【课件】4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质及应用-人教A版（2019）选择性必修第二册课件(共28张PPT)

第2课时等差数列前n项和的性质及应用激趣诱思知识点拨等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.激趣诱思知识点拨一、等差数列前n项和的函数特征

激趣诱思知识点拨名师点析(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.激趣诱思知识点拨微练习已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(x)的对称轴是直线x=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.激趣诱思知识点拨二、等差数列前n项和的性质

(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.激趣诱思知识点拨微练习(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5

B.4

C.3

D.2(2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=

.

解析:(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.答案:(1)C

(2)15探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和的性质及其应用例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

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分析:运用等差数列前n项和的性质解决问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)方法一

在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d=

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(2)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为

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探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)5

(2)-110探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?分析:解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测=-(n-13)2+169.故该数列的前13项之和最大,最大值是169.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴S13最大.故当n=13时,Sn有最大值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于

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答案:6探究一探究二探究三素养形成当堂检测求数列{|an|}的前n项和问题

分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤1.确定通项公式an;2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和性质的灵活应用典例项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.分析:由于本题涉及等差数列的奇数项和及偶数项和,因此可以利用与奇、偶数项和有关的性质解题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解法一:设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.探究一探究二探究三素养形成当堂检测∴项数为2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中间项为11,项数为7.方法点睛本题两种解法均使用性质“等差数列项数为2n+1时,S奇-S偶=a中”,从而求得中间项.求项数时,解法一用探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为(

)A.9 B.10 C.11 D.12解析:∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15.又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10.答案:B2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=(

)A.130 B.180 C.210 D.260解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n=

时,前n项和Sn取得最大值,最大值是

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解析:由an+1=an-4,得{an}为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.令an=-4n+36≥0,得n≤9,故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144.答案:8或9

144探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,所以等差数列{an