2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

第页码53页/总NUMPAGES总页数53页2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.在下列实数中，无理数是（）A.0 B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B. C.2x+y=2xxy D.3.下面几何体的俯视图是（）A.A B.B C.C D.D4.已知一个正多边形的内角是，则这个正多边形的边数是（）A6 B.7 C.8 D.95.一组数据-1，0，3，5，x的极差是8，那么x的值可能有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.6个6.若A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=ax+x-2图像上的没有同的两点，记，则当m＜0时，a的取值范围是（）A.a＜0 B.a＞0 C.a＜-1 D.a＞-17.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人搬两把椅子，两人搬一张桌子，每人限搬，至多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（）A.80 B.100 C.120 D.2008.如图，矩形ABCD的顶点A和对称均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A.12 B.4 C.3 D.6二、填空题（每小题2分，共20分）9＝___________．10.已知∠A＝60°，则cosA＝_____．11.二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.12.从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．13.如下图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于_________．14.如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．15.用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．16.如果关于x的没有等式组的整数解仅有1和2，那么a、的取值范围分别是________．17.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点E、F分别在AB和AC上，设AE＝x，AF＝y，若线段EF平分△ABC的面积，则用x的代数式表示y＝________．18.如右上图，在正方形ABCD中AB=3，，以B为圆心，半径为1画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针方向旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长的取值范围是______．三、解答题（共10题，共84分）19.先化简，再求值：（2m-1）2-（4m+1）（m-2），其中m=-．20.解方程和没有等式组：⑴；⑵21.国民体质监测等机构开展了青少年形体测评.专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上没有良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：(1)请将两幅统计图补充完整；(2)在这次形体测评中，一共抽查了_____名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有___人；(3)根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.22.某医院准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士支援救灾．⑴若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；⑵求恰好选中甲和护士A的概率．23.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD，E为∠BCD平分线上的点，连接BE、DE,延长BE交CD于点F．⑴求证：△BCE≌△DCE；⑵若DE∥AB，求证：FD＝FC．24.某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方700m3，现决定向一大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：租金(单位：元/台·时)土石方量(单位：m3/台·时)甲型挖掘机9050乙型挖掘机10060⑴若租用甲、乙两种型号的挖掘机共13台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？⑵如果每小时支付租金没有超过1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种没有同的租用?25.已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝.M为线段AB的中点，作DM⊥AB交AC于D.点Q在线段AC上，点P在线段BC上，以PQ为直径的圆始终过点M，且PQ交线段DM于点E.⑴试说明△AMQ∽△PME；⑵当△PME是等腰三角形时，求出线段AQ的长.26.⑴阅读理解问题1：已知a、b、c、d为正数，，ac=bd，试说明a=d，b=c.我们通过构造几何模型解决代数问题.注意到条件，如果把a、b、c、d分别看作为两个直角三角形直角边，那么可构造图1所示的几何模型.∵ac=bd,∴AB·CD=BC·AD∴请你按照以上思路继续完成说明⑵深入探究问题2：若a＞0，b＞0，试比较和的大小.为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB为直径,O为圆心，点C在半圆上，CD⊥AB于D，AD＝a，BD＝b.请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．⑶拓展运用对于函数y=x+，求当x＞0时，求y的取值范围．27.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，连接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．⑴若tan∠PBC=4，求AP的长；⑵是否存在点P，使得点Q恰好是边CD的中点？若存在，求出AP的长；若没有存在，请说明理由．⑶连接BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．28.如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）.二次函数的图像A、B、C三点．点P沿AC由点A处向点C运动，同时，点Q沿BO由点B处向点O运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与二次函数的图像交于点D，连接PD，PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）.⑴求二次函数的表达式；

