【讲座】高中试题中数学抽象素养的考查趋势分析及教学建议

高中试题中数学抽象素养的考查趋势分析及教学建议目录1.数学抽象素养的概念理解及内涵2.高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养3.“数学抽象”立意的高考试题分析4.基于“数学抽象”的教学建议内涵

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。价值

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用中。抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。目标

通过数学抽象核心素养的培养，学生能够更好的理解数学的概念、命题、方法和体系，形成一般性思考问题的习惯；能够在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征。1.数学抽象素养的概念理解及内涵概念：集合、映射、函数、复合函数、函数单调性、函数奇偶性、周期性、指数函数及其性质、对数函数及其性质、三角函数及性质、平面向量、曲线与方程、导函数等。定理如：正弦定理、余弦定理、数学归纳法等知识的应用方面如：线性规划求解最值问题、函数零点、导函数应用等2.高中数学哪些内容隐含或渗透数学抽象素养案例1:复合函数单调性案例分析与评价学生开始对教师讲的不明白，教师答疑后，学生认为明白了.但后来对类似问题，依然没有思路，再次“明白”后，还是不能正确解决同类问题.学生的归因是“忘了”.是真的忘了，还是对函数的单调性、复合函数等知识根本就没有理解，因而不能够有效地把握问题和完整地、正确地解决问题？教师的反思：答疑时，我自认为讲得很清楚，学生受到了一定的启发.但是反思后我发现，自己的讲解并没有很好地针对学生的知识水平，从根本上解决她存在的问题，只是一味地想要她按照某个固定程序去解决这一类问题.学生虽然说明白了,却并不真正理解问题的本质性的东西,如复合函数的意义、复合函数中函数间的相互关系、换元的目的、函数单调性的定义等.由于我没有在她原有的知识水平、经验的基础上帮助建构，引导她注意新知识中的某些关键点，因此她的思维过程无法连续地进行，新旧知识的联系不牢固，表面上看是记忆的问题：“忘了”,其实她还是没有真正理解我所讲解的内容.这恐怕是学校教育中普遍存在的一种现象.3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析【评析】：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.（3）最值问题如何巧妙转化3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析例6【评析】：对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.这里的构造对突出了对数学抽象的考查。3.“数学抽象”立意的高考试题分析3.“数学抽象”立意的高考试题分析直观想象数学抽象数学运算逻辑推理数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学抽象4.基于“数学抽象”教学建议如何将数学核心素养的培养落实在中学数学课堂教学中？本文认为，就数学抽象而言就是：让学生学会“用数学的眼睛看”。数学核心素养是否是学生数学学习的必然产物？答案是否定的！死记硬背作为当下中小学数学学习依然存在的一种方式，其结果能否促使学生形成数学核心素养？不言而喻，采取死记硬背方式，学生对数学内容的理解和把握大多是不正确的，死记硬背、机械训练所形成的数学技能往往是片面、畸形的，相应的数学能力其实很难形成尽管我国基础教育课程改革历时十五年有余，被动接受仍是学生最常见的学习状态。国际上极负盛名的荷兰数学家、数学教育家弗兰登塔尔（H.Freudenthal，1905—1990）的经典观点“与其说学数学，倒不如说学习数学化”，这个观点道出了数学学习的本质。“数学化其实就是从（数学外部的）现实世界到数学内部，从数学内部发展，再到现实世界中（以及应用于其他学科之中）的全过程，数学化的本质在于三个阶段，即现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化”。这恰恰就是我们这边谈到的数学抽象素养。4.基于“数学抽象”教学建议

数学化是学生自己的数学活动，毕竟，无论经验的积淀、基本思想的初步形成，还是数学抽象能力、推理能力、建模能力的培养，都离不开学生的主动参与、独立思考和亲身实践，离不开学生的自我建构。因此，（学生发展所必需的）数学核心素养是学生亲身经历数学化活动之后所积淀和升华的产物，这种产物对学生在数学上的全面、和谐、可持续发展起决定作用。4.基于“数学抽象”教学建议4.1常用数学“微探究”，让数学本质理解更透彻4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体4.基于“数学抽象”教学建议4.1常用数学“微探究”，让数学本质理解更透彻所谓微探究即探究程度轻，范围小、时间短。在探究过程中，教师提供较多帮助，学生相对自主，探究的开放度小；不追求探究过程的完整性，即对某一局部内容从某个角度、在某个环节有所侧重地进行探究，探究的时间一般为几分钟到十几分钟，探究活动可灵活地实施于课堂教学中.4.基于“数学抽象”教学建议4.1常用数学“微探究”，让数学本质理解更透彻学生获取数学核心素养依赖于经验的积累，因此在教学设计中，要抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律，创设合适的情境、提出合适的问题，启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流，在掌握知识技能的同时理解数学的本质、形成和发展数学核心素养。4.基于“数学抽象”教学建议

