定性及动力荷载作用下的反应。

☆稳定性——受压构件在轴向压力作用下，能否保持其直线平衡状态。§1-1概述(3)研究结构的组成规则和合理形式。

杆件如受压后变弯——失稳NN2/2/20238§1-2静定梁与静定刚架1.单跨静定梁弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号NBANABQBAQABMAB正MBA负A端B端杆端内力内力图2/2/20239一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）有突变(突变值=

P)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(P向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()2/2/2023101.单跨静定梁例：令Q(X)=3qa－qx=0得X=3a2/2/2023111.单跨静定梁利用叠加法作M图：叠加后得：2/2/202312P

aPlabAB⊠应熟记常用单跨梁的弯矩图2/2/202313ABlqql2

22/2/202314BAqlql2

82/2/202315BAPlabPabl2/2/202316MBAablMl

alM

blMMl2/2/2023172.多跨静定梁:

关键在于正确区分基本部分和附属部分，熟练掌握截面法求控制截面弯矩，熟练掌握区段叠加法作单跨梁内力图。多跨静定梁——由若干根梁用铰相连，并用若干支座与基础相连而组成的静定结构。2/2/202318基、附关系层叠图多跨静定梁简图基本部分--不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分。

附属部分--依赖基本部分的存在才维持几何不变的部分。2/2/2023192.多跨静定梁

*多跨静定梁的受力分析及内力图

分析计算顺序：先附属部分，后基本部分。

(1)确定全部反力（包括基本部分反力及连接基本部分与附属部分的铰处的约束反力），作出层叠图。

(2)将多跨静定梁折成几个单跨静定梁，按先附属部分后基本部分的顺序绘内力图。

2/2/2023202.多跨静定梁例2/2/2023213.静定平面刚架

*刚架的概念：刚架是由梁和柱共同组成的一个整体承重结构。其特性总是有刚结点,即梁和柱的连接是刚性连接。共同承载，可削减M峰值。刚结点2/2/202322保持角度不变刚结点处的变形特点3.静定平面刚架

2/2/202323

例.作内力图

3.静定平面刚架2/2/202324(1)

求反力。

切断C铰，考虑右边平衡，再分析左边部分。求得反力如图所示：3.静定平面刚架C2/2/202325(2)作M图

(3)做Q、N图

(4)校核M图

N图Q图3.静定平面刚架2/2/202326§1-4静定桁架2/2/202327*

桁架的定义：——由若干个以铰（Pins）结点连接而成的结构，外部荷载只作用在结点上。§1-4静定桁架1.结点法求桁架内力截取桁架中的任一结点，由作用于该结点的外力及绕该结点诸杆的内力组成的平面汇交力系的平衡条件:由此求出该结点处各杆的内力。

2/2/2023281.

结点法求桁架内力⑴先求出桁架的支座反力。⑵对于简单桁架，先取用两根杆件组成的结点，按求其内力，然后按几何组成的反顺序，依次求出其他杆内力。计算顺序：(组成顺序：2→6→3→5→4)结点法计算顺序：4→5→3→6→21234765如：2/2/2023291.

结点法求桁架内力例2641357几何组成：3→4→6→5→72/2/2023301.

结点法求桁架内力首先取结点7：再取结点5：易求得：依次6→4→3可求得其余各杆内力（如图）7N5352/2/2023311.

结点法求桁架内力2641357+60-45+60+750-50+15-120+25-20-202/2/2023322.

截面法求桁架的内力原则：截取桁架的某一部分（包含二个或二个以上结点）作为脱离体，应用平面一般力系的三个平衡条件，求解桁架内力。2/2/2023332.截面法求桁架的内力作法：(1)截取包含三根杆件部分的桁架，应用平衡条件求解。1KN1KN1KNⅠⅠ2/2/2023342.

截面法求桁架的内力(2)当截取的杆件在三根以上时：1)当截取n根杆件时，其中n－1根杆件相互平行，则用投影方程求出不与其平行杆的内力。ⅠⅠ求2/2/2023352.

截面法求桁架的内力2)当截取n根杆件，其中n－1根杆相交于一点，则用力矩方程，求出与其不相交杆的内力。求2/2/2023362.

截面法求桁架的内力例1.作截面I-I，取左半部分，利用力矩平衡条件可得：2/2/2023372.

截面法求桁架的内力作I-I截面，取上半部分：例2.求2/2/2023382.

截面法求桁架的内力作I-I截面，取左部分：例3．求2/2/2023393.

