第四章 流体动力学

1第四章流体动力学基础

任务：本章将讨论作用在流体上的力和流体的运动之间的关系。

内容：理想流体和粘性流体的运动微分方程能量方程动量方程动量矩方程

方法：流体动力学的研究方法是先从理想流体出发，再根据粘性流体的特性对推得的基本理论进行补充和修正。

基础：力学的基本原理：牛顿第二运动定律、能量守恒与转化定律、动量及动量矩定律。2第四章流体动力学基础第一节理想流体运动微分方程第二节粘性流体运动微分方程第三节理想流体的伯努里方程第四节伯努里方程的能量意义和几何意义第六节总流伯努里方程第七节伯努里方程的应用第八节动量方程3第一节理想流体的运动方程式

研究对象：理想流体的六面体，边长为dx、dy、dz。原理：4第一节理想流体的运动方程式

表面力质量力位变加速度时变加速度5第二节粘性流体的运动方程式理想流体+粘性＝粘性流体研究对象：理想流体的六面体，边长为dx、dy、dz。原理：6第二节粘性流体的运动方程式对于不可压缩流体，应用连续方程7第三节理想流体的伯诺里方程

运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。理想流体恒定流动++

（dx,dy,dz)是流线上沿流动方向一段弧长，定常流动时流线与迹线重合。8第三节理想流体的伯诺里方程上式左边可改写为：右边后三项为不可压缩流体，密度为常数9第三节理想流体的伯诺里方程最终原等式可写成或质量力有势，势函数W，即10第三节理想流体的伯诺里方程

在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的

值是一个常数。其中W

是力势函数，是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作Cl，称为流线常数。上式的积分为伯努利积分结论11第三节理想流体的伯诺里方程这是流体力学中普遍使用的方程。重力场中的伯努利积分伯努利积分可写为或对同一流线上任意两点1

和2

利用伯努利积分，即有伯努利方程12zuoo流线12第三节理想流体的伯诺里方程伯诺里方程是流体力学中最常用的公式之一，但在使用时，应注意其限制条件：①理想不可压缩流体；②作定常流动；③作用于流体上的质量力只有重力；④沿同一条流线(或微小流束)。13单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能）单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）****************

欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移作积分，力势函数是能量量纲，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。

伯努利方程的物理意义****************第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

伯努利方程14单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）****************

在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。

在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。拉格朗日观点欧拉观点第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

伯努利方程15位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头

伯努利方程的几何意义

伯努利积分各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。****************伯努利方程第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

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伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。

伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称之为能量方程。

总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。

伯努利方程可理解为：元流的任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

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将各项水头沿程变化的情况用几何的方法表示出来。水头线测压管水头线总水头线位置水头线oo水平基准线理想流体恒定元流的总水头线是水平的。第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

18毕

托

管

测

速

元流能量方程的应用举例Ⅱ管AhBⅠ管u代入伯努利方程

假设

Ⅰ、Ⅱ管的存在不扰动原流场。第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

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毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。********************************

实际使用中，在测得h，计算流速u

时，还要加上毕托管修正系数c，即

实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。Ⅰ管——测压管，开口方向与流速垂直。Ⅱ管——总压管，开口方向迎着流速。Ⅰ管Ⅱ管Ⅰ管测压孔Ⅱ管测压孔思考为什么？第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义

20第四节伯诺里方程的能量意义和几何意义补充例题一测量流速的皮托管如图所示，设被测流体密度为ρ1，测压管内液体密度为ρ2，测压管中液面高差为h。试证明所测流速证明:21第六节总流伯诺里方程

思路：从理想流体过渡到粘性流体，从微小流束扩大到总流。在定常流动时,dm=dm1=dm2=ρgdQdt22对理想流体沿流线有二、沿流线法线方向压力和速度的变化

问：压力和速度沿流线法线方向的变化规律。研究对象：柱状不可压缩理想流体微团。原理：(2)端面压力的合力

(1)(3)重力的分力23二、沿流线法线方向压力和速度的变化在接近于直线的流动中，沿法线方向的压力分布规律与平衡流体中的相同，均服从于流体静力学基本方程。当流线接近直线时，r→∞

