2023年九年级数学中考专题复习《平行四边形综合解答题》专题提升训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《平行四边形综合解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．（1）求证△ODC≌△EDF．（2）连接AF，已知．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．条件①：AF＝FC且AC＝2DC；条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：∠DFA＝∠ECD；（2）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（3）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝，AB＝4，点P沿AD→DB方向以每秒个单位长度运动，点M为AB中点，连结MD，作点A关于直线PM的对称点A′．设点P的运动时间为t秒．（t＞0）（1）求MD的长．（2）求PD的长（用含t的代数式表示）．（3）当点M、P、C三点共线时，求t的值．（4）当点A′落在直线MD上时，直接写出△PDA′的面积．4．点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．（1）求证：四边形EACD是平行四边形．（2）已知AC＝7．①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为．（直接写出答案）5．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一动点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，MG∥DE交CE于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，则∠CAM＝．6．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°，AE＝1，CF＝3时，求线段OE的长．7．已知，如图1，在▱ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿AC翻折至△AEC，连结DE．（1）求证：AD＝CE；（2）若点E在直线AD下方，如图2，AB＝2，AE⊥CD，求BC的长；（3）在翻折过程中，若△AED为直角三角形，求的值．8．在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．（1）如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；（2）如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．9．如图，AC为▱ABCD的对角线，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，F为射线BC上一点．（1）如图1，F在BC延长线上，连接AF与CD交于点G，若AC＝8，CD＝6；①当G为CD中点时，求证：CF＝BC；②当CF＝CA时，求CG长度；（2）如图2，F在线段BC上，连接AF与CE交点于H，若∠D＝3∠ACE，FA＝FC，试探究AD，AC，AH三条线段之间的数量关系，并说明理由．10．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于点E，点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ．（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．11．问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，连接AC，∠DAC＝60°，AD＝6，点F是对角线AC上一点，CF＝4，点E是BC的中点，连接EF，求△EFB的面积；问题解决（2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形空地ABCD，其中AD∥BC，CD⊥BC，AB＝AD＝100m，BC＝150m，点E是BC上一点，BE＝2EC．AE与DE是两条排污管道，管理者现要建一个四边形净化水池BMNC，要求点M、N分别在AE、DE上，EN＝2AM．设AM的长为x（m），四边形BMNC的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照要求，发现当AM的长度为40m时，整体布局比较合理．试求当AM＝40m时，四边形BMNC的面积．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）AP＝，CQ＝，（分别用含有t的式子表示）；（2）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；（3）当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．13．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，▱ABCD的面积为40，点E从B出发沿BC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，到达点C时停止运动；点F从D出发沿DA以相同速度向点A匀速运动，两点同时出发，同时停止，连接AE、CF．设点E、F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）▱ABCD中BC边上的高＝；（2）求证：四边形AECF是平行四边形；（3）当t＝3时，▱AECF是形；（4）在点E、F运动的过程中，判断四边形AECF能否成为菱形，如果能，求出t的值；如果不能，说明理由．14．如图，平行四边形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．15．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B，C的对应点分别是E，D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是AC的中点，且，求证：①DF⊥AC；②四边形BFDE是平行四边形．