有效的、开放的教学-郑毓信

有效的教学，开放的教学郑毓信2007，11，安徽简介南京大学哲学系教授、博士生导师；西南（师范）大学兼职教授、兼职博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作22部，发表论文260多篇。2000年以来的自觉定位政府行为的必要补充：相对独立的学术研究，包括必要的批评。努力的方向：说真话，说实话。一些相关的文章改革热潮中的冷思考，《中学数学教学参考》，2002.No.9简论数学课程改革的活动化、个性化、生活化取向，《教育研究》，2003.No.6数学课程改革：何去何从？《中学数学教学参考》，2005.No.5数学课程改革：路在何方？《中学数学教学参考》，2006.No.1对于教学方法改革中的形式主义的反对试析新一轮课程改革中小学数学课堂教学，《课程、教材与教法》，2003.No.4数学教学方法改革之实践与理论思考，《中学教研》，2004.No.7关于课程改革的若干深层次思考，《中学数学教学参考》，2006.No.8一个新的热点：“有效的课堂教学”第六届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会（教育部北京师范大学基础教育课程研究中心、国家义务教育数学课程标准研制组、新世纪小学数学教材编委会联合主办）：新课程背景下小学数学课堂教学有效性的研究基本立场应当坚持独立思考，不要盲目追随潮流。不要迷信专家。实例之一为了给学生一杯水……教师不需要一桶水，有一杯水也够了，关键看你能不能把水倒给学生；为了给学生一杯水……甚至教师没有水也可以，大家一起去打井，就会有水了。实例之二由“校本教研”到“校本课程”、乃至“校本课程规划”。 我们不仅应当根据各校的情况去编写校本课程，而且也应对学校中的各种课程，包括国家课程、地方课程和校本课程做出自己的整体设计和安排。结论：不要迷信专家在面对任一新的时髦口号或潮流时，我们都应冷静地思考：究竟什么是这一新的主张或口号的主要内涵？这一主张或口号究竟又能为我们提供什么新的启示和教益？一个值得思考的问题由“双基”到“四基”。基本思想；基本活动经验。回到主题：三个应当思考的问题“有效的课堂教学”这一口号是否有其一定的合理性？什么是“有效的课堂教学”的主要内涵？在相关的实践中我们又应如何防止可能的片面性？一、“有效的课堂教学”的合理性[例]“新西兰的阳光”（王宏甲，《新教育风暴》，北京出版社，2004））：“这是五年级的一堂课，老师出了这样一道题：每个篮子里有24块蛋糕，6个篮子里共有多少块蛋糕？新西兰五年级的学生用各种方式踊跃回答，很有成功感。”必要的反思然而，这不是我们二年级教的吗？他们五年级的学生能答出来这也值得高兴？像这样的教学能算是有效的吗？必要的对照：中国数学教学传统“课堂教学相对于具体目标的高效率性。”（1）中国的数学教学每一堂课都有着十分明确的目标；（2）中国的数学教学并就是围绕所说的目标很好地组织起来的。例如，中国的数学课程通常包括“复习”、“引入”、“讲授”、“练习”、“总结”等五个环节，而其中的所有细节，包括时间的分配与板书的设计等，则都是围绕所说的目标精心安排的结果。插入：一个新的热点——数学教育的国际比较研究一个值得警惕的现象：“较危险的是一些‘有点相关知识’，但人们却摸不着底的人物。……尤其到国外某个小地方转一圈后，回到中国就更能把国外如何如何朗朗上口，向还没有机会到国外去的广大群众宣扬他们的“专家级”见解。”（新加坡《联合早报》）比较研究的基本立场：蓝本或镜子？比较研究所提供的并非是某种现成的、可资直接仿照的蓝本，而主要是一面镜子，由此我们即可更为清楚地去认识自己的传统，包括作出必要的反思与批判。中、美、日的比较对于一年级和五年级的调查表明：美国教室中所真正用于教学的时间分别为70%和65%；中国是85%与90%，日本则是为79%与82%。（引自《学习的差距》）

反思：情况是否正在发生变化？一个形象的描述：“引入说说笑笑，过程动动跳跳，评价你好我好。”更为深刻的分析：教学方法改革中形式主义的盛行。现实意义：对于形式主义的反对从公开课的设计谈起（1）情境设计；（2）学生主动探究；（3）合作学习；（4）动手实践。

（1）什么是一个好的情境设计？

我们究竟应当如何去认识情境设计的意义？我们又应如何去处理“日常数学”与“学校数学”的关系？[例]这个学生缺的究竟是什么？

（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”

