工程力学 弯曲变形

剪力弯矩弯曲正应力及强度条件弯曲切应力及强度条件弯曲刚度分析静不定梁分析弯曲变形的计算第十二章弯曲变形弯曲内力弯曲强度弯曲变形1、齿轮传动轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。§12-1引言一、弯曲实例弊端：12122、继电器中的簧片电磁力当变形足够大时，可以有效接通电路；触点当变形不够大时，不能有效接通电路；簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。xw挠曲轴m—mn—n（1）挠度

w

：横截面形心在垂直于轴线方向的位移（2）转角θ：横截面绕中性轴的转过的角度wθ符号规定：向上为正，向下为负。符号规定：逆时针为正，顺时针为负。（3）轴向位移Δx：横截面形心在轴线方向的位移，小变形情况下，略去不计。ΔXx（连续、光滑平坦的平面曲线）wz二、梁变形的表示方法θ(通常θ<1º=0.0175弧度)挠曲轴曲线性质：挠曲轴xwxw(x)oθ(x)θ(x)（2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。（1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值；三、挠度和转角之间的关系1、中性层曲率表示的弯曲变形公式(纯弯曲变形公式，EI为抗弯刚度）2、数学中的曲率公式一、挠曲轴微分方程Mρoxwρ(x)M(x)§12-2梁变形基本方程3、挠曲轴微分方程4、挠曲轴近似微分方程弧度（1）在小变形条件下，oxwM>0M<0（2）正负号确定：M与w″保持同号（1）线弹性范围（2）小变形条件（3）平面弯曲适用条件：二、积分法计算梁的变形C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。边界条件：(2)铰支座：ABCAB（1）固定端约束：连续条件：C例1：悬臂梁AB，弯曲刚度EI为常数，受力F和力偶M=FL作用，求w(x)，θ(x)；并计算B截面的挠度和转角值。解：1、建立挠曲轴微分方程并积分A端约束反力FAy=F梁的弯矩方程：LBMAFFAyx挠曲轴近似微分方程：xw2、确定积分常数A端为固定端约束，x=0,w=0x=0,θ=0C=0,D=03、挠度方程、转角方程及B截面的转角将x=L代入转角方程：LBMAFFAyxwx例2：由积分法求图示梁的wA、A。解：1)坐标系如图；AC段：则近似微分方程为：积分可得：xwxxFaaaFEICAB2)分两段进行分析：BC段：

积分可得：则近似微分方程为：利用约束和连续条件确定C1、D1、C2、D2四个常数：时，约束条件：连续条件：处，由此可得：即：

由此可得：最后可得：（向下）（逆时针）(2)由约束和连续条件求积分常数；(1)两段：四个常数，每增加一段，就增加两个积分常数；小结：(3)坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；(4)注意x的范围。§12-3计算梁位移的叠加法由于：1）小变形，轴向位移可忽略；简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC12l直线wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)对图a，可得C截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qB1FqC1wC1wC1qC12l直线wB1(a)对图b，可得D截面的挠度和转角为：同理可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)

将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂梁的叠加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图c中D截面的挠度和B截面的转角为：图d中D截面的挠度和B截面的转角为：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：

所以：原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq§12-4梁的刚度条件提高梁的刚度的措施1、梁的刚度校核

保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：与为许可值，可查设计手册。其中，例：图示空心圆截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C点挠度不得大于AB跨长的10-4，B截面转角不得大于10-3rad，校核刚度。解：首先可利用图a由叠加原理求wC和B。

200200100ADBCF2=1kNF1=2kNDd

(a)AF2CF1BlF1

×BD图a可看成由图b和c的叠加而得，图b和c分别有：wC1qB1wC2qB2ABF2(b)ACBM(c)叠加可得：因为：所以：刚度满足。则：2、提高刚度措施除外加载荷外，梁的位移w、还与梁的弯曲刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高刚度的措施有：1）升高EI。各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。如工字形、箱形等截面。2）合理安排约束与加载方式增加约束，制作成静不定梁超静定梁:BACB§12-5简单静不定梁静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3

=

3度静不定相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2相当系统qABABRBqABq小结：分析方法与分析步骤

步骤：

1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、选取与解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件；4、结合平衡方程，求多余支反力。方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F

相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种列补充方程：qFBABFAAMqABlqABBqwAFBwBF

可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为

补充方程变为

解得

也可以取支座A处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统

根据原超静定梁端面A的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。

可从右向左作出剪力图和弯矩图

Fs图M图MAABql例：求支反力1.

静不定度：6-3=32.选取相当系统：