2022年福建省五校高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.2.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()变量x0123变量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.53.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.4.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.5.设等差数列的前n项和为,若,则()A. B. C.7 D.26.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()A.2 B.5 C.7 D.87.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸8.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.9.已知函数若函数在上零点最多,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.12.已知等差数列的前n项和为,且,则()A.4 B.8 C.16 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,所有项的系数的和为________14.已知等差数列的各项均为正数,,且,若,则________.15.已知全集为R,集合,则___________.16.已知,那么______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求实数的取值范围.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程是为参数),曲线的参数方程是为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程;(2)已知射线与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长.19.(12分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.20.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.21.(12分)已知函数有两个极值点,.(1)求实数的取值范围;(2)证明:.22.(10分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.(1)证明:平面平面;(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题2.A【解析】

计算,代入回归方程可得.【详解】由题意,,∴,解得.故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握性质:线性回归直线一定过中心点.3.D【解析】

根据为等腰三角形,可求出点P的坐标,又由的斜率为可得出关系,即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图,因为为等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以双曲线的渐近线方程为,故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.4.C【解析】

设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.5.B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出,再利用等差数列性质可得,即可求出结果.【详解】因为,所以,所以,所以,故选:B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式,属于基础题.6.B【解析】

求出,,,,,,判断出是一个以周期为6的周期数列,求出即可.【详解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一个以周期为6的周期数列,则.故选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.7.B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.8.B【解析】

由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.9.D【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题,画出函数的图象,易知直线过定点,故与在时的图象必有两个交点,故只需与在时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可,即,当设切点,则,.故选:D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.10.D【解析】

根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.11.B【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.12.A【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

设,令,的值即为所有项的系数之和。【详解】设,令,所有项的系数的和为。【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地,对于,展开式各项系数之和为,注意与“二项式系数之和”区分。14.【解析】

设等差数列的公差为,根据,且,可得,解得,进而得出结论.【详解】设公差为,因为,所以,所以,所以故答案为:【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式,属于基础题.15.【解析】

先化简集合A,再求A∪B得解.【详解】由题得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案为{-1,0,1}【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.【解析】

由已知利用诱导公式可求,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.【详解】(Ⅰ)当时,,,或,或,或所以不等式的解集为;(Ⅱ)因为,又(当时等号成立),依题意,,,有,则,解之得,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值;考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力;属于中档题.18.(1),;(2).【解析】

(1)先把直线和曲线的参数方程化成普通方程,再化成极坐标方程;(2)联立极坐标方程,根据极径的几何意义可得,再由面积可解得极角,从而可得.【详解】(1)直线的参数方程是为参数),消去参数得直角坐标方程为:.转换为极坐标方程为:,即.曲线的参数方程是(为参数),转换为直角坐标方程为:,化为一般式得化为极坐标方程为:.

(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.19.(1)①当时,在上单调递减,在上单调递增;②当时,在上单调递增;(2).【解析】

(1)求出函数的定义域和导函数,,对讨论,得导函数的正负,得原函数的单调性;(2)法一:由得,分别运用导函数得出函数(),的单调性,和其函数的最值,可得,可得的范围;法二:由得,化为令(),研究函数的单调性,可得的取值范围.【详解】(1)的定义域为,,①当时,由得,得,在上单调递减,在上单调递增;②当时,恒成立,在上单调递增;(2)法一:由得,令(),则,在上单调递减,,,即,令,则,在上单调递增,,在上单调递减,所以,即,(*)当时,,(*)式恒成立,即恒成立,满足题意法二:由得,,令(),则,在上单调递减,,,即,当时,由(Ⅰ)知在上单调递增,恒成立,满足题意当时,令,则,所以在上单调递减,又,当时,,,使得,当时,,即,又,,,不满足题意,综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论,不等式恒成立时,求解参数的范围,属于难度题.20.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见解析【解析】

(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可;(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优,从而求出满足条件的概率即可;(Ⅲ)求出满足的成绩有16个,求出满足条件的概率即可.【详解】解:(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件,由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀,所以所求概率约为(Ⅱ)设从图中考核成绩满足的学生中任取2人,至少有一人考核成绩优秀为事件,因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优,所以基本事件空间包含15个基本事件,事件包含9个基本事件,所以(Ⅲ)根据表格中的数据,满足的成绩有16个,所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题考查了茎叶图问题,考查概率求值以及转化思想,是一道常规题.21.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)先求得导函数,根据两个极值点可知有两个不等实根,构造函数,求得;讨论和两种情况,即可确定零点的情况,即可由零点的情况确定的取值范围;(2)根据极值点定义可知,,代入不等式化简变形后可知只需证明;构造函数,并求得,进而判断的单调区间,由题意可知,并设,构造函数,并求得,即可判断在内的单调性和最值,进而可得,即可由函数性质得,进而由单调性证明,即证明,从而证明原不等式成立.【详解】(1)函数则,因为存在两个极值点,,所以有两个不等实根.设,所以.①当时,,所以在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意.②当时,令得,0减极小值增所以,即.又因为,,所以在区间和上各有一个零点,符合题意,综上,实数的取值范围为.(2)证明:由题意知,,所以,.要证明,只需证明,只需证明.因为,,所以.设,则,所以在上是增函数,在上是减函数.因为,不妨设,设,,则,当时,,,所以,所以在上是增函数,所以,所以,即.因为,所以,所以.因为,,且在上是减函数,所以,即,所以原命题成立,得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点,由导数证明不等式,构造函数法的综合应用,极值点偏移证明不等式成立的应用,是高考的常考点和热点,属于难题.22.(1)证明见解析;(2)为线段上靠近点的四等分点,且坐标为【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明平面,再根据面面垂直的判定定理即可证明;(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系,根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,即可计算出的坐标从而位置可确定.【详解】(1)

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