工程力学第十二章

§12-1

梁弯曲时的正应力§12-2

惯性矩的计算§12-3

梁弯曲时的强度计算§12-4

梁弯曲时的切应力§12-5

提高弯曲强度的措施第十二章弯曲应力

梁横截面上与弯矩M对应，

与剪力F对应。纯弯曲

(purebending)

━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。12-1梁弯曲时的正应力一、弯曲分类

横力弯曲

(bendingbytransverseforce)

━━梁横截面上既有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。二、纯弯曲时的正应力计算公式的推导

(1)

几何关系━━变形与应变观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况<1>.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；<2>.相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。

横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层

(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴

(neutralaxis)。（f)推论(假设)：平面假设

梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。若中性层的半径为r(如图c)，则有〈3〉纵向线应变在横截面范围内的变化规律

图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为(c)(2)物理关系━━力与变形（应力、应变）

梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、压弹性模量相同时，有

这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化M

即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离

y成正比。(3)静力学关系━━应力与内力。

梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即(d)将代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)

以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，属于截面的几何性质，而

其中

为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。

为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。

为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。

由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴

z通过横截面的形心；

2.横截面对于

y轴和

z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为

上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化,所以纯弯曲梁段轴线为一段圆弧。

将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：(c)

应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。纯弯曲理论的推广

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况.中性轴z

为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyo

中性轴

z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为(1)矩形截面简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数思考:

一长边宽度为

b，高为

h的平行四边形，它对于形心轴

z的惯性矩是否也是？(2)

圆截面在等直圆杆扭转问题中已求得：zoyyzdA而由图可见，ρ2=y2+z2,

从而知而弯曲截面系数为

根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA(3)

空心圆截面

由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有式中，。dOyzD根据对称性可知：思考：空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？而空心圆截面的弯曲截面系数为dOyzD

例题12-1

图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax。

解：在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为由型钢规格表查得56a号工字钢截面于是有显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为

工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。12-2惯性矩的计算

在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。y2y1yx

bd1

hOd2

已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩，现需导出该截面对于与形心轴xC

，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为1.惯性矩的平行移轴公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为于是有注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有同理可得

以上二式就是惯性矩的平行移轴公式。2.组合截面的惯性矩

若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩分别为y2y1yx

bd1

hOd2x12-3

梁弯曲时的强度计算

正应力强度条件：式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作

由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。(a)(b)

例题12-3

图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示强度条件要求：

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为此时危险截面上的最大工作应力为

其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。

如果计入梁的自重，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为例12-4图示铸铁梁，受力及尺寸已知，校核梁的强度。IZ=18000cm4，解：（1）约束力BC截面为危险截面C（3）强度校核最大压应力位于B截面下方，最大拉应力需要综合考虑BC两处拉应力所以不安全一、矩形截面梁的切应力公式推导*儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t的方向和该截面上的剪力FQ的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。12-4梁弯曲时的切应力取简支梁中dx的微段进行受力分析

若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。则该微段上的应力分布如图

弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同

按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。研究x方向的平衡距中性轴为y处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。同理可得研究x方向的平衡顶边分布的切应力的合力dF的大小由横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩所求切应力点的位置的梁截面的宽度。上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。对于矩形截面梁，公式可以进行转换这样，公式可以改写为在截面的两端，y=±h/2在中性层，y=0如图切应力分布规律二、特殊截面切应力1.矩形截面梁2.工字形截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板

由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。

经计算可得公式为

沿高度的分布规律如图结果表明，腹板几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。例12-5如图所示矩形截面梁，已知求危险截面上a、c、d、e、f五点的正应力和切应力1）确定危险截面，首先画出剪力弯矩图危险截面位于B截面