任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：52×150×12=……接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”……必要的思考：这里是否也缺了点什么？“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”“他们所需要的……是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”（斯根普）（2）学生主动探究主动探究能否被看成数学学习的主要手段？教师又应如何去发挥必要的指导作用？教师发挥作用的主要手段启发性的问题；适当的案例；多样化与优化。插入：由“经验型”转向“理论指导下的自觉实践”适当举例对于防止错误观念的重要性；中国数学教学传统的又一重要内容：变式教学理论（概念变式） 特别是（1）“标准变式”与“非标准变式”；（2）“概念变式”与“非概念变式”。（3）应当如何去组织合作学习？

防止对于形式的片面追求：合作学习≠小组学习；教师在教学中应当灵活地应用小组学习、个别学习、全班讲授、全班交流等多种学习形式表面上热热闹闹，实质上却没有收获。[例]“工厂要建造污水处理系统吗”？教学中教师设计了“学生辩论”这样一个环节：通过明确正、反方的观点，教师安排学生通过抽签进行分组辩论，包括陈述观点与依据以及对对方的观点进行反驳……教师的总结：“我感到……对于辩论这种教学形式，学生比较感兴趣。”“这样的学习过程试图培养学生独立思考、合作与交流的能力，培养学生分析和解决问题的能力，培养学生从多角度、多方面考虑问题的习惯与能力。”一个值得思考的问题数学课上的辩论与一般的辩论（例如，大学生辩论赛）是否存在重要的区别？在数学中我们往往首先寻找相应的理由，并由此而决定自己所应选择的立场，从而这主要是一种理性的选择（也正因为此，数学中就很少、甚至从不通过辩论来解决观点的分歧）；与此相对照，在各种辩论赛中人们却往往是首先决定立场，然后再去寻找相关的理由。一个应当注意的问题：关注差生什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求？（1）互动与规范；（2）分工与共享；（3）认知与身份。（4）学生动手实践什么样的动手实践才是真正有效的？高度的自觉性：什么？为什么？如何？（角的认识）活动的必要内化。