沿法线r方向积分，得24二、沿流线法线方向压力和速度的变化当流线的曲率半径很大或流体之间的夹角很小时，流线近似为平行直线，这样的流动称为缓变流，否则称为急变流。缓变流任意过流截面上流体静压力的分布规律与平衡流体中的相同，z+p/ρg＝常数。25三、总流伯诺里方程

设截面1、2在缓变流区，ρ=C，则因为流动定常，上式中的dt可约去。26三、总流伯诺里方程

设截面1、2在缓变流区，ρ=C，则27三、总流伯诺里方程应用条件：①不可压缩流体；②作定常流动；③重力场中；④缓变流截面。⑤中途无流量出、入，如有方程式仍近似成。⑥中途无能量出、入。28三、总流伯诺里方程注意事项：

①zi、pi是成对参数。②γ是运动流体的重度。③H与上游参数结合；④hw与下游参数结合。⑤z1、z2基准相同、且是水平面。⑥p1、p2同为相对压强或绝对压强。29三、总流伯诺里方程应用步骤：①取缓变流截面。（取研究对象）要求己知参数要多，并包括要求解的问题。②取基准面。（水平面）取低一些，使z为正。③确定p的基准（相对或绝对）。当流动流体是气体时，应用绝对压强。如用相对压强方程式的形式为：④列方程。⑤解方程。30三、总流伯诺里方程1122z1z2p1、p2必须是相对压强。31三、总流伯诺里方程设t时刻单位质量的流体在1-1截面的总机械能是E1t；在t+Δt时刻它运动到2-2截面，总机械能是E2t+Δt；设流体是理想的，则

E1t＝E2t+Δt若流动定常，则

E2t＝E2t+Δt所以E1t＝E2t设流体是粘性的，则32第六节总流伯诺里方程补充例题二设水箱中的水通过图示的等径管路出流，设H=4m，d=25mm，求管路未端的流速和出流的流量。(不计损失)解：①取缓变流截面，1-1，2-2。②取基准面，0-0。③确定p的基准，相对或绝对。④列方程。⑤解方程。H11220033第六节总流伯诺里方程补充例题三

20℃的水通过虹吸管从水箱吸至B点。虹吸管直径d1=60mm，出口B处喷嘴直径d2＝30mm。当hi=2m、h2=4m时，在不计水头损失条件下，试求流量和C点的压强。解：①取缓变流截面，1-1，2-2。②取基准面，2-2。③确定p的基准，相对或绝对。④列方程。34第六节总流伯诺里方程补充例题三

20℃的水通过虹吸管从水箱吸至B点。虹吸管直径d1=60mm，出口B处喷嘴直径d2＝30mm。当hi=2m、h2=4m时，在不计水头损失条件下，试求流量和C点的压强。解：①取缓变流截面，2-2，3-3。②取基准面，2-2。③确定p的基准，相对或绝对。④列方程。35第六节总流伯诺里方程补充例题三

20℃的水通过虹吸管从水箱吸至B点。虹吸管直径d1=60mm，出口B处喷嘴直径d2＝30mm。当hi=2m、h2=4m时，在不计水头损失条件下，试求流量和C点的压强。解：④列方程。36第六节总流伯诺里方程补充例题四轴流风机的直径d=2m，在流线型钟形进口断面上装有水测压计，读数Δh＝20mm，钟形进口的局部损失0.05v2/2g，设空气密度为1.2kg/m3，求气流流速。解：①取缓变流截面1-1，2-2。②取基准面0-0。③确定p的基准，相对或绝对。④列方程。Δh11220037第六节总流伯诺里方程补充例题五用文丘里流量计测量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并与水平面成300角放置。压差计读数h＝0.6m,不计任何损失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：AI-I截面是缓变流截面，所以有且A点既可看成在管路中，又可看成在测压管中，所在在图示路径上静力学基本方程仍然适用。同理38第六节总流伯诺里方程补充例题五用文丘里流量计测量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并与水平面成300角放置。压差计读数h＝0.6m,不计任何损失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：根据连续方程根据能量方程39第六节总流伯诺里方程补充例题五用文丘里流量计测量水的流量，已知D=0.2m，d＝75mm，l=0.5m，并与水平面成300角放置。压差计读数h＝0.6m,不计任何损失,求流量qv。ρ1=1000kg/m3，ρ2=13600kg/m3。解：40第六节总流伯诺里方程补充例题六

