垂直于弦的直径

垂直于弦的直径赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X任何一条直径所在的直线都是对称轴。·OABCDE?思考如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB●O●O●O在下列哪个图中有AE=BE，ABCD（1）（2）（3）DCABCABEEE┗

AC=BC，AD=BD.找一找⌒⌒√⌒⌒DAE=BE吗？

例1已知：如图，在⊙O中，弦

AB的长为8cm，圆心

O到AB的距离为3cm.

求：⊙O的半径.则OE＝3cm，AE＝BE.∵AB＝8cm∴AE＝4cm在Rt⊿AOE中，根据勾股定理OA＝5cm∴⊙O的半径为5cm.AB.OE

解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，练习1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。DC1088解:作OC⊥AB于C,

由垂径定理得:AC=BC=AB=×16=8

由勾股定理得:答:截面圆心O到水面的距离为6.1212排水管中水最深是多少?6CD=OD－OC=10－6=4变式一：若已知排水管的半径OB=13，截面圆心O到水面的距离OC=5，求水面宽AB。变式二：若已知排水管的水面宽AB=8。截面圆心O到水面的距离OC=3，求排水管的半径OB。DC10886练习1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。若弦心距为d，半径为R，弦长为a,则这三者之间有怎样的关系？dRa2d2+()2=R22a解：如图，设半径为R，在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.D37.47.2问题情境赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,

拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.2

例2已知：如图，在以

O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、

D两点。求证：AC＝BD。则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BD.ACDBOE证明：过O作OE⊥AB，垂足为E。1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90°∟∟练习：D·OABCE课堂小结

请大家围绕以下两个问题小结本节课

①学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？

②在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？

1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.课堂小结AB.OEABDCOE1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,

那么圆心O到弦AB的距离是

.2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是

.3．半径为2cm的圆中，