应当如何去上好一堂公开课我们不能以“新”“旧”作为区分教学方法“好”“坏”的主要标准，数学教学方法的变革更不应被看成教学模式的简单取代。我们并应明确肯定教学工作的创造性：教无定法，而应根据特定的教学内容、对象、环境（以及教师本人的个性特征）创造性地去应用各种教学方法。回到主题应当明确肯定“有效的数学教学”这一论题的合理性，特别是，这不仅直接关系到了对于中国数学教学传统的很好继承，更有着重要的现实意义。“无论教学如何改革，‘有效的课堂’都应是我们永恒的追求。进一步的思考在充分肯定“有效的教学”这一提法的合理性的同时，我们又应进一步思考：究竟应当如何去理解“数学教学的有效性”；我们又应如何很好地去避免各种可能的片面性或极端化?二、“有效的数学教学”的主要内涵一个基本认识：教学的有效性总是相对于一定的教学（育）目标而言的。就当前而言，我们不仅应当十分重视具体数学知识与技能的学习，而且也应更加关注如何能够帮助学生学会数学地思维，包括由思维方法的学习向数学素养的过渡，也即充分发挥数学的文化价值。（三维的数学教育目标）对于中国数学教育的特殊意义这正是传统的中国数学教学的一个明显不足之处，即是主要集中于具体的数学知识或技能的学习这样的短期目标，而忽视了数学教育的长期目标，包括思维方法的学习，以及情感、态度和价值观的培养。现实中所存在的问题认识上的泛化；做法上的简单化（取代与简单组合）。[例]买花与培养对母亲的感情“讲到促进学生的情感、态度和价值观的发展，很多老师认为是很空泛的。有这样一个例子，讲的是去花店买花的问题：我要给妈妈买一束花，该怎么买？从表面上看，这里是教学加减运算的问题，这是一种知识和技能。但这里面还隐含着另一层含义：给妈妈买一束花，送她作生日礼物，通过学生的讨论交流，引发了对母亲的一种敬爱的感情，这就是课程标准所倡导的情感、态度和价值观。”[例]这里是否还缺的点什么？“以其深厚的教学功底、灵活精湛的教学方法、较强的教学组织能力，创设了充满情趣的课堂氛围，使学生们在愉快中得到发展，在发展中获得愉快，显示出他独特的教学风格。”数学教育应当防止“去数学化”：“数学教育，自然是以‘数学’内容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依据”；“数学教育啊，可否更多地关注‘数学’的特性！”关键：究竟什么是数学课所应具有的“数学味”？什么是数学思维？我们又应如何帮助学生去学会数学思维？什么是数学的文化价值？我们又应如何去发挥数学的文化价值？1.帮助学生初步学会数学地思维两个相关的思想障碍：（1）由于各种“先天”的原因，大多数小学数学教师并不能说具有很高的数学素养，从而，我们又如何能够期望他们在自己的教学活动中很好体现数学的思维方法？（2）小学数学的内容过于简单，从而就不可能很好地体现数学思维的特点。建议：加强数学方法论的学习中学的相关实践防止简单移植。如：函数与变量；极限思想与无限的认识。2.究竟什么是数学特有的文化价值？有益的比较：语文课反照下的数学教学。一个常见的提法：防止用“生活味”去取代数学课所应具有的“数学味”；类似的提法：“语文天生多情，天生浪漫，语文教学……有其自身的文化韵味。”但是，究竟什么是数学课所应具有的“数学味”？什么又是语文课所特有的“语文味”？这两者究竟有什么不同？[例]窦桂梅老师的《珍珠鸟》教师突出地强调了课文中如下一些关键词：小脑袋，小红嘴，小红爪子……，并要求学生在朗读时努力体现“娇小玲珑、十分怕人”这样一种意境（“读出味道来”）。这堂课成功的秘诀就在于通过朗读创设了这样一个氛围：对于小珍珠鸟的关切、爱怜……孩子们甚至不知不觉地放低了声音，整个教室静稍稍的……。相关的思考语文教学主要是一种“情知教学”，即是以情感来带动知识的学习……。“让学生对文本生‘情’，用‘情’来理解文本,……用‘情’来感染学生。”（朱小亮)那么，对于数学教学我们是否也可作出同样的结论呢？可能的结论如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么，数学教学则就主要是“以知贻情”，其涉及的情感也截然不同。语文教学中所涉及的是人类最为基本的一些感情：人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢……这就是说，即如种种文学作品，在此首先吸引你的不是相应的语言表达形式，而是文字中的精神滋养，包括对大自然的关爱、对弱小的同情、对未来的希冀、对黑暗的恐惧等。与此相对照，在数学课上我们所希望学生养成的则是一种新的精神：它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的认识方式：客观的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么，为什么）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）……不同的教学标准好的语文课往往充满激情，数学教学则更加提倡冷静的理性分析；语文教学带有明显的个性化倾向；数学则追求普遍的知识，数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”的过程。一些错位现象：“圆”的教学如果一个数学教师在课堂上采取了以下的教学方法你有什么想法：教师首先在黑板上画了一个大大的圆，然后问学生：看着这个圆你想到了什么？学生表现出了丰富的想象力：一轮红日；十五的月亮；这是世界上最美的图形：我爱死你了……思考：这究竟是一堂数学课、还是更像一堂语文课？又一“错位”现象“山上有5只狼，猎人开枪打死2只，还剩下几只？”一个学生回答道：“一只也没有剩下，因为它们是一家子，猎人打死的是父母亲，这样三个小狼就一个也活不下去了。” 思考：这个学生显然是将数学课误当成了语文课。相反的实例“我们正在学习《太阳》一课，就在我进行总结的时候，一只小手高高地举了起来。是铭——一个喜欢发言却又词不达意、经常会制造点麻烦的孩子。……他结结巴巴地讲：‘老师，太阳不……不是圆的……’同学们一听，哈哈大笑起来，说：‘我们天天都看到太阳，太阳怎么可能不是圆的呢？’可是铭涨红了脸，固执地坚持：‘真的，太阳真的不是圆的。我从书上看来的。’……”数学与情感数学学习同样涉及到了人的本性，如人类固有的好奇心、上进心：一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”（苏霍姆林斯基）一个最好的比喻：童心。“我不知道世人怎样看我，我只是一个在海滩上玩耍的男孩，一会儿找到一颗特别光滑的卵石，一会儿找到一只异常美丽的贝彀，就这样使自己娱乐消遗。”（牛顿）必要的补充在数学课我们所希望学生养成的是一种新的理性精神……一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持……

（2）如何充分发挥数学的文化价值？

与外插、简单组合等作法相对立，我们应当突出强调文化价值与知识内容的相互渗透，真正做到“以知贻情”。关键之一：创造适当的问题情境如果说语文教学的一个有效手段就是通过朗读创设出好的学习情境，即是要求学生带着感情去读，读出感情来；那么，数学教学中调动学生好奇心、上进心的主要手段就是如何能够提出恰当的问题：提出具有挑战性、同时又适合于学生认知水平的问题，提出具有启发性的问题，从而不断激发学生的好奇心，促使其积极地学习，而且不仅能学到知识、也能学会思维，包括养成健康的情感、态度与价值观。关键之二：教师自身的感染力量身体力行，耳濡目染。“文如其人”：一个没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。关键：高度的自觉性“其实，即使是小学数学，它的每一个结论、每一条规律，几乎都能找到令人赞叹的理由，几乎都能通过适当的方式，让学生有所感悟。为什么有的老师会无动于衷，放弃可贵的教育机会呢？……有一天，看到媒体在评选感动中国的年度人物，我忽然醒悟：只有当教师自己被数学所感动时，他才能自觉地、不失时机地用数学的魅力去打动学生。“（曹培英）一个值得提倡的追求“教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。”（张齐华）努力展示数学自身的魅力“是啊，当数学能够深入到数学的内部，展现它自身的魅力时，那些从外部添加的趣味性，什么小狗、小猫的故事，五颜六色的教具，就可以少用乃至不用了。这也就是数学教学的的一种返璞归真吧！”（曹培英）教师的三个境界仅仅停留于知识的层面：教师匠；能够体现数学的思维：智者；无形的文化熏陶：大师！几点提醒