截面法与结点法的联合应用例II2/2/2023403.

截面法与结点法的联合应用作截面I-I，取左半边：由考虑结点5：考虑结点8：考虑结点6：682/2/202341§1-5静定拱2/2/2023421.基本概念

*拱的定义拱——杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下将产生水平推力的结构。无水平推力，为曲梁

§1-5静定拱2/2/2023432.

三铰拱的数解法1.

求反力：HA、HB、VA、VB§1-5静定拱2/2/2023442.

三铰拱的数解法取左半拱为隔离体，考虑其平衡：

——相应简支梁在C处的弯矩。

三铰拱的约束反力只与荷载及三铰的位置有关，

与拱轴线无关。

2/2/2023452.

三铰拱的数解法*

内力计算：⑴任一截面K(位置)：

⑵内力：

2/2/2023462.

三铰拱的数解法⑶弯矩计算：2/2/2023472.

三铰拱的数解法

⑷轴力计算：

⑸剪力计算：

——左正、右负

三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。

2/2/2023483.

三铰拱的合理拱轴线

(1)定义：在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。

(2)条件：拱轴线与压力线重合时，满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。

2/2/202349例3.

三铰拱的合理拱轴线2/2/202350求各段的合理拱轴线。⑴AD段：

⑵DC段：

⑶BC段：3.

三铰拱的合理拱轴线2/2/202351§1-５静定结构位移计算2/2/2023521.变形体系的虚功原理变形体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。§1-５静定结构位移计算2/2/202353平面杆系：——虚功方程γγ力：位移：§1-５静定结构位移计算2/2/2023542.位移计算的一般公式·单位荷载法杆系结构的虚功方程:——虚力原理求位移§1-５静定结构位移计算2/2/2023552.位移计算的一般公式·单位荷载法位移状态（实际状态）力状态（虚拟状态）△γQMN§1-５静定结构位移计算2/2/2023562.位移计算的一般公式·单位荷载法外力：内力：——由上式可求出位移△K。力状态§1-５静定结构位移计算2/2/2023572.位移计算的一般公式·单位荷载法——在虚拟的力状态中，于所求位移点沿所求位移方向加一个单位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位移方法。单位荷载法：§1-５静定结构位移计算2/2/2023583.荷载作用下的位移计算若MP、NP、QP表示实际状态中微段上的内力。由材料力学知：§1-５静定结构位移计算2/2/2023593.荷载作用下的位移计算——平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。§1-５静定结构位移计算2/2/2023603.荷载作用下的位移计算说明：1.逐段、逐杆积分。2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截面高≤R），可得较精确的解。3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：对只有轴力的结构（桁架）：组合结构则应分别对待。§1-５静定结构位移计算2/2/2023613.荷载作用下的位移计算例：求△cy1.

建立力状态，在C点加单位竖向力。2.

建立各杆内力方程：3.

求位移：EIEI§1-５静定结构位移计算2/2/2023623.荷载作用下的位移计算积分注意事项：⒈逐段、逐杆积分。⒉两状态中内力函数服从同一坐标系。⒊弯矩的符号法则两状态一致。§1-５静定结构位移计算2/2/2023634.图乘法可用图乘法代替积分运算的条件：(1)杆轴线为直线。(3)之中至少有一者为直线图形（或由直线段组成的折线）。(2)EI沿杆长不变。§1-５静定结构位移计算2/2/202364yy0MP图M1图dxABxx04.图乘法§1-５静定结构位移计算2/2/202365条件：1各杆EI为常数；2杆轴为直线；3MP、M1中至少有一个为直线图形。积分等于曲线图形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。已知：EI为常数。求：MP图M图M=11例1、解：MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。PlPlB2/2/202366例2、解：已知：EI=常数。求B点的转角。aaPAB4EIEIEIPaMP图M图1M=1“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反2/2/202367§1-５静定结构位移计算2/2/202368§1-５静定结构位移计算2/2/202369§2-1力法§2-2位移法二、超静定结构分析2/2/2023701.超静定结构的概念§2-1力法*计算方法2/2/2023712.

力法的基本概念*基本未知量思路：将对超静定结构的分析转化为对静定结构的分析。多余未知力——基本未知量*基本结构§2-1力法2/2/2023722.

力法的基本概念*基本方程（几何）位移条件方程：2/2/202373*基本步骤1、选取基本结构。2、列出典型方程：3、计算系数和自由项：4、解方程：5、作M图：2/2/2023742.