气体由压强p=12mm水柱的静压箱沿直径d=100mm,长度L＝100m的管路输出，已知高差H=40m,压力损失Δp＝9γv2/2g，求流速。（1）气体容重与外界大气相同,γ=γa＝11.8N/m3时;(2)气体容重γ=7.8N/m3时。解:（1）气体容重与外界大气相同41第六节总流伯诺里方程补充例题六

气体由压强p=12mm水柱的静压箱沿直径d=100mm,长度L＝100m的管路输出，已知高差H=40m,压力损失Δp＝9γv2/2g，求流速。（1）气体容重与外界大气相同,γ=γa＝11.8N/m3时;(2)气体容重γ=7.8N/m3时。解:（2）气体容重γ=7.8N/m3时42例4-1

某矿井输水高度Hs+Hd=300m，排水管直径d2=0.2m,流量Q=200m3/h，总水头损失hw=0.1H，试求水泵扬程H应为多少?(扬程是单位重量流体流经泵时获得的能量)解：1.取研究截面1-1、2-2

2.取基准面1-1

3.取相对压强。

4.列方程H=337m矿水43例4-2

图示为一轴流风机，已测得进口相对压力p1=-103Pa，出口相对压力p2=150Pa。设截面1-2间压力损失100Pa，求风机的全压P(P为风机输送给单位体积气体的能量)。解：

44Hd第七节孔口及管嘴出流

一、孔口出流的分类小孔口出流大孔口出流定常出流非定常出流45第七节孔口及管嘴出流

一、孔口出流的分类Hδd有限空间出流无限空间出流薄壁孔口出流管嘴出流自由出流淹没出流46二、定常薄壁小孔口自

由无限空间出流第七节孔口及管嘴出流

出流特点：自由出流、出口收缩。

Ca=A1/A

＝0.62~0.64A:孔口面积作用水头流速系数Cv＝0.96~0.99理论流速实际流速47二、定常薄壁小孔口自

由无限空间出流第七节孔口及管嘴出流

出流特点：自由出流、出口收缩。

Ca=A1/A

＝0.62~0.64A:孔口面积实际流量流量系数Cq=0.60~0.62理论流量48第七节孔口及管嘴出流Cd(3～4)dvCvc三.圆柱形外伸管嘴出流出流特点：管内收缩,自由满管出流，出口无收缩。Ca=A1/A=1，但Ac/A<10011H49第七节孔口及管嘴出流Cd(3~4)dvCvc三.圆柱形外伸管嘴出流出流特点：管内收缩、自由满管出流、出口无收缩。Ca=10011H

由于收缩断面在管嘴内，压强要比孔口出流时的零压低，必然会提高吸出流量的能力。50第八节动量方程

原理：动量定律（拉）任务：将上式转换到欧拉方法体系中。51第八节动量方程

t时刻系统及控制体t+Δt时刻系统Δt时间内流入控制体流体的动量Δt时间内流出控制体流体的动量t时刻系统的动量是定常流动t+Δt时刻系统的动量是52第八节动量方程

Δt时间内流入控制体流体的动量Δt时间内流出控制体流体的动量xy53第八节动量方程

Δt时间内流入控制体流体的动量Δt时间内流出控制体流体的动量xy设流动为定常不可压，则54第八节动量方程

Δt时间内流入控制体流体的动量Δt时间内流出控制体流体的动量xy55第八节动量方程

xyxy管壁对流体的作用力流体对管壁的作用力56第八节动量方程应用条件：①流动定常。②流体不可压。应用步骤：①取研究对象。②建立坐标系。③分析速度。④分析受力。⑤列方程。⑥解方程。注意事项：①用相对压强。②在固结在地面的惯性坐标系中。③用绝对速度。57第八节动量方程水流经一弯管流入大气，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，水的重度为104N/m3，求弯管上受到的力(不计损失，不计重力)。

解：xy58第八节动量方程水流经一水平放置的弯管流入大气，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，水的重度为104N/m3，求弯管上受到的力(不计损失，不计重力)。

解：xy②①③④59第八节动量方程水流经一水平放置的弯管流入大气，已知：d1=100mm，d2=75mm，v2