17．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将BE'绕点B逆时针旋转a°得到．BE（0°＜a＜180°）．（1）如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；（2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；（3）如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．18．已知：四边形ABCD是平行四边形，点E是AB边的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为点G，交BC边于点F，点H是线段GF上一点，连接BH、DH，DH＝BC．（1）如图1，求证：BH∥DE；（2）如图2，延长BH交CD边于点K，连接FK，若DH∥FK，求证：BH＝HK；（3）如图3，在（2）的条件下，连接KE，延长KE至点M，连接AM、BM，若∠AMB＝135°，AD＝AE，BK＝2，求AM的长．19．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F．（1）如图1，求证：CE＝CF；（2）如图2，FG∥BC，FG＝EC，连接DG、EG，当∠ABC＝120°时，求证：∠BDG＝60°；（3）如图3，在（2）的条件下，当BE＝2CE，AE＝4时，求线段BD的长．20．【数学初探】在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角△ABC画出一个菱形，使∠A为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．（1）请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．【深入探究】雷同学开启大胆尝试，如图3，将△ABC的中线BO延长至点D，使DO＝OB，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．（2）请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．【迁移应用】（3）如图4，在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，且时，求的值．参考答案1．（1）证明：∵EF∥AC，∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，∵DF＝DC，∴△ODC≌△EDF（AAS）；（2）选择②，四边形OCEF是正方形，证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），∴OD＝DE，CD＝DF，∴四边形OCEF是平行四边形，∵OD＝DC，∴OD＝DE＝CD＝DF，∴四边形OCEF是矩形，∵∠BEC＝45°，∴∠EOC＝45°，∴∠OEC＝∠EOC，∴OC＝CE，∴四边形OCEF是正方形，2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECD＝180°，∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE+∠ECD＝180°，∵∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠DFA＝∠ECD．（2）解：相似，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∴∠ADF＝∠CED，又∵∠DFA＝∠ECD，∴△ADF∽△DEC．（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△EAD中，DE＝＝6，∵△ADF∽△DEC，∴，即．∴AF＝2．3．解：（1）∵AD＝BD，M为AB中点，∴DM⊥AB，AM＝BM＝AB＝2，∴DM＝＝3；（2）当0＜t≤1时，此时点P在AD上，由题意得：PA＝t，∴PD＝AD﹣PA＝﹣t；当1＜t≤2时，此时点P在BD上，由题意得：点P移动的距离＝AD+PD＝t，∴PD＝t﹣AD＝t﹣，综上，PD的长为﹣t（0＜t≤1）或PD＝t﹣（1＜t≤2）；（3）当点M、P、C三点共线时，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∵M为AB中点，∴AM＝BM＝AB＝2，∴CD＝2BM．∵AB∥CD，∴＝2，∴DP＝2PB，∵BD＝，∴PD＝．由（2）知：PD＝t﹣（1＜t≤2），∴t﹣＝．∴t＝．∴当点M、P、C三点共线时，t的值为；（4）当点A′落在直线MD上时，△PDA′的面积为或3．理由：当0＜t≤1时，此时点P在AD上，过点P作PE⊥MD于点E，如图，由轴对称的性质得：PA＝PA′＝t，∠PMA＝∠PMA′＝∠AMD＝45°，MA＝MA′＝2．∴DA′＝MD﹣MA′＝3﹣2＝1．∵PE⊥MD，DM⊥AB，∴PE∥AM，∴，∴．∴PE＝2﹣2t，DE＝3﹣3t，∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3﹣3t）＝3t，∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，∴PE＝ME，∴2﹣2t＝3t．解得：t＝，∴PE＝2﹣2t＝．∴△PDA′的面积＝DA′•PE＝1×＝；当1＜t≤2时，此时点P在BD上，过点P作PE⊥MD于点E，如图，由轴对称的性质得：∠FMA＝∠FMA′＝∠AMA′＝45°，MA＝MA′＝2．∴DA′＝MD+MA′＝3+2＝5．∵PE⊥MD，DM⊥AB，∴PE∥AM，∴，∴，∴PE＝2t﹣2，DE＝3t﹣3，∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3t﹣3）＝6﹣3t，∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，∴PE＝ME，∴2t﹣2＝6﹣3t．解得：t＝，∴PE＝2t﹣2＝．∴△PDA′的面积＝DA′•PE＝5×＝3，综上，当点A′落在直线MD上时，△PDA′的面积为或3．