【走向高考】高三数学一轮复习 123二项定理课件（北师大）

考纲解读1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考向预测1．本节内容的考查热点是通项公式，可以求指定项，或已知某项，求指数n等．2．本节内容的考查通常用选择题、填空题的方式进行．知识梳理1．二项式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Cnr(r＝0,1,2，…，n)叫做

．式中的Cnran－rbr叫做二项展开式的

，用Tr＋1表示，即展开式的第

项；Tr＋1＝

.二项式系数通项r＋1Cnran－rbr2．二项展开式形式上的特点(1)项数为

.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为

.(3)字母a按

排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按

排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从

，Cn1，一直到Cnn－1，

.n＋1n降幂升幂Cn0Cnn3．二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的

相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，

的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，

的二项式系数相等并且最大．(3)二项式系数的和等于

，即

.(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和

奇数项的二项式系数和，即

.二项式系数中间一项中间两项2nCn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n等于Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1[答案]

A[答案]

B3．(2009·江西西文)若Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn能被7整除除，则x，n的值可能为为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5[答案]C[解析]考查二项式式定理．因为Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn＝Cn0x0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn－1＝(1＋x)n－1能被7整除，代代入选项检检验易知选选C.4．(2010·全国国卷Ⅰ文)(1－x)4(1－)3的展开式中中x2的系数是()A．－6B．－3C．0D．．3[答案]A[解析]该题考查求求展开式的的特定项，，用生成法法．∵(1－)3的有理项为为1和3x，故要出现现x2，需从(1－x)4因式中找x2项和x项，即C42(－x)2和－C41x，∴x2项为C42(－x)2·1－C41·x·3x＝－6x2，∴选A.[答案]66．(2010·全国卷卷Ⅱ文)(x＋)9的展开式中中的x3的系数是__________．[答案]847．若(1＋2x)6展开式中第第2项大于于它的相邻邻两项，试试求x的取值范围围．[点点评评]求二二项项展展开开式式中中某某些些特特殊殊项项、、常常数数项项、、有有理理项项、、无无理理项项或或它它们们的的系系数数等等问问题题．．利利用用通通项项公公式式写写出出其其一一般般式式，，再再令令其其中中r取某某些些特特定定值值是是解解决决该该类类型型问问题题常常用用方方法法．．[答案案]B[答案案]B[例例2]若若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋……＋＋a1x＋a0，求求(1)a1＋a2＋……＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解解析析]所求求结结果果与与各各项项系系数数有有关关，，可可以以考考虑虑用用““特特殊殊值值””法法，，整整体体解解决决．．(1)令令x＝0，，则则a0＝－－1；；令令x＝1，，则则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(3)已已知知(x＋1)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋……＋＋a2009x2009，则则a0＋a1＋a2＋……＋＋a1004＝()A．．22009B．．22008C．．21005D．．21004[答答案案](1)49－1(2)A(3)B[解析](1)在在(1－－3x)9展开式中中奇数项项为正，，偶数项项为负．．故|a1|＋|a2|＋…＋＋|a9|＝－a1＋a2－a3＋…－a9.令x＝－1，，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝49.令x＝0，得得a0＝1.故故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝49－1.[例3]已知知f(x)＝(＋＋3x2)n展开式中中各项的的系数和和比各项项的二项项式系数数和大992.