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文档简介

垂直于弦的直径赵州桥主桥拱的半径是多少?问题情境实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?圆是轴对称图形,判断:任意一条直径都是圆的对称轴()X任何一条直径所在的直线都是对称轴。·OABCDE?思考如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径,AE=BE,AC=BC,⌒⌒AD=BD.⌒⌒∴(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD⊥AB●O●O●O在下列哪个图中有AE=BE,ABCD(1)(2)(3)DCABCABEEE┗

AC=BC,AD=BD.找一找⌒⌒√⌒⌒DAE=BE吗?

例1已知:如图,在⊙O中,弦

AB的长为8cm,圆心

O到AB的距离为3cm.

求:⊙O的半径.则OE=3cm,AE=BE.∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt⊿AOE中,根据勾股定理OA=5cm∴⊙O的半径为5cm.AB.OE

解:连结OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,练习1:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。DC1088解:作OC⊥AB于C,

由垂径定理得:AC=BC=AB=×16=8

由勾股定理得:答:截面圆心O到水面的距离为6.1212排水管中水最深是多少?6CD=OD-OC=10-6=4变式一:若已知排水管的半径OB=13,截面圆心O到水面的距离OC=5,求水面宽AB。变式二:若已知排水管的水面宽AB=8。截面圆心O到水面的距离OC=3,求排水管的半径OB。DC10886练习1:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。若弦心距为d,半径为R,弦长为a,则这三者之间有怎样的关系?dRa2d2+()2=R22a解:如图,设半径为R,在Rt⊿AOD中,由勾股定理,得解得R≈27.9(m).答:赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.D37.47.2问题情境赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,

拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.2

例2已知:如图,在以

O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、

D两点。求证:AC=BD。则AE=BE,CE=DE。∴AE-CE=BE-DE。所以,AC=BD.ACDBOE证明:过O作OE⊥AB,垂足为E。1.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:∴四边形ADOE为矩形,又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵OE⊥AC,OD⊥AB,AC⊥AB∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90°∟∟练习:D·OABCE课堂小结

请大家围绕以下两个问题小结本节课

①学习了一个与圆有关的重要定理,定理的内容是什么?

②在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么?

1.垂径定理相当于说一条直线如果具备(1)过圆心;(2)垂直于弦;则它有以下性质(3)平分弦;(4)平分弦所对的劣弧;(5)平分弦所对的优弧.2.在圆中解决有关弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.课堂小结AB.OEABDCOE1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm,

那么圆心O到弦AB的距离是

.2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是

.3.半径为2cm的圆中,

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