力法的基本概念总结力法：

解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知数，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后由平衡条件即可计算其余反力、内力的方法。§2-1力法2/2/202375力法的基本原理求解图示单跨梁原结构待解的未知问题AB基本结构已掌握受力、变形primarystructureorfundamentalstructure基本体系fundamentalsystemorprimarysystem转化2/2/202376变形协调条件力法典型方程(TheCompatibilityEquationofForceMethod)未知力的位移“荷载”的位移总位移等于已知位移已掌握的问题消除两者差别2/2/202377叠加作弯矩图或系数求法单位弯矩图荷载弯矩图

—

位移系数自乘系数和未知力等于多少？

—

广义荷载位移互乘2/2/2023783.力法的典型方程三次超静定x1x23§2-1力法2/2/2023793.力法的典型方程将位移展开：令分别是引起的的作用点沿方向的位移。同理。§2-1力法2/2/2023803.力法的典型方程于是得：可写出其一般形式：主系数，主位移。付系数，付位移。§2-1力法2/2/2023813.力法的典型方程系数梁刚架：桁架：自由项梁刚架：桁架：§2-1力法2/2/202382例11、取基本结构：2、基本方程：3、作图，求算系数和自由项：解：4.实例分析2/2/2023834、解方程：5、作图：2/2/202384例2解：1、取基本结构：2、3、求系数。4、解方程:5、2/2/202385力法基本思路小结

根据结构组成分析，正确判断多余约束个数——超静定次数。

解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。

从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。2/2/202386将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。2/2/202387

由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。解法1：原结构基本体系FPFP解法2：原结构基本体系FPFP2/2/202388原结构FP基本体系FPM1图M2图FPaFPMP图单位和荷载弯矩图2/2/202389FPaFP由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图FPFPaFP由单位和荷载M图可求得位移系数、建立方程FP（×Fpa）2/2/202390原结构FP基本体系FPFPaFP单位和荷载弯矩图2/2/202391对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点对称,方向反对称的荷载5.对称性(Symmetry)利用对称荷载反对称荷载2/2/202392对称荷载反对称荷载PllMllPllEI=CllEI=CM右面这些荷载是对称,反对称荷载,还是一般性荷载?5.对称性(Symmetry)利用2/2/2023935.对称性利用对称性利用原则：⑴取对称的基本结构。⑵如荷载对称或反对称——取半结构。2/2/2023945.对称性利用*取半结构1、奇数跨对称结构：⑴对称荷载：⑵反对称荷载：2/2/2023955.对称性利用2、偶数跨对称结构：⑴对称荷载：2/2/2023965.对称性利用⑵反对称荷载：2/2/202397例12/2/202398例2⑴取半结构，基本结构：⑶求系数：⑵⑷若

强梁弱柱若

弱梁强柱

很小2/2/202399例32/2/20231006.超静定结构位移计算*基本原理：在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的受力和位移与原结构完全一致。因而求超静定结构位移，可用求基本结构位移来代替。虚功原理§2-1力法2/2/20231016.超静定结构位移计算图2II△kk图2II§2-1力法2/2/20231026.超静定结构位移计算

如取基本结构求虚拟状态的内力，可使问题简化。图k图2II§2-1力法2/2/20231036.超静定结构位移计算再取一种基本结构：图k图2II同样可得：§2-1力法2/2/2023104*发展历史

1864年出现力法。上世纪初出现了混凝土，出现了高次超静定结构，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是建立了位移法。30年代出现了由位移法演变而来的渐进法。

§2-2位移法1.概述

2/2/2023105*位移法与力法的区别

在给定的外部因素的作用下，（几何不变的）结构真实的解答是唯一的。两者有确定的关系，知其一必知其二。真实解答中

力法，先求力（未知力、内力、反力），再计算相应位移。位移法，先确定位移，再求内力。§2-2位移法1.概述

2/2/2023106*位移法与力法的区别

用力法求解，有6个未知数。

用位移法求解，未知数=

？个。§2-2位移法1.概述

2/2/20231072.位移法基本解题思路例：作M图：(顺时针作用于杆端的弯矩正)2/2/2023108归纳出位移法解题的基本思路：⑴依据几何条件（支、变形），确定某些结点位移为基本未知数。⑵视各杆为单跨超静定梁，建立内力和位移的关系。⑶由基本方程（平衡方程）求位移。⑷求结构内力。2.位移法基本解题思路2/2/2023109*位移法中需要解决的问题：⑴解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下的内力。⑵确定以哪些结点的哪些位移为未知量。⑶如何建立一般情形下的基本方程。2.位移法基本解题思路2/2/20231103.位移法的基本未知数与基本结构*基本未知量——结点的位移先确定数目⑴角位移的数目（未知量）=刚结点数固端支座——角位移=0铰支座，铰结点——角位移不独立。2个角位移3个角位移3个角位移2/2/20231113.位移法的基本未知数与基本结构⑵线位移未知量数目首先必须强调