⑵在点P、Q运动的过程中，当∠PQA＋∠PDQ＝90°时，求t的值；

⑶连接PB、BD、CD，试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形？若存在，请求出此时t的值与点E的坐标；若没有存在，请说明理由.2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.在下列实数中，无理数是（）A.0 B. C. D.【正确答案】D【详解】分析：根据无理数为无限没有循环小数逐一分析即可作答.详解：在0、、和中无理数有，故选D.点睛：本题考查了无理数，无理数是无限没有循环小数，注意带根号的数没有一定是无理数.2.下列计算正确的是（）A. B. C.2x+y=2xxy D.【正确答案】B【详解】分析：根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐一分析即可.详解：A.,本项错误;B.,本项正确;C.2x与y没有说同类项，没有能合并;D.,故选B.点睛：本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.3.下面几何体的俯视图是（）A.A B.B C.C D.D【正确答案】A【详解】分析：找到从上面看所得到的图形即可,注意所有看得到的棱都应表现在俯视图中.详解：从上面看,这个几何体只有一层,且有3个小正方形,故选A.点睛：本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.4.已知一个正多边形内角是，则这个正多边形的边数是（）A6 B.7 C.8 D.9【正确答案】D【分析】可先计算这个正多边形的外角，再根据多边形的外角和求解即可．【详解】解：∵这个正多边形的内角是，∴这个正多边形的每一个外角是180°－140°=40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°=9．故选：D．本题考查了正多边形的有关计算，属于基础题目，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键．5.一组数据-1，0，3，5，x的极差是8，那么x的值可能有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.6个【正确答案】B【详解】分析：根据极差的定义求解．分两种情况：x为值或最小值．详解：因为在-1，0，3，5中，最小为-1，为5，它们的差为6，

而全组数据的极差为7，

若最小数据是-1，数据为x，

则有x-(-1)=7，

解得x=6.

若数据为5，最小数据为x，

则有5-x=7，

解得x=-2.

故选B.点睛：本题考查了一组数据的极差的概念：数据中数据与最小数据的差叫做极差.做题时一定要细心，没有要遗漏x=-2的情况.6.若A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=ax+x-2图像上的没有同的两点，记，则当m＜0时，a的取值范围是（）A.a＜0 B.a＞0 C.a＜-1 D.a＞-1【正确答案】C【详解】∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上的没有同的两点，，

∴该函数图象是y随x的增大而减小，

∴a+1<0，

解得a<-1，

故选C.此题考查了函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.7.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人搬两把椅子，两人搬一张桌子，每人限搬，至多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（）A.80 B.100 C.120 D.200【正确答案】C【详解】分析：设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据总人数列没有等式求解可得．详解：设可搬桌椅x套,即桌子x张、椅子x把,则搬桌子需2x人,搬椅子需人，根据题意,得：2x+⩽300，解得：x⩽120，∴至多可搬桌椅120套，故选C.点睛：本题主要考查一元没有等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键.8.如图，矩形ABCD的顶点A和对称均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A.12 B.4 C.3 D.6【正确答案】D【详解】分析：设点A的坐标为(m,)，则根据矩形的面积与性质得出矩形的纵坐标为，求出的横坐标为m+，根据在反比例函数y＝上，可得出结果.详解：设点A的坐标为(m,)，∵矩形ABCD的面积为12，∴，∴矩形ABCD的对称的坐标为(m+,)，∵对称在反比例函数上，∴(m+)×=k，解方程得k=6，故选D.点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy位定值是解答本题的关键.二、填空题（每小题2分，共20分）9.＝___________．【正确答案】6【详解】分析：先把二次根式化简，再利用零指数幂计算即可.详解：=5+1=6.故答案为;6.点睛：本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式化简和零指数幂的定义是解答本题的关键.10.已知∠A＝60°，则cosA＝_____．【正确答案】【详解】分析：根据cos60°=,即可求解.详解：∵∠A=60°,∴cosA=,故答案为.点睛：本题考查了角的三角函数值，属于基础题，熟记角的三角函数值是解题的关键.11.二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.【正确答案】（0，-2）【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点是形式，即可的得出顶点坐标．【详解】y=-x2-2=-(x+0)2-2，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(0，－2)．故答案为(0，－2)本题考查了二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式是解题的关键.12.从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．【正确答案】【详解】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个没有同的数，共有5种没有同方法，其中3被抽中的概率为.故答案为.点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.13.如下图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于_________．【正确答案】40°【详解】分析：过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．详解：过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠1．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠1=20°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠2=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣20°=40°．故答案为40°．点睛：本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．14.如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．【正确答案】4【详解】分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AD的长.详解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4故答案为4.点睛：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15.用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．【正确答案】5【详解】试题解析：∵半径为10的半圆的弧长为：×2π×10=10π∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π解得r=516.如果关于x的没有等式组的整数解仅有1和2，那么a、的取值范围分别是________．【正确答案】0＜a≤3，4≤b＜6【分析】先求出没有等式组的解集，再由整数解可得a、b的取值范围.【详解】解：，由①得：x≥，