第一，我们不应期望通过聆听某个专家的报告或阅读某部专著（特别是，通过将其毫无遗漏地归结为甲、乙、丙、丁……等几条）就能很好把握“数学文化”的具体内涵，我们也不能期望通过依样画葫芦就能在课堂上很好体现“数学的文化价值”；毋宁说，与单纯的理论学习相比，我们应当更加重视自己的切身体会与感悟，因为，无论所说的体会和感悟是何等的“单薄”、“肤浅”，恰恰因为这是你自己的体会，从而才有可能在课堂上得到很好体现，更何况只要处处用心，我们就一定可以通过各种渠道最终把握“数学文化”的真谛。第二，数学教师的社会责任。背景：东西方文化的比较（数学文化与儒家文化）

数学“是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径”（柏拉图）算术亦是六艺要事，……然可以兼明，不可以专业。“（《颜氏家书》）“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”（齐民友）当前的忧虑“如果我们的科学家能多有一些不囿于实际利益的‘稚气’，不妄求上帝降福，把和谐有序、有理性的世界本身作为自己的上帝而热切地渴望理解它、认识它，那么，我们的科学研究特别是基础理论方面的研究就会有空前的、突破性的进展。”（张世英）第三，我们不仅应当突出强调数学的“善”，也应清楚地看到数学的“恶”。数学思维的局限性：简单性（simple-minded）,单一性（single-minded）,文本性（literal-minded）（J.Schwartz&G-C.Pota）三、正确处理教学有效性与教学开放性的辩证关系课程改革相关实践的一个重要启示：反对极端化。相关的论述：“当提倡某种做法、形式时，不要贬低另一种可行的做法、形式；……”（李瑞环）相关的思考什么是中国数学教育的基本哲学？当前的一个关键问题：正确处理教学的有效性与教学的开放性这两者之间的辩证关系。什么是“开放的数学教学”？回顾：“开放题与开放式教学”，《中学数学教学参考》，2001.No.3。核心思想：教学思想的开放性，应为学生提供更大的创造空间。更为全面的理解教学目标的开放性；教学方法的开放性；理论思想的开放性；教学内容的开放性；教学活动的开放性；教学思想的开放性；

……对于中国数学教育的特殊重要性

“由于中国历来是一个中央集权的国家，因此在教育系统中也就很容易出现以下的‘一层卡一层’的现象：大纲（课程标准）‘卡’教材——教材的编写必须‘以纲为本’；教材‘卡’教师——教师的教学必须‘紧扣教材’；教师‘卡’学生：学生必须牢固地掌握教师所授予的各项知识和技能。这样，作为最终的结果，所有的有关人员，包括教师和学生，其创造性才能就都受到了严重压制。”从教学的角度看由于中国教育的规范性质；因此在中国的数学课堂上教师就始终占据主导的地位，特别是，尽管也强调了教学的启发性以及学生的参与，但教师所希望的又总是课程能按照事先设计的方案顺利地得以进行，特别是，学生能按教师的思路去进行思考，并最终牢固地掌握相应的数学知识和技巧，包括教师所希望学生掌握的数学思维方法……从而，总的来说，这就是“大框架下的小自由”，也即往往未能给学生的主动创造性留下足够的“自由空间”；进而，如果教师缺乏自觉性的话，则更可能出现教学处于教师的绝对支配之下、而学生的主动性和创造性则受到严重压制的局面。东西方教育的比较“东方特别强调教育的规范性质，即是表现出了明显的社会取向；西方则特别重视学习者的个性发展，从而表现出了明显的个体取向。”结论在突出强调“有效的数学教学”的同时，我们也应大力提倡“开放的数学教学”，或者说，即应在有效性与开放性之间保持适当的平衡。教学思想的开放性（1）我们在教学中不应人为地去追求任何一种强制的统一或过分的规范，而应让每个学生都有一定的自主性。[例]小明上学时应走哪条路?问题：小明上学时究竟是走中间的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近？教学实录：尽管从一开始被提问的学生就能立即对上述问题正确作答，大多数学生并能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行检验，包括重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这一猜想。在课后的点评中，有的教师还提出：在此重要的并非上述的具体结论，而是要让学生体会发现的过程。

一般性结论我们不仅应当允许学生在学习过程中表现出一定的“路径差”，而且应给各种不