那么，有两个已知无线位移的点引出的不共线的受弯杆形成的新的结点也无线位移。一般方法：取铰接体系：结点线位移数=自由度数=使绞结体系成为几何不变体系所必加的最少铰链杆数

2/2/20231123.位移法的基本未知数与基本结构2/2/20231133.位移法的基本未知数与基本结构*基本结构——单跨超静定梁的组合体。⑴假设在刚结点处加上附加刚臂-----阻止结点转移⑵适当地加入附加链杆-----使结点无线位移2/2/20231144.位移法的典型方程及计算步骤*基本原理及基本方程——充分利用叠加原理考虑如下结构：2/2/20231154.位移法的典型方程及计算步骤基本结构转化为原结构的条件是

：基本结构在给定荷载及结点位移Z1、Z2共同作用下，在附加约束中产生的总约束反力R1、R2应等于零，即2/2/20231164.位移法的典型方程及计算步骤由叠加原理求如R1、R2，分解成下列几种情形：(1)荷载单独作用——R1P、R2P（相应约束反力）(2)单位位移单独作用——2/2/20231174.位移法的典型方程及计算步骤(3)单独作用——叠加以上结果得：——典型方程——单位位移单独作用引起的第一个附加约束中的反力（矩）。2/2/20231184.位移法的典型方程及计算步骤当有n个基本未知量时：根据反力互等定理：2/2/2023119解题过程：超静定结构拆成基本结构加上某些条件原结构的变形协调条件（力法基本方程）2/2/2023120位移法：先求某些结点位移结构内力解题过程：结构拆成单根杆件的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点的平衡条件2/2/2023121*计算步骤（实例分析）1、取基本结构：2、列刚度方程：3、系数及自由项：（作、，借助表11-1）2/2/2023122解典型方程，求位移：解得4、叠加绘M图：2/2/2023123例：1、简化原结构，取基本结构:2、列基本方程：3、求系数：2/2/20231244、解方程得：2/2/20231255对称性的利用

外部因素奇数跨偶数跨2/2/20231265对称性的利用

2/2/20231275对称性的利用

2/2/2023128例：求弯矩。1、取半结构：2、取基本结构：3、典型方程：4、求系数：5、解方程：6、作图2/2/2023129§3-1概述§3-2单跨静定梁的影响线§3-3间接荷载作用下的影响线§3-4多跨静定梁的影响线§3-5静定平面桁架的影响线§3-6最不利荷载位置§3-7简支梁的包络图三、影响线及其应用2/2/2023130§3-1概念三、影响线及其应用1.

移动荷载一组力，其大小、方向、彼此间的距离保持不变，而整个力系平行移动。移动荷载作用下，结构的内力（M、Q、N)及位移（挠度、转角）随着移动荷载位置而发生变化。移动2/2/2023131§3-1概念2.最不利荷载位置结构的某一量值（反力、内力、位移）随移动荷载位置移动而变化，该量值最大时的荷载作用位置。在此只讨论移动荷载为单位竖向集中力的情况。2/2/2023132§3-1概念例：有一单位力在简支梁上移动的影响线影响线：在单位集中力移动荷载作用下，结构内某一量值（反力、内力、位移）随单位力作用位置变化的图形，称为该量值的影响线。2/2/2023133§3-2单跨静定梁的影响线作影响线的方法静力法——将单位集中力的任意位置用x表示，用静力平衡条件求出某一量值与x之间的函数关系式，即影响线方程，再依方程作图。