由②得：x≤，

没有等式组的解集为：≤x≤，∵整数解仅有1，2，

∴0＜≤1，2≤＜3，

解得：0＜a≤3，4≤b＜6.故答案0＜a≤3，4≤b＜6.本题主要考查了没有等式组的整数解，根据没有等式组整数解的值确定a,b的取值范围是解决问题的关键.17.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点E、F分别在AB和AC上，设AE＝x，AF＝y，若线段EF平分△ABC的面积，则用x的代数式表示y＝________．【正确答案】y=【详解】分析：先利用勾股定理求出BC的长，求出△ABC的面积，正确作出辅助线，利用△AED∽△ABC，求出DE,再利用△AEF的面积为△ABC面积的一半求解即可.详解：过点E作ED⊥AC,∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC=3,∴,∵∠C＝90°,ED⊥AC,∴△AED∽△ABC,∴,即，∴DE=，∵EF平分△ABC的面积，∴，∴y=.故答案为y=.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，利用相似得出DE的长是解答本题的关键.18.如右上图，在正方形ABCD中AB=3，，以B为圆心，半径为1画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针方向旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长的取值范围是______．【正确答案】3-1≤BP′≤3+1【详解】分析：通过画图发现,点P'的运动路线为以D为圆心,以1为半径的圆,可知:当P'在对角线BD上时,最小,先证明△PAB≌△P′AD,则P′D=PB=1,再利用勾股定理求对角线BD的长,则得出的长,而最长距离则是最短距离加上圆的直径即可.详解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，

∴∠PAB+∠BAP′=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAP′+∠DAP′=90°，

∴∠PAB=∠DAP′，

∴△PAB≌△P′AD，

∴P′D=PB=1，

在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，

由勾股定理得：BD=，

∴BP′=BD-P′D=3-1，BE=3-1+2=3+1,即BP′长度的最小值为（3-1）cm,最长距离为：3+1.故答案为3-1≤BP′≤3+1．点睛：本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值和值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值和值．三、解答题（共10题，共84分）19.先化简，再求值：（2m-1）2-（4m+1）（m-2），其中m=-．【正确答案】2【详解】分析：利用完全平方公式把原式化简，然后把m的值代入计算即可.详解：原式＝＝将代入得原式＝＝2点睛：本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式是解答本题的关键.20.解方程和没有等式组：⑴；⑵【正确答案】（1）x=3（2）x＜-【详解】分析：分析：（1）观察可得最简公分母是（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．（2）解得①②的解再求公共部分即可．详解：⑴解：去分母：两边乘以得检验：将代入∴原分式方程的解为⑵解没有等式组：解：解没有等式①得：解没有等式②得：∴原没有等式组的解集为．点睛：本题考查了解没有等式组和分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21.国民体质监测等机构开展了青少年形体测评.专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上没有良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：(1)请将两幅统计图补充完整；(2)在这次形体测评中，一共抽查了_____名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有___人；(3)根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.【正确答案】(1)见解析；（2）500，12000；（3）答案没有，如中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的没有良习惯，促进身心健康发育.【分析】（1）扇形统计图中缺少的是第三项：三姿良好，所占的百分比是1减去其它各项的百分比；条形统计图中：求得三姿良好的人数即可表示；