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵点A是MN的中点，∴MA＝AN，∵BN∥DM，∴∠ANB＝∠AME，∠ABN＝∠AEM，∴△ABN≌△AEN（AAS），∴AE＝AB，EM＝BN，∴AE＝CD，∴四边形EACD是平行四边形；（2）①解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵四边形EACD是平行四边形，∴AC＝DE＝7，AE＝AD＝AB，又∵∠DAM＝∠BAN＝∠EAM，∴DM＝EM＝，AM⊥DE，∴BN＝EM＝；②解：如图，过点M作MH⊥AE于H，MG⊥AD，交AD的延长线于G，∵∠MAE＝∠MAD，MH⊥AE，MG⊥AD，∴MG＝MH，∵DM：ME＝4：3，∴S△AMD：S△AME＝4：3，∴（×AD×MG）：（AE×MH）＝4：3，∴AD：AE＝4：3，∴设AD＝4x，AE＝3x，当四边形ACDE是矩形时，即∠E＝90°，∴AD2＝DE2+AE2，∴16x2＝49+9x2，∴x＝（负值舍去），∴AD＝4，AE＝3＝AB，∴平行四边形ABCD的周长＝2×（4+3）＝14；当四边形ABCD是矩形，即∠DAB＝90°＝∠DAE，∴DE2＝AE2+AD2，∴49＝16x2+9x2，∴x＝（负值舍去），∴AD＝，AE＝＝AB，∴平行四边形ABCD的周长＝2×（+）＝；故答案为：或14．5．（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：结论成立，理由如下：如图2，∵CE∥AM，MG∥DE，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）知，AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）解：如图3，取线段CH的中点I，连接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM，∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．故答案为：30°．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE＝OG，∵∠GFE＝90°，∴OE＝OF；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，如图3，延长EO交FC的延长线于点H，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH＝1，OE＝OH，又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝EH＝OE，∴OE＝CF+CH＝3+1＝4．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，∴BC＝CE，∴AD＝CE；（2）如图，设AE和CD的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，∴AB＝AE＝2，∠B＝∠AEC＝60°，∴AE＝CD，又∵AD＝CE，DE＝DE，∴△ADE≌△CED（SSS），∴∠CDE＝∠AED，∴DO＝EO，∵AE⊥CD，∠AEC＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CE＝2EO，CO＝EO，∵CD＝CO+DO，∴2＝EO+EO，∴EO＝﹣1，∴BC＝CE＝2EO＝2﹣2；（3）如图，当∠ADE＝90°时，∵∠B＝∠ADC＝60°，∴∠CDE＝30°，由（2）可知：△ADE≌△CED，∴∠AED＝∠CDE＝30°，∴AE＝2AD，∴AB＝2BC，∴＝2；如图，当∠AED＝90°时，同理可求：＝；如图，当∠DAE＝90°，点E在AD的上方时，过点A作AH⊥AB，交BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝210°，∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，∴∠BAC＝105°，∵AH⊥AB，∴∠HAC＝15°，∠AHB＝30°，∴∠HAC＝∠HCA＝15°，∴AH＝HC，∵AH⊥AB，∠AHB＝30°，∴AH＝AB，BH＝2AB，∴BC＝（2+）AB，∴＝＝2﹣，如图，当∠DAE＝90°，点E在AD的下方时，同理可求：，综上所述：的值为2+或2﹣或2或．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵AO＝CO，∠AOE＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形；（2）解：①AB＝BH，理由如下：设∠CAF＝x，∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠CAF＝∠ACE＝x，∵∠ACB＝45°，BG⊥EC，∴∠CBG＝45°﹣x，∴∠AHB＝∠CBG+∠ACB＝90°﹣x，∵AB＝AF，∴∠ABC＝∠AFB，∵∠AFB＝∠ACB+∠FAC，∴∠ABC＝∠AFB＝45°+x，∴∠BAF＝90°﹣2x，∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°﹣x，∴∠BAC＝∠BHA，∴AB＝BH；②如图，过点B作BR⊥AC于R，过点E作EP⊥AC于P，∵BR⊥AC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CBR＝45°，∴BR＝RC，∴△BRC是等腰直角三角形，∴BC＝BR，∵BC＝2，∴BR＝2＝CR，∵∠CBG＝15°，∴∠AHB＝∠ACB+∠CBG＝60°，又∵AB＝BH，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH，∵BR⊥AH，∴∠ABR＝30°，∴AB＝2AR，∵AB2﹣AR2＝BR2，∴3AR2＝4，∴AR＝，∴AB＝，∴AB＝AH＝，∵AC＝AR+RC＝+2，∴CH＝AC﹣AH＝2﹣，∵∠CBG＝15°，∴∠ABC＝75°，∴∠AFC＝∠ABC＝75°，∴∠FAC＝∠AFB﹣∠ACB＝30°＝∠ACE，∵四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE＝AB＝，∵EP⊥AC，∠ACE＝30°，∴EP＝EC＝，∴S△ECH＝×EP×HC＝××（2﹣）＝﹣．