第十章：压杆稳定

轴向拉、压杆的强度条件为一钢板尺长300mm，横截面尺寸20mm

1mm。[]=196MPa。[F]=A[]=3.92kN但当施加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力，相差98倍。按强度条件:能承受的轴向压力§10-1

引言

工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.①强度②刚度③稳定性构件的承载能力工程实例工程实例压杆稳定实验案例120世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。失稳破坏案例案例21995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人。案例32000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要稳定平衡、临界荷载

受压杆满足强度要求，即不产生破坏，安全粗短杆产生突然的横向弯曲而丧失承载能力细长杆失去稳定性最大工作应力小于材料的极限应力建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳工作最大值

<

临界值1.稳定平衡与不稳定平衡

不稳定平衡稳定性:指平衡状态的稳定性稳定平衡F＜FcrF＜FcrF＜Fcr.F≥FcrF≥Fcr稳定的不稳定的（2）压杆的平衡状态

稳定问题与强度问题的区别平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值s<sμ变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？压杆mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。从挠曲线入手，求临界力。一，两端铰支细长压杆的临界力§10-2

临界力的欧拉公式该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）。令n=1,得当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.mxmwBxylF例题10－1如图所示，矩形截面的细长压杆两端铰支。已知杆长l=2m,截面尺寸b=40mm，h=90mm，材料的弹性模量E=200

GPa.试计算此压杆的临界力Fcr.解：显然Iy<Iz,故应按Iy计算临界力。压杆的临界力二，其它支座条件下细长压杆的临界压力1.细长压杆的形式两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定2.其它支座条件下的欧拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表10-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式（为压杆的长度因数）5.讨论为长度因数

l为相当长度（1）相当长度l的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.例题10－2一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长l=1m,材料的弹性模量E=200GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算其临界力。解：1）矩形截面压杆临界力2）4.5号等边角钢由型钢表查得压杆临界力3）圆环形截面轴惯性矩压杆临界力注意：本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同，Imin不同，致使临界力相差很大。例题10－3已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.分析思路：解：x8801000yzy所以连杆的临界压力为134.6kN.xy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1mxz面：约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算.一、临界应力与压杆柔度欧拉公式临界应力

按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为§10-3

临界应力的欧拉公式i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.

称为压杆的柔度（长细比），它综合地反映了压杆的长度l和约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响，

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳。令令则有则

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。

柔度越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是在线弹性的条件下推导出来的，因此，它的适用范围为或令

即l

≥P（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.

当＜p但大于某一数值S的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.P的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，p=200MPa，得一、临界应力的经验公式式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出.

S是对应直线公式的最小值.直线公式

的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.

或令§10-4

临界应力的经验公式二、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类（1）大柔度杆（2）中柔度杆（3）小柔度杆2.临界应力总图lPlS例题10－4图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A杆先失稳.杆A杆B杆CdF1.3a

BF1.6aCaFA例题10－5由25a号工字钢制成的一端固定、一端铰支立柱，材料为Q235钢。已知立柱长l=3.6m，弹性模量E=200GPa，求立柱的临界力。若将约束条件分别改为两端铰支、两端固定但可沿轴向相对移动，则问立柱的临界力有何变化？解：1)一端固定一端铰支长度因数μ＝0.7，由型钢表查得A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。由表10－2查得

立柱柔度

长度因数μ＝0.7，A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。属细长杆，临界力长度因数μ＝0.5，柔度A＝48.541cm2，imin=2.4cm，Imin=280cm4。

为中柔度杆，用直线公式计算临界力

3）两端固定但可沿轴向相对移动

查表得a=304MPa，b＝1.12MPa临界应力临界力

例题10－6某机器连杆如图。已知材料为碳钢,弹性模量E=2.1×105MPa，屈服极限σs＝306MPa.试确定该连杆的临界力Fcr。并说明横截面的设计是否合理。FFlxz580（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x580750yzy（2）分别计算连杆在两个纵向平面内的柔度，柔度大的平面为失稳平面。分析思路：解：1）计算柔度x580750yzyxy面：约束情况为两端铰支mz=1，l=750mmxy面：两端铰支mz=1，xz面：两端固定my

=0.5，l2=580mmFFlxz580因为λz>λy

，故连杆将在xy

平面内失稳。

FFlxz580因为λz>λy

，故连杆将在xy

平面内失稳。2）计算临界力x580750yzy由碳钢σs＝306MPa.E=2.1×105MPa查表得

连杆属于中长杆，用经验公式计算临界力查表得a=461MPa，b＝2.567MPa临界应力

FFlxz580x580750yzy连杆属于中长杆，用经验公式计算临界力a=461MPa，b＝2.567MPa临界应力临界力3）由于连杆在xy，xz两个平面内的柔度和相当接近，说明该连杆设计比较合理。例题10-7如图，一长度l=4m，两端铰支的立柱由10号槽钢制成，承受轴向压力F的作用，材料为Q235钢，E=200GPa，（1）求钢柱压杆的临界力；2）若改用两根10号槽钢组合成立柱（见图b），试确定两槽钢的间距b和连接板的间距h。并求组合立柱的临界力。解：1）单根槽钢的临界力由型钢表查得Iz=198.3cm4，z0＝1.52cm，iz＝1.41cm，iy=3.95cm。立柱柔度A＝12.74cm2，I

y

＝25.6cm4，

属于细长杆，由欧拉公式得临界力

2）组合柱的几何尺寸

2）组合柱的几何尺寸为合理利用材料，两槽钢的间距应使组合截面对两根形心对称轴的惯性矩相等。

可解得两槽钢得间距为防止单根槽钢绕y轴失稳，应使单根槽钢的柔度λy不大于组合柱的柔度λz（λz＝λy1），既有

将连接板对槽钢的约束视为铰支，由上式得连接板的间距

3）组合柱的临界力组合柱的柔度

属于细长杆，由欧拉公式得临界力1.稳定性条件

2.计算步骤（1）计算最大的柔度系数max；

（2）根据max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。一.压杆的稳定性条件§10-5

压杆的稳定条件例题10-7千斤顶如图，已知丝杠长度l=375mm，有效直径

d=45mm，材料为45号钢，所受最大轴向压力Fmax=80kN，规定的稳定安全系数为nst=4.试校核丝杠的稳定性。丝杠可简化为一端固定、一端自由解：=2截面为圆形属于中柔度杆1）计算丝杠柔度长度因数查表得

丝杠柔度丝杠的临界应力丝杠的工作安全因数2）计算临界力用直线公式，查表得：a=461MPab=2.568MPa丝杠的临界力3）稳定性校核

故丝杠稳定性满足要求。例题10-8磨床液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，s

=220MPa，E=210GPa，nst

=6。试确定活塞杆的直径。解：活塞杆承受的轴向压力为活塞杆承受的临界压力为把活塞的两端简化为铰支座。pD活塞杆活塞d用试算法求直径（1）先由欧拉公式求直径求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直径计算活塞杆柔度由于>P，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。例题10-9A