（2）根据坐姿没有良的是100人，占20%，即可求得抽查的人数；利用10万乘以三姿良好的比例即可求解；

（3）根据统计表说明即可，答案没有．【详解】解：（1）扇形统计图中缺少的是第三项：三姿良好，

其所占的百分比为：-20%-31%-37%=12%，

被的总人数为：人.所以三姿良好的人数为：500×12%=60（人），如图所示：（2）由（1）知一共抽查了500人，

全市10万名初中生中，三姿良好的学生约有100000×12%=12000（人），

故500，12000；

（3）答案没有，如中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的没有良习惯，促进身心健康发育．22.某医院准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士支援救灾．⑴若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；⑵求恰好选中甲和护士A概率．【正确答案】（1）6种（2）【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出甲与护士A的情况数，即可求出所求的概率【详解】用列表法表示所有可能结果如下：护士AB甲（甲，A）（甲，B）乙（乙，A）（乙，B）丙（丙，A）（丙，B）（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中和护士A的有1种，概率为：考点：列表法与树状图法点评：此题考查了树状图与列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD，E为∠BCD平分线上的点，连接BE、DE,延长BE交CD于点F．⑴求证：△BCE≌△DCE；⑵若DE∥AB，求证：FD＝FC．【正确答案】证明见解析【详解】分析：(1)由角平分线的性质可得∠BCE=∠DCE，再由BC=CD,CE=CE，可得出结果;(2)延长DE交BC于G,由AD∥BC,DE∥AB推出四边形ABGD是平行四边形，再利用ASA证明△DFE≌△BGE，从而得证.详解：⑴∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE又BC=CD,CE=CE,∴△BCE≌△DCE⑵延长DE交BC于G∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABGD是平行四边形，∴BG=AD=可证得△DFE≌△BGE∴FD=BG=∴FD=FC.点睛：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是能正确添加辅助线，属于中考常考题型.24.某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方700m3，现决定向一大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：租金(单位：元/台·时)土石方量(单位：m3/台·时)甲型挖掘机9050乙型挖掘机10060⑴若租用甲、乙两种型号的挖掘机共13台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？⑵如果每小时支付的租金没有超过1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种没有同的租用?【正确答案】⑴甲、乙两种型号的挖掘机分别需8台、5台⑵租用2辆甲型挖掘机和10辆乙型挖据机【详解】分析：(1)设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x台、y台,根据甲、乙两种型号的挖掘机共13台，每小时挖掘土石方700m3，列出方程组求解即可;(2)设租用a辆甲型挖掘机，b辆乙型挖掘机,根据题意列出二元方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用.详解：⑴设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x台、y台.根据题意，得,解得,答：甲、乙两种型号的挖掘机分别需8台、5台.⑵设租用a辆甲型挖掘机，b辆乙型挖掘机.依题意，得50a+60b=700,所以所以或当a=8，b=5时，支付租金：90×8+100×5=1220元>1200元，超出限额；当a=2，b=10时，支付租金：90×2+100×10=1180元<1200元，符合题意.故只有一种租车，即租用2辆甲型挖掘机和10辆乙型挖据机.点睛：本题考查了一元没有等式和二元方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或没有等式）进行求解.25.已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝.M为线段AB的中点，作DM⊥AB交AC于D.点Q在线段AC上，点P在线段BC上，以PQ为直径的圆始终过点M，且PQ交线段DM于点E.⑴试说明△AMQ∽△PME；⑵当△PME是等腰三角形时，求出线段AQ的长.【正确答案】（1）证明见解析（2）5或【详解】分析：(1)连接MC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MC=MA=AB，由同弧所对的圆周角相等推出∠A=∠EPM,再利用同角的余角相等，即可求解;(2)分三种情况讨论：当AM=AQ时;当QA=QM时；当MQ=AM时.详解：⑴连接MC,∵∠C=90°,M是AB中点，∴MC=MA=,∴∠A=∠MCA,∵∠MCA=∠EPM，∴∠A=∠EPM.