9．解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BF，∴∠D＝∠FCD，∵G是CD中点，∴DG＝CG，∵∠FGC＝∠DGA，∴△ADG≌△FCG（ASA），∴AD＝FC，∴FC＝BC．②在Rt△ABC中，AC＝8，CD＝6，∴AD＝＝＝10，∴BC＝10，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵AC＝AF，∴∠F＝∠CAF，∵∠ACB＝∠F+∠CAF＝2∠F＝∠ACE+∠BCE＝2∠BCE，∴∠F＝∠BCE，∴CE∥AG，又∵AB∥CD，∴四边形AECG是平行四边形，∴AE＝CG，如图1，过点E作EN⊥BC于N，∵∠ACE＝∠ECN，∠EAC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，∴△ACE≌△NCE（AAS），∴AC＝CN＝8，AE＝EN，∴BN＝2，∵BE2＝BN2+EN2，∴（6﹣EN）2＝EN2+4，∴EN＝，∴AE＝CG＝；（3）AC＝AH+AD，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC，∵∠D＝3∠ACE，∴∠B＝3∠ACE，∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC＝180°，∴∠ACE＝∠BCE＝18°，∠B＝54°，∵AF＝CF，∴∠CAF＝∠ACF＝36°，∴∠B＝∠BAF＝54°，∴AF＝BF＝CF＝BC＝AD，如图2，以C为顶点作∠BCP＝36°，交AF的延长线于P，∴∠ACP＝72°，又∵∠CAF＝36°，∴∠P＝72°＝∠ACP，∴AC＝AP，∵∠CHP＝∠ACE+∠CAF＝54°，∠PCH＝∠BCE+∠BCP＝54°，∴∠CHP＝∠PCH，∴CP＝PH，∵∠CFP＝∠ACF+∠FAC＝72°，∴∠CFP＝∠P，∴CP＝CF＝PH，∵AC＝AP＝AH+PH，∴AC＝AH+AD．10．证明：（1）∵将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，∴△PCE≌△QCB，∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB，∵∠BCD＝120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ＝60°，∴∠PCE+∠QCE＝∠QCB+∠QCE＝60°，即∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形；（2）存在，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°，∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝CB＝2cm，∵将△PCE绕点C逆时针旋转60°，∴△PCE≌△QCB，∴EP＝BQ，∴C△PBQ＝PB+BQ+PQ＝PB+EP+PQ＝BE+PQ＝2+CP，∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小，当CP⊥AB时，CP＝BCsin60°＝∴△PBQ周长最小为（2+）cm；（3）①当点B与点P重合时，P，B，Q不能构成三角形；②当0≤t＜3时，由旋转可知，∠CPE＝∠CQB，∵∠CPQ＝∠CPB+∠BPQ＝60°，则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ＝180°，∴∠CBQ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠QBP＝60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角；由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ＝60°，∠CQB＝30°，∵∠CQB＝∠CPB，∴∠CPB＝30°，∵∠CEB＝60°，∴∠ECP＝∠EPC＝30°，∴PE＝CE＝2，∴AP＝AE﹣EP＝3﹣2＝1，∴t＝1÷1＝1s，③当3＜t＜5时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在；④当t＞5时，由旋转得：∠PBQ＝60°，由（1）得∠CPQ＝60°∴∠BPQ＝∠CPQ+∠BPC＝60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ＝90°，从而∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝2所以AP＝7cm所以t＝7s．综上所述：t为1s或7s时，以点P、B、Q为顶点的直角三角形．11．解：（1）过点F作FG⊥BC于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵点E是BC的中点，∴BE＝BC＝3，在Rt△CGF中，FG＝CFsin∠ACB＝4×sin60°＝2，∴S△EFB＝＝3；（2）①连接DB，与AE交于点O，分别过点N作NQ⊥ME于Q，NH⊥BC于H，∵BE＝2EC，BC＝150m，∴BE+EC＝150m，即3EC＝150m，∴EC＝50m，BE＝100m，∵AD＝AB＝100m，∴AD＝BE＝100m，又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABED是菱形，∴ED＝100m，BD⊥AE，∴EC＝ED，∵CD⊥BC，∴∠EDC＝30°，∠DEC＝60°，∴∠BED＝120°，∴∠AED＝∠AEB＝60°，∴∠AED＝∠CED＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝100m，∵NQ⊥AE，NH⊥BC，∴NQ＝NH，∵AM＝xm，∴EN＝2AM＝2xm，EM＝AE﹣AM＝（100﹣x）m，在Rt△ENQ中，NQ＝EN•sin∠AED＝2x•sin60°＝x（m），∴NH＝x（m），∴S△ENM＝EM•NQ＝＝（50x﹣）m2，＝25x（m2），在Rt△BOE中，BO＝EB•sin∠AEB＝100×sin60°＝50m，∴S△BEM＝EM•BO＝（100﹣x）•50＝（2500﹣25x）m2，∴y＝S△ENM+S△CEN+S△BEM＝50x﹣+25x+2500﹣25x＝﹣x2+50x+2500；②当AM＝40m时，y＝﹣×402+50×40+2500＝3700（m2），∴当AM＝40m时，四边形BMNC的面积为3700m2．