案例1：导数概念的教学解决问题：导数求解的是瞬时变化率问题；定积分求解的是总量问题。解决思路：导数是“化静为动，动静转换”的辩证转化与否定之否定思想的成功运用；定积分是“化整为零、积零为整”的辩证思想的成功应用。导数概念的引入——百米跑老师：小王的100米成绩是12秒，很快的速度。这里讲的是他跑这100米的平均速度，在他撞线时肯定有速度，我们能否知道他撞线时的速度？学生议论：不知道加速度呀，也不一定是匀加速呀……老师说明：百米赛跑刚起跑加速度大，中间几乎是匀速，冲刺时又可能加速，整个过程不可能是匀加速运动。学生的讨论陷入了僵局。这时老师就处于不能自己讲又不能一味等的两难境地。合理的问题引导才是让学生思维突破的上策。老师引导：速度是路程与时间的比值，我们能不能找一种近似的方法来描述撞线的速度呢？受到启发后，随即有同学举手回答：用最后1秒里跑的路程除以时间，或者是找出最后一段时间里的路程除以时间。(很多同学认可！)老师继续引导：假设第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我们可以用10米/秒来近似地描述他撞线的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度。请同学思考：这种用一段较短时间里的平均速度近似描述撞线速度的办法，怎样描述才会更精确一些呢？学生抢着回答：时间取得越短越精确。另一学生又站起来说：时间越来越小渐渐趋向于0时，平均速度就越来越接近于瞬时速度。同学们喜形于色，议论纷纷。老师继续引导：那平均速度与瞬时速度是不是一回事呀？同学齐答：不是。……案例2：余弦定理4.1常用数学“微探究”，让数学本质理解更透彻

数学家丘成桐曾说过：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”学生只有亲身经历数学化活动，才能真正形成数学核心素养。传统意义上的死记硬背、机械训练，对于积淀和形成数学核心素养并没有多少正面的促进作用，相反地，其负面影响更大。毋庸置疑，“大胆猜测、小心论证”“定性思考、定量把握”作为基础教育阶段典型的数学思维方式，其培养过程必须融入中小学校的日常教学之中。4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

数学是思维学科，数学教学要渗透数学思维。解决数学问题的过程实际上就是思维过程，解题过程就是把所学知识、方法和数学问题联系起来进行分析探索的过程。习题讲评课要把培养学生思维能力作为一个主要任务，通过“变式”教学，使学生能够达到触类旁通，举一反三的效果，教师在课堂教学中要充分发挥“变式”教学的功能，增强学生转化的思想．在“变式”中纠正错误从而发展学生潜能，拓展思维。4.基于“数学抽象”教学建议4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

数学是思维学科，数学教学要渗透数学思维。解决数学问题的过程实际上就是思维过程，解题过程就是把所学知识、方法和数学问题联系起来进行分析探索的过程。习题讲评课要把培养学生思维能力作为一个主要任务，通过“变式”教学，使学生能够达到触类旁通，举一反三的效果，从而发展学生潜能，拓展思维。4.基于“数学抽象”教学建议

4.2多用“变式教学”，让数学思维更加生动

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体数学语言是表达数学思维的科学语言，是反映数量关系和空间形式的语言它是数学知识与文化的载体，是进行数学思维和交流的工具，是数学思想的表现形式.斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出“数学教学也就是数学语言的教学”.

4.基于“数学抽象”教学建议4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体数学解题就是从具体的问题中抽象出数量关系与变化规律，同时能用数学符号表示出来，能理解符号所代表的数量关系以及意义，能进行数学语言之间的相互转译，能选择适当的数学公式、定理、法则并能选择适当的方法来解决数学问题.“译”，即理解与转化，是指正确理解已知条件并加以恰当的转化，让抽象问题更加具体，让复杂问题更加简单，让不可能变成可能，从而达到数学抽象素养的发展。4.基于“数学抽象”教学建议4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体4.3.1“译”数学语言①文字语言向图形、符号语言“转译”，让数学性质更加显著②符号语言向图形语言“转译”，让数学概念更加具体生动③图形语言向符号语言“转译”，让数学表达更加简洁4.2“译”数学知识

①“译”知识之间的联系②“译”知识之间的差异4.基于“数学抽象”教学建议4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

4.基于“数学抽象”教学建议

4.3活用数学语言“译术”，让抽象变得更加具体

“译”题的方式多种多样，本质上就是通过理解题意，