2/2/2023134§3-2单跨静定梁的影响线1.简支梁的影响线

*反力影响线(规定反力向上为正)：2/2/2023135§3-2单跨静定梁的影响线*弯矩的影响线(规定梁下缘受拉为正)：(右直线)(左直线)作用于AC段作用于CB段2/2/2023136§3-2单跨静定梁的影响线*剪力影响线(规定使梁段顺时针为正)：作用在AC段（左直线）作用在CB段(右直线)2/2/2023137§3-2单跨静定梁的影响线2.外伸梁的影响线*反力影响线：2/2/2023138*跨内部分截面的内力影响线：（1）弯矩影响线：在DC段时在CE段时§3-2单跨静定梁的影响线2/2/2023139（2）剪力影响线：在DC段时在CE段时§3-2单跨静定梁的影响线2/2/2023140*外伸跨内力影响线：（1）弯矩影响线：在DK段时在KE段时KK§3-2单跨静定梁的影响线2/2/2023141（2）剪力影响线：在DK段时在KE段时KK1§3-2单跨静定梁的影响线2/2/2023142如果K在A截面处：在DK(A)段在K(A)E段K§3-2单跨静定梁的影响线2/2/2023143§3-3间接荷载作用下的影响线2/2/2023144§3-3间接荷载作用下的影响线传力过程：轮压→→→→→→桥面板纵梁横梁主梁桥台地基主梁只是在与横梁连接处受到集中荷载的作用。通过横梁传递给主梁的集中力称为间接荷载，又称为结点荷载。（panelpoint）2/2/2023145§3-3间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下主梁上MC的影响线：纵梁主梁横梁CDXEdyDyEycADEBCP=12/2/2023146§3-3间接荷载作用下的影响线（1）单位力P=1作用在结点处(A、D、E、F、B)，各结点处的影响线竖标与P=1直接作用在主梁AB上MC影响线相同。ADEBCP=1F2/2/2023147§3-3间接荷载作用下的影响线（2）单位力P=1作用在两相邻结点间,如DE间，假定P=1作用在纵梁上时产生的MC影响线竖标为Y。P=1产生的影响线MC竖标应等于其分力(d-x)/d和x/d产生的MC影响线竖标之和。ADEBCP=1F2/2/2023148§3-3间接荷载作用下的影响线作用：——在DE间呈直线变化。2/2/2023149§3-3间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下主梁影响线作法：1.先作直接荷载作用下所求量值的影响线。2.取各结点处竖标，将各点在每一纵梁范围内连以直线。2/2/2023150§3-3间接荷载作用下的影响线例1：2/2/2023151例2：§3-4多跨静定梁的影响线2/2/2023152§3-4多跨静定梁的影响线2/2/2023153§3-5静定平面桁架的影响线1.桁架影响线分析的特点*桁架上移动的荷载作用形成：下承式：上承式：P=1在下弦移动P=1在上弦移动2/2/2023154*桁架中移动荷载是通过纵、横梁系传递到横梁的结点上的。因此，间接荷载影响线的计算方法适用于桁架影响线的计算。§3-5静定平面桁架的影响线1.桁架影响线分析的特点2/2/20231552.桁架支反力影响线——与相应的简支梁的支反力影响线相同。§3-5静定平面桁架的影响线2/2/20231563.桁架内力影响线：*力矩法：——一般用于求上、下弦杆的内力影响线*投影法：——一般用于求腹杆的内力影响线*结点法：——求端支斜杆影响线§3-5静定平面桁架的影响线2/2/2023157例：(一)力矩法求的影响线。§3-5静定平面桁架的影响线2/2/2023158取右侧平衡：由c、当在12段时，运用间接荷载影响线性质（1）求，作截面。a、在A1段取左侧平衡：由b、在2B段2/2/2023159(2)求上弦杆的影响线。2/2/2023160二、用投影法求腹杆的影响线。a、b、c、2/2/2023161三、用结点法求支座斜杆的影响线。c、b、a、2/2/2023162静定桁架影响线作法：1、区分P=1在桁架上或下弦杆移动。2、用力矩法作出的影响线，其左、右两直线恒交于矩心的下方。3、用投影法求出的影响线，其左、右两直线相互平行，曲折部分在切断面作在载重铰间。2/2/2023163*最不利荷载位置：移动荷载作用下，某一量值（内力、反力、变形）随位置而变化，使得某一量值发生最大（或最小）值时的荷载位置，称为该量值的最不利荷载位置。§3-6最不利荷载位置2/2/20231642、最不利荷载位置的确定(1)

影响线为折线形：一组集中力作用在结构的某一位置上，量值为：（规定以逆时针为正,即沿逆时针转到角时为正）§3-6最不利荷载位置2/2/2023165通常使用的方法：将移动荷载中数值较大且较多密集的集中力组放在影响线的最大竖标附近。将移动荷载尽可能放在同一符号的影响线线段范围内。§3-6最不利荷载位置2/2/2023166§3-7简支梁的包络图包络图——联结各截面的最大、最小的内力的图形。包络图作用荷载活载需要考虑其冲击力影响（动力影响），用冲击系数来表示。2/2/2023167