∵PQ为直径,∴∠PMQ=90°.∴∠PME+∠QME=90°.∵DM⊥AB,∴∠AMD=90°.∴∠AMQ+∠QME=90°.∴∠AMQ=∠PME，∴△AMQ∽△PME⑵AB=10，M为线段AB的中点，∴AM=5，AD===当△AMQ等腰三角形时，△MPE也是等腰三角形.当AM=AQ时，AQ=5;当QA=QM时，AQ=；由题意MQ≠.综上所述,当△MPE是等腰三角形时，线段AQ长为或.点睛：本题考查了直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，圆周角定理的推论及等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键.26.⑴阅读理解问题1：已知a、b、c、d为正数，，ac=bd，试说明a=d，b=c.我们通过构造几何模型解决代数问题.注意到条件，如果把a、b、c、d分别看作为两个直角三角形的直角边，那么可构造图1所示的几何模型.∵ac=bd,∴AB·CD=BC·AD∴请你按照以上思路继续完成说明.⑵深入探究问题2：若a＞0，b＞0，试比较和的大小.为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB为直径,O为圆心，点C在半圆上，CD⊥AB于D，AD＝a，BD＝b.请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．⑶拓展运用对于函数y=x+，求当x＞0时，求y的取值范围．【正确答案】（1）a=d，b=c（2）（3）y≥6【详解】分析：(1)根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似的判定定理可得△ADC∽△ABC，再利用△ADC≌△ABC可得出结论;(2)分两种情况：当O和D没有重合时得出>；当点O和D重合时=即可得出结论;(3)由(2)的结论>,可得，从而得出结果.详解：⑴又∵∠B=∠D=90°∴△ADC∽△ABC∠DAC=∠BAC,又AC=AC,∴△ADC≌△ABC∴AB=AD,BC=DC,即：a=d，b=c.⑵连接AC、BC，则由△ADC∽△CDB得即过点O作交半圆于点E,连接OE，则半径，∵OE≥CD，∴⑶∵，∴∴∴点睛：本题考查了四边形的综合题，主要考查了勾股定理的应用，利用前面结论类比应用解决问题，本题属于中档题，难度没有大.27.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，连接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．⑴若tan∠PBC=4，求AP的长；⑵是否存在点P，使得点Q恰好是边CD的中点？若存在，求出AP的长；若没有存在，请说明理由．⑶连接BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．【正确答案】⑴⑵存AP=⑶存在，∠PBQ=45°【详解】分析：(1)根据∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°得出∠APB=∠PBC，再由tan∠PBC=tan∠APB=4=；(2)延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x,由∠PBC=∠BPQ，可得EB=EP，再由△PDQ≌△ECQ得到QP=，在Rt△PDQ中根据勾股定理可得出结论;(3)作BH⊥PQ于点,易证，△PAB≌△PHB，可得∠PBH=∠ABH，再由Rt△BHQ≌Rt△BCQ，可得∠HBQ=∠HBC，进而得出结论即可.详解：(1)∵∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°,∴∠APB=∠PBC=90°,在RT△ABP中，tan∠PBC=tan∠APB=4=;⑵如图1，存在延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x．∵∠PBC=∠BPQ，∴EB=EP．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DPQ=∠E，.在△PDQ和△ECQ中，，∴△PDQ≌△ECQ（AAS）.∴PD=CE，PQ=QE．∴BE=EP=，∴QP=．在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，∴，解得∴AP=AD﹣PD=.⑶存在，∠PBQ=45°．作于点．易证，△PAB≌△PHB，∴∠ABP=∠HBP，∴∠PBH=∠ABH．易证，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，∴∠HBQ=∠CBQ，∴∠HBQ=∠HBC，∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=（∠ABH+∠HBC）=∠ABC=45°．点睛：本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线构造全等三角形.28.如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）.二次函数的图像A、B、C三点．点P沿AC由点A处向点C运动，同时，点Q沿BO由点B处向点O运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与二次函数的图像交于点D，连接PD，PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）.⑴求二次函数的表达式；

