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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线2.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则A.PQ B.QPC.Q D.Q3.若集合,,则=()A. B. C. D.4.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则5.已知集合,集合,则().A. B.C. D.6.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.7.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.8.已知集合,,则等于()A. B. C. D.9.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1110.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.11.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()A.函数在上单调递增 B.函数的周期是C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是112.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.14.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.15.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.16.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前n项和,求.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,为棱的中点,为棱上任意一点,且不与点、点重合..(1)求证:平面平面;(2)是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.19.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.20.(12分)在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:(1)证明:平面平面(2)求平面与平面所成二面角的大小.21.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.求C;若,求,的面积22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;(Ⅱ)已知点设直线与曲线相交于两点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,
故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.2.C【解析】
解:因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此选C3.C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.4.B【解析】
根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.5.A【解析】
算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.6.B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7.B【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.8.A【解析】
进行交集的运算即可.【详解】,1,2,,,,1,.故选:.【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.9.B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.10.D【解析】
由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.11.A【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式;利用整体对应的方式可判断出在上单调递增,正确;关于点对称,错误;根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误;根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得,错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得:当时,在上单调递增在上单调递增,正确;的最小正周期为:不是的周期,错误;当时,,关于点对称,错误;当时,此时没有最大值,错误.本题正确选项:【点睛】本题考查正弦型函数的性质,涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解;关键是能够灵活应用整体对应的方式,通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.12.A【解析】
易得,过B作x轴的垂线,垂足为T,在中,利用即可得到的方程.【详解】由已知,得,过B作x轴的垂线,垂足为T,故,又所以,即,所以双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题,在作双曲线离心率问题时,最关键的是找到的方程或不等式,本题属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.750【解析】因为0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00514.【解析】
由已知得出函数是偶函数,再得出函数的单调性,得出所解不等式的等价的不等式,可得解集.【详解】因为定义在的函数满足,所以函数是偶函数,又当时,,得时,,所以函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增,所以不等式等价于,即或,解得或,所以不等式的解集为:.故答案为:.【点睛】本题考查抽象函数的不等式的求解,关键得出函数的奇偶性,单调性,属于中档题.15.【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.16.【解析】
依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】
(1)设的公差为,的公比为,由基本量法列式求出后可得通项公式;(2)奇数项分一组用裂项相消法求和,偶数项分一组用等比数列求和公式求和.【详解】(1)设的公差为,的公比为,由,.得:,解得,∴,;(2)由,得,为奇数时,,为偶数时,,∴.【点睛】本题考查求等差数列和等比数列的通项公式,考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式,求通项公式采取的是基本量法,即求出公差、公比,由通项公式前项和公式得出相应结论.数列求和问题,对不是等差数列或等比数列的数列求和,需掌握一些特殊方法:错位相减法,裂项相消法,分组(并项)求和法,倒序相加法等等.18.(1)证明见解析(2)存在,为中点【解析】
(1)证明面,即证明平面平面;(2)以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量方法得,解得,所以为中点.【详解】(1)由于为中点,.又,故,所以为直角三角形且,即.又因为面,面面,面面,故面,又面,所以面面.(2)由(1)知面,又四边形为矩形,则两两垂直.以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.则,设,则,设平面的法向量为,则有,令,则,则平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,设平面与平面所成角为,则由题意可得,解得,所以点为中点.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明,考查空间二面角的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.(1);(2),;(3)见解析.【解析】试题分析:(1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将代入(1)中函数解析式可得,即,根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;(3)取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:(1)当时,;当当时,;当当时,,所以与之间的函数解析式为.(2)由(1)可知,当时,,则,结合频率分布直方图可知,∴,(3)由题意可知可取50,150,250,350,450,550,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望20.(1)证明见解析(2)45°【解析】
(1)设的中点为,连接,设的中点为,连接,,从而即为二面角的平面角,,推导出,从而平面,则,即,进而平面,推导四边形为平行四边形,从而,平面,由此即可得证.(2)以B为原点,在平面中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【详解】(1)∵是的中点,∴.设的中点为,连接.设的中点为,连接,.易证:,,∴即为二面角的平面角.∴,而为的中点.易知,∴为等边三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分别为的中点.∴四边形为平行四边形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如图,建立空间直角坐标系,设.则,,,,显然平面的法向量,设平面的法向量为,,,∴,∴.,由图形观察可知,平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.∴平面与平面所成的二面角大小为45°.【点睛】本
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