设活载——均布荷载q

，某内力影响线正负面积及总面积活载的换算荷载为k，于是该力在恒载活载共同作用下的最大最小值分别为：§3-7简支梁的包络图2/2/2023168§4-1概述§4-2单自由度体系的运动方程§4-3单自由度体系的自由振动§4-4单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算§4-5单自由度体系在任意荷载作用下的动力计算§4-6多自由度体系的自由振动§4-7多自由度体系主振型的正交性四、结构动力学基础2/2/2023169为什么要对结构进行动力分析？§4-1概述TacomaNarrowsBridge1940.7.1-11.72/2/2023170

1940年11月7日上午，位于美国华盛顿州刚建成四个月，主跨853米，位居当时世界第三的塔科马海峡桥（TakomaNarrowBridge），在八级大风（风速19m/s）作用下，经过剧烈的扭曲震荡后，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中。当时该桥没有封闭交通。在塔科马桥风毁前，桥梁风毁时有发生（其中以悬索桥居多），人们总是把桥梁的风毁归咎于对静力风荷载估计不足，而导致强度或变形破坏。然而塔科马桥的设计是经过充分的抗风静力计算，足以支承数以万吨计的重量和荷载，却仍在较低风速下被风吹毁，不能不令全世界桥梁工程师为之震惊。风作用引起的抖振、涡激共振等是造成桥梁疲劳损伤的元凶。

§4-1概述2/2/2023171海城地震破坏现场

震级：7.3级时间：1975年2月4日死亡：2041人损失：17.5亿元2/2/2023172唐山地震破坏现场

震级：7.8级时间：1976年7月28日死亡：24.2万人损失：超过200亿元2/2/2023173丽江地震破坏现场

震级：7.0级时间：1996年2月3日死亡：309人损失：30.5亿元2/2/2023174921台湾地震东势地区严重的灾情

----到处可见楼如骨牌般倒塌2/2/2023175地震灾害：死亡人数最多，最容易引起社会恐慌的灾害全国各种灾害死亡人数对比（1949-1991）40%54%地震灾害气象灾害地质灾害海洋、林业灾害其他灾害§4-1概述2/2/2023176§4-1概述一、结构动力计算的特点（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。1、任务：（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。结构静力学：主要研究结构在静力荷载作用下的静力反应（静内力和静位移等）。结构动力学：主要研究结构在动力荷载作用下的动力反应（动内力、动位移、速度、加速度等）。2、内容：2/2/2023177§4-1概述一、结构动力计算的特点2、内容：2/2/2023178输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第一类问题：反应分析——正问题§4-1概述一、结构动力计算的特点2、内容：当前结构动力学的研究内容可用下图表示：2/2/2023179当前结构动力学的研究内容可用下图表示：控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第二类问题：参数（或称系统）识别§4-1概述一、结构动力计算的特点2、内容：2/2/2023180控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别。二、三为反问题当前结构动力学的研究内容可用下图表示：§4-1概述一、结构动力计算的特点2、内容：2/2/2023181输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第四类问题：控制问题当前结构动力学的研究内容可用下图表示：§4-1概述一、结构动力计算的特点2、内容：2/2/2023182§4-1概述一、结构动力计算的特点3、静荷载和动荷载（1）静荷载：荷载的大小、方向和作用点不随时间变化或随时间极其缓慢地变化，不致使结构产生显著的加速度，由此引起的惯性力与作用荷载相比可以略去不计的荷载。（2）动荷载：荷载的大小、方向和作用点不仅随时间变化，而且加载速率较快，由此产生的惯性力在结构分析中不容忽视的荷载。2/2/20231834、特点（2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。(1)必须考虑惯性力。(3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。(4)学习循序渐进。§4-1概述2/2/2023184动荷载可有多种分类方法，常见的是：动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载二、动力荷载的种类

2/2/2023185二、动力荷载的种类——常见荷载

1、简谐周期荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击）。P(t)=psint2/2/2023186二、动力荷载的种类——常见荷载

2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3、风荷载4、地震荷载2/2/2023187三、振动体系的自由度

1、基本未知量：

以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。2、自由度：

结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度不同）。§4-1概述2/2/2023188（2）与几何组成分析中的自由度不同。