⑵在点P、Q运动的过程中，当∠PQA＋∠PDQ＝90°时，求t的值；

⑶连接PB、BD、CD，试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形？若存在，请求出此时t的值与点E的坐标；若没有存在，请说明理由.【正确答案】⑴⑵当∠PQA=90°-∠PDQ时，t的值为⑶没有存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形【详解】分析：(1)把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入y=ax²+bx+c即可求解;(2)求出直线AC的解析式，利用二次函数的解析式分别设出点P、D的坐标，作PH⊥DQ,可得DQ=2HQ,利用即可求出t的值;(3)由直线PD与BC相交于E,用含t的代数式设出点E的坐标，点E又在直线BC:y=-x+4上,得到关于t的一元二次方程，再利用根的判别式小于0，判断出方程无解即可.详解⑴设y=ax²+bx+c，把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入得，解得∴⑵，作,∵∴∴=解得（舍去），,∴当∠PQA=90°-∠PDQ时，的值为⑶没有存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形.理由：若四边形PBDC是平行四边形,则BC平分线段PD，∵点E又在直线BC:上，∴整理得此方程根的判别式，∴方程无实数根.即没有存在某一时刻，四边形PBDC是平行四边形.点睛：本题考查了待定系数法求解析式，方程的解法与一元二次方程根的判别式，解本题的关键是综合运用二次函数与函数的相关知识解决问题，本题综合性较强.2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（二模）一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1.－5的相反数是（）A. B.±5 C.5 D.－2.函数y＝中自变量x的取值范围是（）A.x＞2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠23.化简结果是(

)A.x+1 B. C.x-1 D.4.左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是A. B. C. D.5.如图，直线a∥b，直线与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A.115° B.65° C.35° D.25°6.小红随机了50名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如下表：问卷得分（单位：分）6570758085人数（单位：人）11515163则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是（）A.16，75 B.80，75 C.75，80 D.16，157.若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为（）A.6 B.－6 C.12 D.－128.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)没有改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)没有改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说确的是：A.①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B.②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）C.①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D.②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）9.完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A.6（m﹣n） B.3（m+n） C.4n D.4m10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A.＋3 B.2－2 C.2－ D.2＋3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11.分解因式：x2﹣4=__．12.某公司开发一个新的项目，总投入约11500000000元，11500000000用科学记数法表示为_______________.13.请写一个随机：___________________________.14.若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝_____．15.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.16.已知扇形的圆心角为90º，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为_________cm.17.如图，△ABC中，点D是AC中点，点E在BC上且EC＝3BE，BD、AE交于点F，如果△BEF的面积为2，则△ABC的面积为_________．18.面积为40△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＞90°，半径为1.5的⊙O与AC、BC都相切，则OC的长为_________.三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.(1)计算：20180－tan30°＋（﹣）－1；（2）化简：（x－y）2－x(x－y)20.（1）解方程：；（2）解没有等式组.21.已知，如图，等边△ABC中，点DBC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE．22.学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且没有能没有选．将得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均没有完整）．（1）问：在这次中，一共抽取了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．23.小明在上学路上要多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．24.如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DC＝2，EF＝，点P是⊙O上没有与E、C重合的任意一点，则∠EPC的度数为（直接写出答案）．25.如图，已知点D、E分别在△ACD的边AB和AC上，已知DE∥BC，DE＝DB．（1）请用直尺和圆规在图中画出点D和点E（保留作图痕迹，没有要求写作法），并证明所作的线段DE是符合题目要求的；（2）若AB＝7，BC＝3，请求出DE的长．26.已知二次函数＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：交于点C，点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标.27.某品牌T恤专营批发店的T恤衫在进价基础上加价m%，每月额9万元，该店每月固定支出1.7万元，进货时还需付进价5%的其它费用.（1）为保证每月有1万元的利润，m的最小值是多少？（月利润＝总额－总进价－固定支出－其它费用）（2）经市场调研发现，售价每降低1%，量将提高6%，该店决定自下月起降价以促进，已知每件T恤原价为60元，问：在m取（1）中的最小值且所进T恤当月能够全部完的情况下，价调整为多少时能获得利润，利润是多少？28.已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；(2)如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；(3)请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（二模）一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1.－5的相反数是（）A. B.±5 C.5 D.－【正确答案】C【详解】解：﹣5的相反数是5．故选C．2.函数y＝中自变量x的取值范围是（）A.x＞2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2【正确答案】C【详解】解：由题意得：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故选C．3.化简的结果是(

