【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.4导数的概念与运算课件 理

第十二章极限与导数导数的概念与运算第讲41考点搜索●导数的概念及其几何意义●几种常见函数的导数公式●导数的四则运算法则，复合函数的求导法则高考猜想1.导数的基本运算，求函数的导数.2.导数条件的转化与可导条件分析.3.导数与切线的综合应用.21.对于函数y=f(x)，记Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→0时，

有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x0，即f′(x0)=———————

=——————————————.2.如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，则对(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，3这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，称这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的

，简称导数，记作f′(x)或y′，即f′(x)=

.3.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

.相应地，切线方程为————————————————.4.常见函数的导数导函数f′(x0)y-y0=f

′(x0)(x-x0)4(1)C′=

(C为常数)；(2)(xn)′=

(n∈Q);(3)(sinx)′=

;(4)(cosx)′=

;(5)(lnx)′=

;(6)(logax)′=

(a＞0，a≠1);(7)(ex)′=

;(8)(ax)′=

(a＞0，a≠1).0nxn-1cosx

-sinx

ex

axlna

55.导数的四则运算法则(1)(u±v)′=

;(2)(uv)′=

;(3)(uv)′=

(v≠0).6.设函数u=φ(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处也有导数，且fx′［φ(x)］=

.f′(u)φ′(x)u′±v′

u′v+uv′

61.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81解：因为s′=6t2，所以s′|t=3=6×32=54.C72.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为(

)A.1

B.2C.3

D.4解：因为y′=2x-1，所以y′|x=-2=-5.又P(-2，6+c)，所以

,解得c=4.D83.若f′(x0)=2,则等于()A.-1B.-2C.1D.解：A9题型1

求函数的导数1.求下列函数的导数：解：1011点评：掌握常见函数数的导数是求求函数的导数数的关键，注注意函数的和和、差、积、、商的导数在在解题中的应应用.涉及到复合函函数的导数注注意把复合函函数分解为几几个基本函数数.12求下列函数的的导数：13解：(2)则1415(3)令则16题型2在导数条件下下求参数的值值2.已知函数若存在x0∈R，使得f′(x0)=0且f(x0)=0，求a的值.解：因为f′(x)=3x2+2ax，令f′(x)=0，则3x2+2ax=0，所以x0=0或x0=-.17当x0=0时，由f(x0)=0，可得所以a=0.当x0=-时，由f(x0)=0，可得即a3-9a=0，所以a=0或a=±3.综上分析，a=0或a=±3.18点评：求参数的值或或取值范围的的问题，仍是是转化题中的的条件，得到到相应参数的的方程或不等等式，然后通通过解方程或或不等式得到到所求的问题题的解.19已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、、d、e∈R)为偶函函数，它的图图象过点A(0，-1)，B(1，0)，，且f′′(1)=-2，，求求函函数数f(x)的的表表达达式式.解：：因为为f(x)是是偶偶函函数数，，所所以以f(-x)=f(x)恒恒成成立立.即a(-x)4+b(-x)3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+恒成成立立，，所所以以b=0，，d=0，，即即f(x)=ax4+cx2+e.又由由图图象象过过点点A(0，，-1)，，可可知知f(0)=-1，，即即e=-1.因为为f′′(1)=-2且且f(1)=0，，所所以以4a+2c=-2且a+c-1=0，，解解得得a=-2，，c=3.所所以以f(x)=-2x4+3x2-1.203.已知知曲曲线线求求：：(1)曲线线在在x=2处的的切切线线方方程程；；(2)曲线线过过点点P(2，4)的切切线线方方程程.解：：(1)因为为y′′=x2,所以以在在x=2处的的切切线线的的斜斜率率k=y′′|x=2=4.又x=2时，，所以以曲曲线线在在x=2处的的切切线线方方程程为为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.题型型3利用用导导数数求求切切线线方方程程21(2)设曲曲线线与过过点点P(2，4)的切切线线相相切切于于点点则切切线线的的斜斜率率k=y′′|x=x0=x02.所以以切切线线方方程程为为即因为为点点P(2，4)在切切线线上上，，所以以即即22所以以所以以所以以(x0+1)(x0-2)2=0,解得得x0=-1或x0=2.故所所求求的的切切线线方方程程为为4x-y-4=0或x-y+2=0.点评：：求曲线线在某某点处处的切切线方方程的的思路路是：：先求求得函函数在在此点点处的的导数数值，，即为为切线线的斜斜率，，然后后根据据切点点的坐坐标，，再用用点斜斜式可可得切切线方方程.若是经经过某某点的的切线线，注注意先先设切切点坐坐标，，然后后写出出切线线方程程，再再把已已知点点代入入切线线方程程求得得切点点的横横坐标标.23(2010·全国课程标标准卷)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-224解：易知点(-1，-1)在曲线上，，即为切点点，又由于f′(x)==，故f′(-1)=，即切线的的斜率为为2，从而切切线方程程为y+1=2(x+1)，化简可得得y=2x+1.25已知函数数f(x)在点x=1处连续，，且求求f′(1).解：因为f(x)在点x=1处连续，，所以又又

参考题题型函函数的的连续性性与导数数的关系系分析26所以即f(1)=0.所以27求证：如如果函数数y=f(x)在点x0处可导，那么么函数y=f(x)在点x0处连续.证明：由已知，得28所以所以命题得证证.291.f(x)在点x0处的导数f′(x0)也可理解为：：这这相当于于Δx=x-x0，所以增量Δx可用其他形式式替代，如-t，2t等.但在转换时，，必须与导数数概念保持一一致，如事事实上，302.求函数f(x)的导数是一个个最基本的题题型，利用求求导法则将f(x)的导数数转化化为基基本函函数的的导数数，再再套公公式化化简整整理，，是解解决这这类问问题的的基本本思路路.有时可可先对对f(x)作适当当变形形，再再求导导.3.复合函函数的的求导导法则则表明明：复复合函函数对对自变变量的的导数数，等等于已已知函函数对对中间间变量量的导导数，，乘以以中间间变量量对自自变量量的导导数.31求解时时要正正确分分析函函数的的复合合过程程，选选好中中间变变量，，尤其其是涉涉及多多个函函数复复合而而成的的函数数，求求导时时首先先要弄弄清它它是几几层复复合关关系，，然后后由外外而内内，逐逐层求求导.必要要时可可通过过换元元，使使复合合关系系更加加明确确、具具体.同时时注意意在求求导后后，要要把中中间变变量换换成自自变量量的函函数.4.求f′′(x0)的值值，，一一般般先先求求f′′(x)，然然后后再再求求当当x=x0时导导函函数数的的值值.有时时也也可可直直接接利利用用导导数数的的定定义义，，转转化化为为求求函函数数在在某某个个点点处处的的极极限限.325.判断断函函数数f(x)在在点点x=x0处是是否否可可导导，，可可转转化化为为判判断断是否否存存在在.若若存存在在，，则则这这个个极极限限值值就就是是f(x)在在x0处的导数数.如果果函数y=f(x)在点x0处可导，，那么函函数f(x)在点x0处连续，，但其逆逆命题不不成立.即若函函数y=f(x)在点x0处连续，，那么f(x)在x0处不一定定可导(例如函函数y=|x|在点x=0处连连续，但但无导数数)，它它可直观观地理解解为连续续函数对对应的曲曲线在点点x0处不一定定有“切切线”.336.求过某个个点M的曲线的的切线方