对梁和刚架（1）略去轴向变形（2）略去惯性力矩∴只有一个自由度M=ml分布质量，有无限自由度ml3、有关自由度的几点说明：（1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究。2/2/2023189

（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。

（5）结构的自由度与是否超静定无关。2个自由度2个自由度4个自由度静定结构6次超静定结构3次超静定结构2/2/2023190EIy2y1(2个)EI(0个)y1(1个)(6)自由度数与质点的数目无关EI=∞EIy1(1个)(1个)2/2/2023191（7）可用加链杆的方法确定自由度。(8)弹簧支撑：弹簧对自由度无影响EIy2y1EIy2y12/2/20231922、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：（2）周围介质对振动的阻力。（1）结构材料的内摩擦阻力。（4）地基土等的摩擦阻力。（5）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，能量扩散。（3）支座、结点等构件联结处的摩擦力。四、体系振动的衰减现象，阻尼力1、自由振动的衰减：

结构在自由振动时的振幅随时间逐渐减小，直至振幅为零、震动停止的现象。2/2/2023193

4、粘滞阻尼理论（伏伊特理论）：

阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与速度方向相反。

3、阻尼：

使能量耗散的因素，统称为阻尼。(c为阻尼系数）2/2/2023194§4-2

单自由度体系的运动方程一、研究单自由度体系振动的重要性

1、单自由度体系是工程上一些实际结构的简化。

2、单自由度体系是研究复杂动力计算的基础。建筑物基础水塔的水平振动2/2/2023195二、单自由度体系振动的简化模型

mk11ck11cm恢复力简化为一弹簧，阻尼力简化为一阻尼器1、弹簧刚度系数（k11）：使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。2、弹簧柔度系数（11）:在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。2/2/2023196三、单自由度体系振动微分（运动）方程的建立

mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)取物块为隔离体,其上共作用五个力1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。2、刚度法列动力平衡方程S(t)-弹簧张力D(t)-阻尼力I(t)-惯性力P(t)-外力W-重力2/2/20231973、柔度法列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)以弹簧为研究对象,分析它与物块联结点处的位移。y0S’(t)任意时刻的位移:即:将代入上式,得:2/2/2023198单自由度体系振动微分（运动）方程:弹簧张力阻尼力惯性力干扰力mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)2/2/2023199§4-3

单自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动2、运动方程及其解的形式：令则其解则tc2cy令cc2c1

1、特点：

(1)无能量耗散,振动一经开始永不休止：(2)无振动荷载：2/2/20232003、几个概念（1）周期：振动一次所需的时间。（2）工程频率：单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。单位为1/秒。（3）频率（圆频率）：旋转向量的角速度，即体系在2秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。单位为弧度/秒。2/2/2023201频率定义式：频率计算式：周期计算式：自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。2/2/2023202自振频率和周期的特性：

①只与质量和刚度有关，与荷载无关；是结构动力反应的重要标志。②刚度越大，频率越高，周期越短；质量越大，频率越低，周期越长。§4-3

单自由度体系的自由振动2/2/20232034、微分方程中各常数由初始条件确定

代入：将时得：于是：2/2/2023204进一步可确定式中的c和cc2c15、分析例题2/2/2023205例1:列振动方程，求自振周期和频率。mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：6i/lkΔ=15、分析例题2/2/2023206例2:列振动方程，求自振周期和频率。

解：mEIEI1=∞lmEIkk12i/l212i/l212i/l2Δ=1EImlT1223p=lEIlik24/12232=x=mlEImk2243w==lyEIym02423=+&&2/2/2023207例3:求自振周期和频率。解：mEI1=∞EAllEIF=1lN=12/2/2023208例4:列振动方程，求自振周期和频率。

l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIααNA2/2/2023209αNA2/2/20232102/2/2023211——产生单位转角位移需要的力偶——转动惯量2/2/2023212A具有共同的自由度时，各质点的质量或转动惯量才能相加。2/2/2023213ll/2l/2EI=∞例5:求自振周期和频率。