)A.x+1 B. C.x-1 D.【正确答案】A【分析】根据同分母分式相减，分母没有变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可化简.【详解】解：原式=.故答案为A此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则.4.左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是A. B. C. D.【正确答案】A【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上面看易得一共分为上下两行，下面一行最左边有1个正方形，上面一行有3个正方形．故选A．5.如图，直线a∥b，直线与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A.115° B.65° C.35° D.25°【正确答案】D【详解】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°．又∵BC⊥AB，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D．6.小红随机了50名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如下表：问卷得分（单位：分）6570758085人数（单位：人）11515163则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是（）A.16，75 B.80，75 C.75，80 D.16，15【正确答案】B【详解】解：∵总人数为50人，∴中位数为第25和26人的得分的平均值，∴中位数为（75+75）÷2=75．∵得分为80分的人数为16人，至多，∴众数为80．故选B．7.若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为（）A.6 B.－6 C.12 D.－12【正确答案】A【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．【详解】解：设反比例函数的解析式为把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12即把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，故选A．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反函数的性质是解题的关键．8.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)没有改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)没有改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说确的是：A.①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B.②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）C.①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D.②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）【正确答案】C【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.【详解】∵建议（Ⅰ）是没有改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，

∴③反映了建议（Ⅰ），

∵建议（Ⅱ）是没有改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格没有变，即平行于原图象，

∴①反映了建议（Ⅱ）．

故选C．此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．9.完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A.6（m﹣n） B.3（m+n） C.4n D.4m【正确答案】D【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有，阴影部分的周长：．故选D．10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A.＋3 B.2－2 C.2－ D.2＋3【正确答案】B【详解】解：过E作EM⊥DC于M．∵EM=AB，EG=BF，∴△EMG≌△BAF，∴∠MEG=∠ABF．∵∠MEG+∠GEB=90°，∴∠ABF+∠BEG=90°，∴∠EIB=90°．以BE为直径作半⊙O，连结OD，则OD≤OI+（两边之和大于第三边），当O、I、D三点共线时取等号．∵OI=2，OD==．∴DI≥OD－OI=．故选B．点睛：本题是四边形综合题．解题的关键是找到I的运动路径．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11.分解因式：x2﹣4=__．【正确答案】(x+2)(x-2)##(x-2)(x+2)【详解】解：由平方差公式ɑ2-b2=（ɑ+b)(ɑ-b)可得