12．解：（1）∵点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，∴设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，故答案为：tcm；2tcm；（2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，则BQ＝（6﹣2t）cm；∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t＝10﹣2t，解得：t＝，即秒时四边形ABQP是构成平行四边形；当四边形DCQP是平行四边形，根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，则PD＝（6﹣x）cm；∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形DCQP是平行四边形，∴2x＝6﹣x，解得：x＝2，当PD＝BQ时，10﹣2x＝6﹣x，解得：x＝4，因此2或或4秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形；（3）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2t，∵AD＝6cm，BC＝10cm，∴PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，四边形ABQP和PDCQ的面积相等，则6﹣t+2t＝t+10﹣2t，解得：t＝2，答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．13．（1）解：设▱ABCD中BC边上的高为h，∵▱ABCD的面积为40，BC＝10，∴10h＝40，∴h＝4，故答案为：4；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，由题意得：BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，∴CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形；（3）解：如图1，过点A作AM⊥BC于M，∴AM＝4，由勾股定理得：BM＝＝3，当t＝3时，BE＝DF＝3，∴M与E重合，∴∠AEC＝90°，∴▱AECF是矩形；故答案为：矩；（4）四边形AECF能成为菱形，理由如下：如图2，过点A作AM⊥BC于M，则BM＝3，由题意得：BE＝DF＝t，则CE＝10﹣t，∴EM＝t﹣3，当四边形AECF是菱形时，AE＝CE，∴42+（t﹣3）2＝（10﹣t）2，∴t＝＜10，∵0＜t＜10，∴当t＝时，四边形AECF能成为菱形．14．解：（1）延长DF交CB的延长线于G，∵平行四边形ABCD中，∴CG∥AD，∴∠A＝∠GBF，∴△AFD∽△BFG，∴＝，∵运动时间为秒，∴AF＝，∵AB＝4，∴BF＝，∵AD＝2，∴BG＝1，∴CG＝3，∵AD∥CG，∴＝，∵AE＝，∴ED＝，∴＝；（2）当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，由题意可知，AE＝x，AF＝x，∵DB＝2，AB＝4，AD＝2，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，过点E作EH⊥AB交于H，∴EH＝AE•sin60°＝x，∴y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；此时当x＝2时，y有最大值3；当2≤x≤时，E点在BD上，F点在AB上，过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，∵AD+DE＝x，AD＝2，∴DE＝x﹣2，∵BD＝2，∴BE＝2﹣x+2，在Rt△ABD中，DM＝，∵EN∥DM，∴＝，∴＝，∴EN＝1+﹣x，∴y＝×AF×EN＝×（x）×（1+﹣x）＝﹣x2+x+x；此时当x＝时，y有最大值2+；当≤x≤2时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，∴AB+BF＝x，DA+DE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴BE＝2﹣x+2，BF＝x﹣4，∵PF∥DM，∴＝，即＝，∴PF＝x﹣2，∵EQ∥DM，∴＝，即＝，∴EQ＝+1﹣x，∴y＝×AB×（EQ﹣PF）＝×4×（+1﹣x﹣x+2）＝6+2﹣x﹣x；此时当x＝时，y有最大值2+；综上所述：当0≤x≤2时，y＝x2；当2≤x≤时，y＝﹣x2+x+x；当≤x≤2时，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值为2+；（3）连接DH，∵AH＝HB，AB＝4，∴AH＝1，∴DH⊥AB，∵M是DF的中点，∴HM＝DM＝MF，∵EM＝HM，∴EM＝DF，∴△EDF是直角三角形，∴EF⊥AD，∵AD⊥BD，∴EF∥BD．15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（2）解：过点F作FH⊥AD于H，由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴，∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴AB＝FH＝3，，∴，∴，∴四边形ABFE的周长＝；（3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠ABN＝45°，∵AN⊥BC，∴∠ABN＝∠BAN＝45°，∴，由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AF2＝AN2+NF2，∴AF2＝4+（6﹣AF）2，∴，∴，∵AN∥MF，AD∥BC，∴四边形ANFM是平行四边形，∵AN⊥BC，∴四边形ANFM是矩形，∴AN＝MF＝2，在Rt△AMF中，，∴，在Rt△MFE中，．