解2/2/2023214二、有阻尼的自由振动1、振动方程及其解令则特征方程特征根S(t)WI(t)D(t)P(t)y0S’(t)2/2/2023215或：（1）k＜ω，小阻尼情况式中称为“有阻尼振动的圆频率”相应地称为“有阻尼振动的自振周期”y’t2（一对共轭复根）结论：振幅e-kt衰减的自由振动。2/2/2023216特征根（2）k＞ω，大阻尼情况（两个不等的负实根）通解令则或结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，故不振动。2/2/2023217yyttoo特征根（3）k=ω，临界阻尼情况（两个相同的实根）结论：由振动过渡到非振动的临界状态。通解大阻尼情况下的振动曲线：2/2/20232182、阻尼系数的确定（1）阻尼比的概念实际工程中K＜＜ω，属于小阻尼衰减性振动。通常以阻尼比作为基本参数。根据定义故阻尼系数临界状态时2/2/2023219（2）阻尼比的确定yt于是：依上式可绘出振动图形：2/2/2023220（3）阻尼系数的确定根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。实测振幅相隔一个周期的振幅比值不变阻尼对自振频率的影响很小2/2/2023221例1:解：取整数n=5，经过5个周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下2/2/2023222解（1）对数递减量：（2）阻尼比：（3）阻尼系数：（4）振动5周期后的振幅：

例2:图示门式刚架作自由振动。t=0时，y0=0.5cm，y0=0。测得Ｔ’=1.5S;一周期后,y1=0.4cm。求门架的阻尼系数及振动5周期后的振幅y5。.PM=1120tEI=∞2/2/2023223§4-4

单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算一、考虑阻尼时运动方程及其解2、运动方程设：则：通解包括两部分：1、强迫振动——结构在动力荷载（外干扰力）作用下产生的振动。2/2/20232243、求齐次解：特征方程：特征根：4、求特解（待定系数法）：设：将上式代入原方程后，可确定D1、D2：2/2/2023225设：进一步，可得：于是可将特解写为的形式。将各量代入后，可求出特解：通解：2/2/2023226利用可确定通解中的常数C1、C2，于是：初始条件决定的自由振动伴生自由振动稳态（纯）强迫振动2/2/2023227分析上式，达到稳态后：——稳态（纯）强迫振动，按干扰力频率而振动。振动阶段过渡阶段——三种振动共存平稳阶段——只有纯强迫振动2/2/2023228达到稳态时运动方程的解为：运动方程:二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）：利用和(AS为干扰力幅值产生的静位移)运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：1、考虑阻尼2/2/2023229动位移幅值为：于是：称为“动力系数”或“放大系数”。令：2/2/20232302、不考虑阻尼时动位移幅值的计算不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中3、共振时动位移幅值的计算共振时，令动力放大系数计算式中放大系数：放大系数：动位移幅值：动位移幅值：2/2/20232314、影响动位移幅值大小的因素（1）与干扰力幅值成正比；（2）与/的比值有关；（a）当＜＜时--------动荷载可作为静荷载处理；（b）当＞＞时--------与阻尼无关，结构可视为静止；（c）当=时--------共振，设计时应避免共振。由于阻尼的存在，振幅不会无限大。分析下式：2/2/20232325、位移和振动荷载之间的相位关系（1）当不计阻尼（=0）时（a）当/＜1时:φ=0，A与P同相位；（b）当/＞1时:φ=，A与P反相位。有阻尼振动的特解：式中：tg=0,且为正值tg0/2tg=0,且为负值2/2/2023233（2）当考虑阻尼时（a）当/＜1时--------0＜φ＜/2；A与P有相位差；（b）当/＞1时--------/2＜φ＜，A与P有相位差；（c）当/=1时--------φ=/2，A与P相位差为/2。1、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体系振动过程中消耗的能量。三、强迫振动时的能量转换2、依能量关系同样可以推导出振幅的计算式：2/2/20232341、一般方法由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷载同相位）。将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，然后按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。四、动内力幅值的计算m2/2/20232352、比例算法当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。将惯性力幅值放大倍后加在质量处，而后按静力学方法求解即可。mm时，位移为时，位移最大依比例关系：2/2/2023236

1、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅P所引起的静位移AS放大倍而得到。

五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题

2、当结构的刚度系数易求时，动位移幅值可按下式计算：

3、若荷载直接作用在质点上，动位移幅值按下式计算：

若荷载不直接作用在质点上，则应以-Rip代替P，或以ip代替P11。2/2/2023237mmm4、当动力荷载与惯性力共线时，既是动位移放大系数，也是各截面动内力和动位移的放大系数。若荷载直接作用在质点上，动位移幅值按下式计算：若荷载不直接作用在质点上，则应以-Rip代替P，或以ip代替P11（见下图）。2/2/20232382m2m例