结构力学第十章总结

总结

矩阵位移法与位移法在理论上并无区别，只是在表达方式上有所不同。(1)矩阵位移法的理论基础与一般位移法完全相同，只是表达方式不同。用矩阵形式表示具有更强的概括性。

(2)总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵装配成的，只要找出了装配的规律，总刚度矩阵不必计算而可直接由单元刚度矩阵装配而成。(3)矩阵位移法与一般位移法解题步骤的对应关系可以由下表表示：总结一、基本概念

结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一种方法。与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。

矩阵位移法是结构力学中的位移法加上矩阵方法。矩阵位移法的基本未知量也是结点位移——独立的线位移和转角。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统位移法的基本未知量多一些。总结

矩阵位移法的基本思路是:(1)先把结构离散成单元，进行单元分析,建立单元杆端力与杆端位移之间的关系；

(2)在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析，建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚度方程，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。

在从单元分析到整体分析的计算过程中，全部采用矩阵运算。总结

集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，即由单元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵，又可分为后处理法和先处理法。1.后处理法

(1)集成。对所有单元不做边界条件处理，均采用自由式的单元刚度矩阵，按单元的结点编号将单元刚度矩阵分为四个子块（阶数相同），逐块地将结点所对应的子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原始刚度矩阵。由于结点位移分量中包括了非自由结点的已知位移，原始刚度矩阵为奇异的，需进行边界条件处理，才能求解自由结点位移。由于原始刚度矩阵的阶数较高，所以后处理法的主要缺点是占用较多的计算机内存。二、总刚度矩阵的集成及约束处理总结对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目，例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始刚度矩阵的阶数为3n×3n

。总结

对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件,采用“主一副零”法。（2）边界条件处理

设结点位移向量中第r个位移等于零,即r=0

，则在结构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改为1其余元素改为零。同时将结点结点荷载列向量P中的第r个分量也改为零。即总结对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。设结点位移向量中第r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中，主对角元素krr

改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一大数通常取108～1010

。，总结

单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未知位移编号组成的向量。2.先处理法

(1)

集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理,然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在集成总刚时被屏弃在外。总结

（2）边界条件处理。对于刚性支座，其位移总码均编为零。对于支座位移等于给定值时，通常也将其位移总码均编为零，将支座结点位移的影响转换成单元非结点荷载,即，将支座结点位移转换成与该支座结点位移连接的各单元在单元坐标系中的杆端位移，求出由此给定的杆端位移产生的单元固端力，然后转换成等效结点荷载。

通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到经约束处理后的总刚度方程。3.弹性支座的处理

总结

总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构，其总刚度方程都具有统一的形式:4.

总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点K=P

式中K为总刚度矩阵，为结构的结点位移列向量，P为结点力列向量。

总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度，是描述结点力与结点位移之间关系的系数矩阵。其矩阵的性质与特点：总结

(1)元素kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为零时产生在△i方向的杆端力。

（2）主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的主子块叠加而得。

（3）当i、j为相关结点时，副子块Kij就等于连接ij的杆单元中相应的子块；若i、j不相关，则Kij为零子块。（4）总刚度矩阵为对称矩阵。

（5）总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。愈是大型结构，带状分布规律就愈明显。

（6）总刚度矩阵主对角元素都大于零。通常是主对角元素占优势的矩阵，因此，线形方程组的解有较好的稳定性。总结5.

总刚度矩阵的最大半带宽

总刚度矩阵的上三角部分，从某行的主对角元素到该行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带宽。各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽。对应于后处理法，结构内部不存在组合结点时最大半带宽的计算公式为:d=(b+1)c，其中b为单元两端结点编码的最大差;c为结构中一个结点的位移分量数，显然，最大半带宽与结构的结点编码的顺序有关。通常应使相邻结点编码的最大差值为最小，即d值为最小。总结

例如图示刚架，按图a编码，d=3×(9+1)=30，而按b图编码，d=3×(3+1)=12

。总结

如果结构内部存在组合结点，并采用先处理法，则不能用上述公式计算总刚度矩阵的最大半带宽，而应按照单元编，利用单元定位向量求出总刚度矩阵的最大半带宽。设用MAX表示单元(e)定位向量中的最大分量，MIN表示单元(e)定位向量中的最小分量，则de=MAX-MIN+1总刚度矩阵的最大半带宽为：d=MAX(d1d2…dn)总结

（1）初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常数混淆，造成求等效荷载时出错。单元的固端力是在固定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力（即固端力）。二、需要注意的几个问题

（2）在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除EA项，即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵。

（3）为适应计算机计算、节省内存和机时，在对结点编号时应力求使相关结点的最大差值为最小，以减小总刚度矩阵的带宽。

例如，对于梁式杆，不论连接该杆的结点是铰结点、定向结点，均按两端固定梁计算固端力。总结

例：图示梁用矩阵位移法求解时的基本未知量数目为多少？解：基本未知量数目为2，即A点的竖向位移和转角。三、例题总结例：图示结构中单元①的定位向量为——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案为B。

总结例：图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案选A。总结

例：矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系：（）A．杆端力与结点位移B．杆端力与结点力

C．结点力与结点位移D．结点位移与杆端力

解：答案选C。

例：平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程组,（）A．可求得全部结点位移B．可求得可动结点的位移C．可求得支座结点位移D．无法求得结点位移解：答案选D。总结

例：图示结构若考虑轴向变形，在未引入支撑条件时，其整体刚度矩阵K是____阶方阵。

解：答案为21×21。总结

例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结点位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案选D。

提示：在不考率轴向变形时，结点2和结点3只有水平位移和转角，杆件12对k11的贡献为12×（2EI）／l3，杆件34对k11的贡献为12×EI／（l／2）3。总结

例：用矩阵位移法计算图a所示连续梁,并画M图，EI=常数。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐标系、对单元和结点编号如图b，单元刚度矩阵

单元定位向量λ①=（01）T，λ②=（12）T，λ③=（20）T(2)将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中对号入座，得整体刚度矩阵

总结(3)连续梁的等效结点荷载

(4)将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代入基本方程得

(5)解方程得

(6)求杆端力并绘制弯矩图如图所示c。M图（kN·m）总结四、思考题1.单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点各是什么？2.单元定位向量是由什么组成？他的用处是什么？3.刚架中有铰结点时应该怎样处理？总结

一、判断题

1.在矩阵位移法中整体分析的实质是结点平衡。()2.单元刚度矩阵是单元固有的特性，与坐标选取无关。(

)3.矩阵位移法中，结构等效节点荷载作用下的内力与结构在荷载作用下的内力相同。（

）

4.结构刚度矩阵是对称矩阵，即有kij=kji

，这可由位移互等定理得到证明。()

5.设整体坐标下单元刚度矩阵为

ke，杆端力列阵为Fe,杆端位移列阵为⊿e，杆件固端力列阵为F0e，则有

Fe

=ke⊿e+F0e()√√√应该是反力互等定理。×应该是位移相同。×自测题二、选择填空1.平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程组。（）

A．可求得全部结点位移

B．可求得可动结点的移

C．可求得支座结点位移

D．无法求得结点位移2.单元刚度方程所表示的是_______两组物理量之间的关系。

A.杆端位移与结点位移B.杆端力与结点荷载

C.结点荷载与结点位移C.杆端力与杆端位移

DD自测题1.单元i,j在图示两种坐标系中的刚度矩阵：（）(3分)（大连理工1995年）

A.完全相同B.第2，5行（列）等值异号