第四章 频率特性分析

第四章频率特性分析在频率域内研究控制系统的结构参数与系统性能的关系。频率特性分析就是以频率ω作为独立变量，以谐波信号作为基本输入信号来分析系统的稳定性、准确性和快速性。研究的方法是通过系统的开环频率特性，用图解的方法间接地分析闭环系统的性能。频率特性分析的特点频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。本章内容§4-1频率特性概述§4-2频率特性的图示方法§4-3闭环频率特性§4-4频率特性的特征量§4-5最小相位系统和非最小相位系统§4-1频率特性概述频率响应：线性定常系统对谐波输入信号的稳态响应。频率响应的幅值Xo(ω)与输入谐波信号的幅值Xi之比随输入信号的频率ω的变化而改变；频率响应与输入谐波信号之间存在相位差(ω)，其相位差(ω)随输入信号的频率ω的变化而改变。即输出信号与输入信号的幅值比和相位差都是频率ω的非线性函数。频率响应演示频率响应示例频率响应推导线性定常系统的传递函数可表示为:频率响应因为G(jω)是一个复数，设其幅值|G(jω)|=A(ω)

相角∠G(jω)=∠(ω)则线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的谐波信号频率特性线性定常系统在谐波输入信号作用下的频率响应与输入信号频率的关系称为频率特性，它包括幅频特性和相频特性。系统的频率响应幅值与谐波输入信号幅值之比随输入信号频率变化的关系称为幅频特性，即系统的频率响应相位与谐波输入信号相位之差(ω)随输入信号频率变化的关系称为相频特性。频率特性记作A(ω)·∠(ω)频率特性的求法根据系统的频率响应来求取；将系统传递函数G(s)中的s换为jω来求取；用试验方法求取。根据定义，G(jω)就是系统的频率特性。频率特性的求法由于频率特性G(jω)是一个复变函数，故可以在复平面上将其分解为实部和虚部，即即幅频特性和相频特性分别是G(jω)的模和相角。实频特性虚频特性幅频特性相频特性以R-C电路为例，说明频率特性的物理意义。如右图所示电路的传递函数为：设输入电压式中T=RCG(jω)称为电路的频率特性。它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。和都是输入信号频率ω的函数，它们被称为电路的幅频特性和相频特性。R-C电路的幅频特性当输入信号的频率ω逐渐增大时，电路的输出与输入的幅值之比。R-C电路的相频特性当输入信号的频率ω逐渐增大时，电路的输出与输入的相位之差。数学模型之间的关系系统微分方程传递函数频率特性ddtsddtjωsjω频率特性的特点和作用对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。在某一特定频率下，系统的频率响应和谐波输入信号之间的幅值比和相位差并不能完全说明系统的性能，只有在频率从0变到∞过程中，幅值比和相位差的全体才能完全地反映出系统的性能，才是系统的频率特性。即频率特性分析是通过分析不同频率的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。

在研究系统的结构及参数的变化对系统性能的影响时，频域分析往往比时域分析要容易。高阶系统用频域分析比较方便。G(jω)是ω的复变函数，故可以在复平面上用复矢量表示。对于给定的ω，矢量的长度为其幅值A(ω)，与正实轴的夹角为其相角(ω)。§4-2频率特性的图示方法——极坐标图相角(ω)的符号规定为从正实轴开始，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。该矢量在实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。当频率ω从0变化到∞时，矢量G(jω)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹就是系统频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。典型环节的Nyquist图（一）比例环节Kω=0～∞ImRe0典型环节的Nyquist图（二）积分环节积分环节的极坐标图是负虚轴。典型环节的Nyquist图（三）微分环节微分环节的极坐标图是正虚轴。典型环节的Nyquist图（四）惯性环节典型环节的Nyquist图（五）一阶微分环节典型环节的Nyquist图（六）振荡环节振荡环节的极坐标图高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图典型环节的Nyquist图（七）延时环节典型环节的Nyquist图（八）二阶微分环节例题：考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。解：极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：Nyquist图的一般形状控制系统总是由若干个环节组成，其开环传递函数可表示为：则其开环频率特性可表示为：系统开环频率特性的幅值等于各环节频率特性幅值的乘积，相位为各环节在该频率下的相位之和。Nyquist图的绘制方法分别求出起点（ω=0）和终点（ω=∞）的值并标在极坐标上，补充必要的几点，根据A(ω)、(ω)的变化趋势，画出Nyquist曲线的大致形状。系统的开环传递函数可写成：因此，系统的开环频率特性还可以写成：当ν=0,1,2,···