x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故答案是：（x+2）（x﹣2）．12.某公司开发一个新的项目，总投入约11500000000元，11500000000用科学记数法表示为_______________.【正确答案】1.15×1010【详解】解：将11500000000用科学记数法表示为：1.15×1010．故答案为1.15×1010．13.请写一个随机：___________________________.【正确答案】随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案没有）【详解】解：答案没有，如：随机掷一枚均匀的硬币，正面向上．故随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案没有）．14.若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝_____．【正确答案】－6；【详解】解：=－24，∴xy=－6．故答案为－6．15.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【正确答案】8；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．16.已知扇形的圆心角为90º，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为_________cm.【正确答案】；【详解】解：圆锥的侧面积=扇形的面积==9π．故答案为9π．17.如图，△ABC中，点D是AC中点，点E在BC上且EC＝3BE，BD、AE交于点F，如果△BEF的面积为2，则△ABC的面积为_________．【正确答案】40；【详解】解：过D作DG∥AE交BC于G．∵D是AC的中点，∴G是EC的中点，∴EG=GC．∵EC=3BE，∴设BE=2x，则EG=GC=3x．∵EF∥GD，∴△BEF∽△BGD，∴．∵S△BEF=2，∴S△BGD=12.5．∵BG：GC=(2x+3x)：3x=5：3，∴S△BGD：S△DGC=5：3，∴S△DGC=7.5，∴S△BCD=S△ABD=12.5+7.5=20，∴S△ABC=20+20=40．故答案为40．18.面积为40的△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＞90°，半径为1.5的⊙O与AC、BC都相切，则OC的长为_________.【正确答案】【详解】解：过B作BD⊥AC于D，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F．∵⊙O与AC相切，∴F为切点，OF=半径=1.5．∵S△ABC=AC•BD=40，AC=BC=10，∴BD=8，∴CD=6，∴AB=．∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠A=90°．∵OF⊥AC，∴∠ACE+∠FOC=90°，∴∠FOC=∠A．∵∠OFC=∠D=90°，∴△COF∽△BAD，∴OF：OC=AD：AB，∴1.5：OC=16：，∴OC=．故答案为．点睛：本题是相似三角形综合题．所作辅助线较多，难度较大，注意角之间的转换．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.(1)计算：20180－tan30°＋（﹣）－1；（2）化简：（x－y）2－x(x－y)【正确答案】（1）－2－；（2）y2－xy【详解】试题分析：（1）根据零指数幂的意义，角的三角函数值，负整数指数幂的意义解答即可；（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项即可．试题解析：解：（1）原式=；（2）原式==．点睛：本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，比较简单．20.（1）解方程：；（2）解没有等式组.【正确答案】（1），；（2）1＜x≤3.【详解】分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）分别解两个没有等式，然后确定没有等式组的解集即可．试题解析：解：（1）（3x+4）（x-1）=0，解得：；（2），解①得：x≤3，解②得：x＞1，∴原没有等式组的解集为：1＜x≤3．21.已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE．【正确答案】证明见解析.【详解】试题分析：根据等边三角形的性质可以得到∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，则∠EAB=∠ACD，根据SAS即可证得△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的对应边相等，即可证得：AD=BE．试题解析：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°．在△EAB和△DCA中，∴△EAB≌△DCA，∴AD＝BE．22.学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且没有能没有选．将得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均没有完整）．（1）问：在这次中，一共抽取了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．【正确答案】（1）80人（2）略（3）520人【详解】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，占整个被抽到学生总数的30%，∴抽取学生的总数为24÷30%=80（人）．（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%=16人，直方图如图．（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80—（24+16+10+4）=26，∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为人23.小明在上学的路上要多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时次遇到红灯概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．

（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时次遇到红灯的结果数为2，

所以到第二个路口时次遇到红灯的概率为；（2）P（个路口没有遇到红灯）=，P（前两个路口没有遇到红灯）=，类似地可以得到P（每个路口都没有遇到红灯）＝．故本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，以矩形ABCD边CD为直径作⊙O，交对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DC＝2，EF＝，点P是⊙O上没有与E、C重合的任意一点，则∠EPC的度数为（直接写出答案）．【正确答案】（1）EF与⊙O相切；（2）60°或120°【分析】（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：如图，连接OE、OF．通过△EFO≌△CFO（SAS），证得∠FEO=∠FCO=90°，则直线EF与⊙O相切．

（2）根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=，所以通过解直角△BCD来求∠D的度数即可．【详解】解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：

如图，连接OE、OF．

∵OD=OE，

∴∠1=∠D．

∵点F是BC中点，点O是DC的中点，

∴OF∥BD，

∴∠3=∠D，∠2=∠1，

∴∠2=∠3．

∴在△EFO与△CFO中，OE=OC，∠2=∠3，OF=OF，∴△EFO≌△CFO（SAS），

∴∠FEO=∠FCO=90°，

∴直线EF与⊙O相切．（2）如图，连接DF．

∵由（1）知，△EFO≌△CFO，

∴FC=EF=．

∴BC=2

在直角△FDC中，tan∠D=，

∴∠D=60°．当点P在上时，

∵点E、P、C、D四点共圆，

∴∠EPC+∠D=180°，

∴∠EPC=120°．

当点P在上时，∠EPC=∠D=60°，故填：60°或120°．

本题考查了切线