16．（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°．∵△ABC绕点顺时针旋转得到△ADE，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°．∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°．（2）证明：①∵∠CAD＝α＝60°，AD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∵点F是AC的中点，∴DF⊥AC；②∵点F是边AC中点，∴AF＝AC，∵BF＝AC，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝30°，∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝AC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE＝BF．延长BF交AE于点G，则∠BGE＝∠GBA+BAG＝90°，如图3，∴∠BGE＝∠DEA，∴BF∥ED，∴四边形BFDE为平行四边形．17．（1）解：如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，∴∠EHC＝90°，∵∠ABC＝60°，∠EBA＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠EBA﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵点E'在BC边上且BE'＝4，将BE'绕点B逆时针旋转a°得到BE，∴BE＝BE′＝4，∴EH＝BE＝×4＝2，又∵BC＝6，∴S△BCE＝BC•EH＝×6×2＝6；（2）①解：方法一：过点E作EK∥BC交BG于点K，则∠FEK＝∠FCB，∵点F是CE的中点，∴EF＝CF，在△EFK和△CFB中，，∴△EFK≌△CFB（ASA），∴EK＝BC＝6，FK＝FB，∴BK＝2BF，由旋转得：BE＝BE'＝4，在△BEK中，EK﹣BE＜BK＜EK+BE，∴6﹣4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；方法二：如图2′，在线段FG上截取FK＝BF，连接EK、CK，∵EF＝FC，BF＝FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE＝CK＝AB＝4，BC＝6，在△BCK中，BC﹣CK＜BK＜BC+CK，∴6﹣4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝60°，AB＝4，∴∠A＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，AD∥BC，AD＝BC，BE＝AB，∵∠EBF＝120°，即∠EBK＝120°，∴∠EBK＝∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB＝∠BGA，在△EKB和△BGA中，，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK＝AG，由①知：BK＝2BF，又∵AG＝AD﹣DG，∴2BF＝BC﹣DG；（3）方法一：如图3，延长AB至P，使BP＝AB＝4，连接PM，∵B、N分别是AP、AM的中点，∴BN＝PM，当PM最小或最大时，BN最小或最大，以AE为直径作⊙O，连接PO交⊙O于点M′，连接PE，∵∠EBA＝90°，BE＝BA＝4，∴AE＝4，∵EM⊥AM，∴∠AME＝∠ABE＝90°，∴点M始终在以AE为直径劣弧上运动，∴PM的最大值为PE，此时点M″与E重合，点N″与点O重合，BN″＝BO＝2；PM的最小值为PM′，在Rt△POE中，OP＝＝＝2，∴PM′＝OP﹣OM′＝2﹣2，∴BN′＝PM′＝×（2﹣2）＝﹣，故BN的最大值为2，最小值为﹣．方法二：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，∵∠ABE＝90°，AB＝BE＝4，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝4，∵点P是AE的中点，∴BP⊥AE，且BP＝AP＝EP＝2，∵N是AM的中点，P是AE的中点，∴PN是△AEM的中位线，∴PN∥EM，∴∠ANP＝∠AME＝90°，∵点Q是AP的中点，∴QN＝PQ＝AP＝，在Rt△BPQ中，BQ＝＝＝，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值＝BQ﹣NQ＝﹣，当点S与点E重合时，EM＝0，PN＝0，此时，BN的最大值＝BP＝2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DH＝BC，∴AD＝DH，∵DE⊥AF，∴AG＝GH，又∵点E是AB的中点，∴BH∥DE；（2）证明：∵EG∥BH，AF⊥DE，∴AF⊥BK，∴∠BHF＝∠FHK＝90°，∵DA＝DH，∴∠DAH＝∠DHA，∵AD∥BC，DH∥FK，∴∠DAH＝∠AFB，∠DHA＝∠KFH，∴∠AFB＝∠KFH，又∵FH＝FH，∴△BFH≌△KFH（AAS），∴BH＝HK；（3）解：如图，连接AK，过点A作AR⊥EK于R，AN⊥AM交BM的延长线于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BK∥DE，∴四边形BEDK是平行四边形，∴BE＝DK，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝DK，设AE＝BE＝m＝DK，∵AD＝AE，∴AD＝m，∵BH＝HK，AH⊥BK，∴AB＝AK＝2m，∵m2+（2m）2＝（m）2，∴AK2+DK2＝AD2，∴∠AKD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKD＝90°，∴BK＝＝2m，∵BK＝2，∴2m＝2，∴m＝，∴AE＝BE＝＝DK，AK＝AB＝2，∴EK＝＝5，∵S△AEK＝×AE×AK＝×