【课件】第二课时 函数的最大（小）值-(人教A版2019必修第一册)

3.2.1第二课时函数的最大（小）值123利用图象求函数的最值利用单调性求函数的最值二次函数的最值4最值的实际应用教学目标核心素养：借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.函数的最大值与最小值知识梳理

最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)____

Mf(x)____

M∃x0∈I，使得___________结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的________f(x)图象上最低点的________≤f(x0)＝M纵坐标纵坐标≥

总结归纳解

作出f(x)的图象如图：利用图象求函数的最值用图象法求最值的三个步骤总结提升2【练】函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.解析

函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.利用图象求函数的最值【练】函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.

解析根据图象可知，f(x)max＝3.答案3利用图象求函数的最值解析

(1)作出函数f(x)的图象(如图(1)).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.答案1,0利用图象求函数的最值(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(

)A.2 B.1C.－1 D.无最大值解析

在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.答案B图(1)图(2)利用图象求函数的最值【例】求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.解

由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，利用单调性求函数的最值1.利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).总结提升任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.利用单调性求函数的最值【练】函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(－2)，0

B.0，2C.f(－2)，2 D.f(2)，2解析

由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.答案C利用单调性求函数的最值(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).利用单调性求函数的最值微专题1不含参数的二次函数的最值【例】函数f(x)＝x2－4x＋7(0≤x≤6)的最大值为________，最小值为________.解析

∵f(x)＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，∴此二次函数的对称轴为x＝2，∴原函数的最大值为f(6)＝19，最小值为f(2)＝3.答案19，3二次函数的最值微专题2含参数的二次函数的最值【例】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，二次函数的最值(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；二次函数的最值1.含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.总结提升【练】

已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；解

f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.二次函数的最值(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).解

①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，二次函数的最值【练】(多选题)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是(

) A.2 B.3 C.4 D.5

解析

函数y＝x2－4x－4的图象关于x＝2对称，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝－4，

如图，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，

由图可知，m∈[2，4]，所以实数m的取值范围是[2，4]，故选ABC.答案ABC二次函数的最值【练】已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；解

(1)由已知，设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.二次函数的最值【练】在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，

试确定实数m的取值范围.解

由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，化简，得x2－3x＋1－m>0.设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，因为g(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，即－1－m>0，解得：m<－1，即实数m的取值范围是(－∞，－1).二次函数的最值二次函数的最值(2)当a∈(1，6)时，求函数f(x)的最大值M(a).解

因为a∈(1，6)，二次函数的最值二次函数的最值最值的实际应用(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)∴当x＝300时，f(x)max＝25000，当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400<25000.∴当x＝300时

，f(x)max＝25000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元.最值的实际应用对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.总结提升最值的实际应用(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？最值的实际应用最值的实际应用

求函数最值的常用方法与技巧(1)图象法求函数最值.①画出函数y＝f(x)的图象；②观察图象，找出图象的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.(2)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.(3)①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.