(1)求求展开式式中二项项式系数数的最大大项．(2)求求展开式式中系数数最大的的项．[分析]展开式中中二项式式系数的的最大项项应是中中间项，，并要根根据n的奇偶性性来确定定是两项项还是一一项；系系数最大大项的系系数，应应满足它它不小于于前一项项的系数数，也不不小于后后一项的的系数，，若设第第r＋1项为为展开式式的系数数最大项项，则应应满足第第r＋1项的的系数大大于或等等于第r项及第r＋2项的的系数．．[解析](1)令令x＝1，则则二项式式各项系系数和为为f(1)＝＝(1＋＋3)n＝4n，展开式中中各项的的二项式式系数之之和为2n.由题意，，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍)或2n＝32.∴n＝5.由于n＝5为奇奇数，∴展开式中中二项式式系数最最大项为为中间两两项，它它们是[解析]根据二项项式系数数的性质质，列方方程求解解n.系数的的绝对值值最大问问题需要要列不等等式组求求解．由题意知知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，，∴2n＝32，，解得n＝5.[点评]在运用二二项式定定理时不不能忽视视展开式式中系数数的正负负符号．．当然还还需考虑虑二项式式系数与与展开式式某项的的系数之之间的差差异：二二项式系系数只与与二项式式的指数数和项数数有关，，与二项项式无关关；而项项的系数数不仅与与二项式式的指数数和项数数有关，，还与二二项式有有关．值值得注意意的是，，本例中中是求“系数的绝绝对值最最大的项项”，若改改为“系数最最大的的项”又该如如何处处理？？因为为第4项的的系数数为负负值，，所以以系数数最大大项必必是第第3项项或第第5项项中的的某一一项．．比较较这两两项的的系数数C10228与C10426大小即即可.[例4](1)求求证：：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，且n>2)；(2)求S＝C271＋C272＋…＋＋C2727除以9的余余数．．[分析析](1)把3n化为(2＋＋1)n展开后后放缩缩证明明；(2)求出出系数数和构构造二二项展展开式式求解解．[解析析](1)证明明：∵n∈N*，且n>2，，∴3n＝(2＋1)n展开后后至少少有四四项，，而(2＋1)n＝2n＋Cn1×2n－1＋…＋＋Cnn－1×2＋＋1≥≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1.(2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝＝89－1＝＝(9－1)9－1＝C9099－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9(C90×98－C91×97＋…＋C98)－2∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整整数，，∴S被9除除的余余数为为7.[点评评]幂指数数含n的不等等式(n∈N*)，用用二项项式定定理证证明，，有时时比用用数学学归纳纳法证证明要要简捷捷得多多．用用二项项式定定理证证明不不等式式时，，要根根据n的最小小值确确定展展开后后的最最少项项数，，然后后视具具体情情况确确定应应该保保留多多少项项．这这实际际上是是一个个放缩缩适量量的问问题．．利用二二项式式定理理解决决整除除性问问题时时，关关键是是要巧巧妙地地构造造二项项式，，其基基本思思路是是：要要证明明一个个式子子能被被另一一个式式子整整除，，只要要证明明这个个式子子按二二项式式定理理展开开后的的各项项均能能被另另一个个式子子整除除即可可．因因此，，一般般要将将被除除式化化为含含有相相关除除式的的二项项式，，然后后再展展开．．此时时常采采用““配凑凑法”、“消去法法”配合整整除的的有关关知识识来处处理．．(1)22012除以9的余余数是是()A．1B．2C．5D．8(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋＋(－－1)k90kC10k＋…＋＋9010C1010除以88的的余数数是()A．－－1B．．1C．－－87D．．87[答案案](1)C(2)B[解析析](1)22012＝4××22010＝4(9－－1)670＝4(9670－C67019669＋C67029668＋…－1)，展展开式式中共共671项项，最最后一一项为为4××(－－1)＝－－4，，故余余数为为9－－4＝＝5.答案案选C.(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋(－－1)k90kC10k＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋＋1)10＝8810＋C101889＋C102888＋…＋C10988＋＋1，，前10项项均可可被88整整除，，故余余数为为1.答案案选B.1．运运用二二项式式定理理一定定要牢牢记通通项Tr＋1＝Cnran－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，，但具体到到它们展开开式的某一一项时是不不相同的，，我们一定定要注意顺顺序问题，，另外二项项展开式的的二项式系系数与该项项的(字母母)系数是是两个不同同概念，前前者只指Cnr，而后者是是指字母外外的部分．．2．求二项项展开式中中指定的项项，通常是是先根据已已知条件求求