时，系统称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。0型系统Nyquist图的一般形状曲线的起点（ω=0）是正实轴上的一个有限值K，终点（ω=∞）为原点，相位是（m-n）×90°。随着ω→∞，曲线按顺时针方向越过n-m个象限后与坐标轴相切而趋于原点。Ⅰ型系统Nyquist图的一般形状ω=0时，A(ω)=∞，(ω)=-90°，在低频段曲线渐近于与负虚轴平行的直线。当ω→∞，曲线按顺时针方向越过n-m-1个象限后与坐标轴相切而趋于原点。Ⅱ型系统Nyquist图的一般形状ω=0时，A(ω)=∞，(ω)=-180°，在低频段曲线渐近于与负实轴平行的直线。当ω→∞，曲线按顺时针方向越过n-m-2个象限后与坐标轴相切而趋于原点。Nyquist图的共同特性低频段幅值很大，随着频率的升高，幅值逐渐变小，当ω→∞时，幅值A(ω)→0。当GK(s)包含有振荡环节时，不改变上述特点。当GK(s)包含有导前环节时，由于相位非单调下降，则曲线将发生“弯曲”。频率特性的对数坐标图将频率特性表示在对数坐标中，由对数幅频特性图和对数相频特性图组成，称为频率特性的对数坐标图或Bode图。对数幅频特性图的纵坐标（线性分度）表示频率特性G(jω)的对数幅值，单位为分贝(dB)；横坐标（对数分度）表示频率ω的对数，单位是弧度/秒(rad/s)。横坐标按lgω来刻度，所以是不均匀刻度，但仍标以ω的值。对数相频特性图的纵坐标（线性分度）表示频率特性G(jω)的相位，单位为度；横坐标与上述相同。数值与分贝转换直线典型环节的Bode图（一）比例环节典型环节的Bode图（二）积分环节1/(jω)ν的对数频率特性曲线-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec这些幅频特性曲线都通过点典型环节的Bode图（三）微分环节典型环节的Bode图（四）惯性环节低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线在低频时，即在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20dB/dec的直线惯性环节的对数频率特性（精确曲线与渐近线）渐近线

渐近线

精确曲线

精确曲线

以渐近线表示时引起的对数幅值误差典型环节的Bode图（五）一阶微分环节典型环节的Bode图（六）振荡环节低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线在低频时，即在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40dB/dec的直线幅频特性与ξ关系幅频特性与ξ关系幅频特性与ξ关系幅频特性与ξ关系幅频特性与ξ关系幅频特性与ξ关系相频特性与ξ关系相频特性与ξ关系相频特性与ξ关系相频特性与ξ关系相频特性与ξ关系相频特性与ξ关系幅值误差与ξ关系幅值误差与ξ关系幅值误差与ξ关系幅值误差与ξ关系幅值误差与ξ关系幅值误差与ξ关系谐振频率ωr与谐振峰值Mr当ξ>0.707时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振。谐振峰值Mr与阻尼比ξ的关系曲线典型环节的Bode图（七）二阶微分环节典型环节的Bode图（八）延时环节对数坐标图（Bode图）综述互为镜像对称

对数幅频特性图

对数相频特性图积分环节过点(1,0)，斜率为-20db/dec的直线-90°水平线微分环节过点(1,0)，斜率为20db/dec的直线90°水平线

低频渐近线高频渐近线直线斜率惯性环节0db水平线始于点(1/T,0)-20db/dec0～-90°随ω减小一阶微分环节同上20db/dec0～90°随ω增大对称于(1/T,45°)

低频渐近线高频渐近线直线斜率振荡环节0db水平线始于点(1/T,0)-40db/dec0～-180°随ω减小二阶微分环节同上40db/dec0～180°随ω增大对称于(1/T,90°)Bode图的绘制方法由系统的传递函数G(s)求出频率特性G(jω)；将G(jω)写成若干个典型环节的频率特性相乘的形式；找出k和ν（积分环节的个数）以及各典型环节的转角频率ωT1、ωT2、ωT3、···（从小到大）；画出第一个转角频率ωT1前系统的对数幅频特性的低频部分。它是一条通过横坐标为ω=1、纵坐标为20lgK、斜率为－ν×20db/dec的直线；依次从低频到高频，每遇到一个转角频率就将对数幅频特性的斜率相应地改变一次；作出各典型环节的对数相频特性并相加，就得到系统的对数相频特性曲线图。例：已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）

解：开环频率特性为-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec§4-3闭环频率特性具有单位反馈的系统，其闭环频率特性GB(jω)与开环频率特性GK(jω)的关系为：对于非单位反馈系统，其闭环频率特性为：§4-4频率特性的特征量零频幅值A(0)

频率接近于零时，系统输出的幅值与输入的幅值之比。复现频率ωM与复现带宽0～ωM

幅频特性值与A(0)的差第一次达到允许误差Δ时的频率值。谐振频率ωr及相对谐振峰值Mr

幅频特性出现最大值Amax时的频率为ωr；相对谐振峰值Mr为Amax与A(0)之比。截止频率ωb和截止带宽0～ωb

幅频特性的值由A(0)下降到0.707A(0)时的频率。§4-5最小相位系统和非最小相位系统若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面[