理论力学-09第九章点合成运动

1第九的合成§9–1合成运动的基本概§9–2点的速度合成定§9–4牵连运动为转动时的加速度合成定理2§§9–1一、问题的提在点的运动中，描述点的运动是以地面 vG小车以v1提升Ｍ物体并v 以v2右运动，求Ｍ的速分析物体Ｍ的运动y２）从另一角度角度看G .M∴Ｍ物体的运动是两种简单运动的x3例２：车在匀速前进，轮作纯滚动解：分析Ｍ点的轨迹：旋轮线Gv 其运动方程Gv vtRsinyMRRM MoI从另一角度角度G

xMIOI若求Ｍ点的速a车v向右的直线运动（平动b.Ｍ点绕轴Ｏ1作定轴的匀速转∴Ｍ4①Ｍ点的运动＝Ｍ点相对车直线运动＋车对地的直线运动 y

即：动系x'y'MM 定系：固定坐标

x,M动系运动坐标xMx5 Ｍ点的运动＝Ｍ相对车轴的转动＋车对地Ｍ点的运动＝Ｍ相对动Gv GvoMo oI

小车上固结一坐标系即：动系x'y'固定坐标系x,运动坐x单成 合运。6二、绝对运动、相对运Ｍ点的运动＝Ｍ相对动研究对象： y

两个坐标系xyxy'M 三种速度M 绝对速度：动点相对定系的 M相对速度：动点相对动系的M 7三种速度 绝对速度：动点相对定系的速度相对速度：动点相对动系的速度 牵连速度：动系上与动点相重合点GGGM

∵动系是平∴动系上各点速Ｍ’点是动系 v'MGＭ点的牵连速 三种速度 绝对速度：动点相对定系的速度相对速度：动点相对动系的速度 牵连速度：动系上与动点相重合点K例：M以vr沿OA运动，园盘以匀速转动，分析t时刻Ｍ点牵连速度Gv

MM

KM KK A,

因为：M点在园盘上作直线运动，园盘为动系K M

牵连点M’Gve

ve若动点在Ｍ１

v'eOM9三种加速度 绝对加速度：动点相对定系的加速G 牵连加速度：动系上与动点相重合点强调１）２）牵连点－－－动系上与动点相重合的动点：AB杆上A动点AB杆上A动系固结于凸轮Ｏ'上静系：固结在地面上三种运动分析相对运动

曲线（圆弧牵连运动：直线平动点AB杆上A动系固结于凸轮Ｏ'上静系：固结在地面上三种速度分析va对速度：

或 沿轨迹切G牵连速度： 或G绝对速度

相对速

牵连速度绝对加速度：相对加速度： a a 牵连加速度§9–2点§9–2点的速度合成定t,AB运动 动点Ｍ在上AB以vr在运动。牵连点t',AB'运动;B

MMM'相对轨迹 相对位移：MM2 M

MM G

Gv

MM'MM1M1MMM

MM

1 M M

t0

t

t GAG

MM v,v

G

MM2 t

t

t vrGlimMMvr

limM1M

Gvt0

t

点的速度合成定理vavaveGGGGG GM MGG G

⑵vave与vrG ①已知ve G veva解题步骤确指明动点与动系动点与动系是两个物体，有其相对运动，相对轨迹明显②分析三种运动及相应的三 绝对运动va；相对运动 ；牵连运动：ve③画出速度四边绝对速度一定在四边形的对角线上 例：已知小车以v1提升物体，并以v2向右运物体的速度解：１）确定动点、GvGrGM

xxy２）三种运动、速度分绝对运动 相对运动：垂直向上的直线运动 牵连运动：向右的平动 v ３）点的速度 vev2ev2ev2a

画出速度v2v22[例2]曲柄摆杆机构已知：OA=rOO1=l图示瞬时OAOO1求：摆杆O1B角速度1解：１）确定动点、动动点：套筒A，动系：摆杆 ２）三种 绝对轨迹：园vaOA 相对运动：沿O1B杆的直线运

vr//r2l∵r2l

牵连运动：O1B绕O1的摆ve=?方向３）点的速度合成定 ve 画出速度四r

vevasin veO1A1r2lr2lve

1 r

l圆盘凸轮机[例3]已知：[例3]已知：OC＝eR3e（匀角速度）图示O,A,B三点共线。求：从动杆AB解：１）确定动点、动２）三种运动、速度分析绝对运动：垂直向上的直线运动

静系圆盘凸轮机

牵连运动：园盘绕O点的转动ve=OA=2e,方向３）点的速度合成定 ve 画出速度四连 tg300

3

3e()

GG

解：１）确定动点、 ２）三种运动、速度分析

绝对运动：垂直向上的直线运动，相对运动：套筒M沿OA杆的滑动vr//牵连运OAoxy'杆绕O点的摆动KveOAl/ ３）点的速度合成定

ve ve

画出速度连杆机

ve

cosvvcos2/小结：求解合成运动速度问题的一般步骤选取动点三种运动的分析。（）三种速度的3）根据速度合成GG

作出速度平行四边形根据速度平行恰当地选择动点、动点、动系和静系动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，不能成为合成运。§8-§8- 运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。由于牵连运动为平动vevO ,aeaO由速度合成定vave而vr dx'i'dy'j'dz'k dx'idy'jdz'k dva dvOd2x'i'd2y'j'd2z'k对t求导

dt dt dt(其中i',j',k'为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以di'0,dy'0,dz'0 又∵dvO' a,a

2x'

d2y

j'

d2z'k O

dt dt dtaaae

—牵连运动为平aanaaaanaananaaeerr∴一般式可写为[例1]已知：凸轮半径Ｒ，以v0a0向右运动。求：=60o时,顶杆AB的加速度。GGGGGG２）种速度分a绝对速度： avr牵连运动'y'凸轮向右作平动求解速度

ve３）点的速度合成定r rvv/sin

ve

画出速度

４）加速度分由：aaae 画出加速度矢量图aa=r相对加速度：a =?方向ranv2

v

23 3v 4v3an ( v)2/R 3 牵连加ae=a0,方向n5)n aaa 将上式投影到n上，得n

sinene

cosa

r4vraa(aecos 8v整理

aABaa 3(a0

)R[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同§8-4牵连运动为转动时点的加速度例：圆盘以绕定轴Ｏvr沿槽作圆周运动。

解：１）动点动系２）三种速度分相对运动：点在圆槽内运动求：M点相对于静系的绝加速度

vr G牵连运动：圆盘作定轴Ga 牵连点：M’，a

vea绝对运动：轨迹是圆vaa３）点的速度合成 ve

因为各速度共线所以

veRr

aGraaGraGanKa相对加速度anv2

方向指向圆心r牵连加速:an绝对加速度

2

方向指向圆心 R 即,绝对运动也为匀速圆周运动，所v (Rv2 vaa R2r 2vrR分析上式av2/R, a

还多出一项2vrKa可见：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度aa 等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和动系0′X′Y′Z′绕定系OXYZ的Z轴转动 牵连速度：vee牵连加速度：aeeraeevrxiyjarxiyjvavevrera r eraro

yjreerovrerere(rorr)vreravrvevrv(xiyjzk)(xiyj)rareaaerae(vevr)areeraeveevrareaear2e牵连运动为转定理： akak2GGaaaear科氏加速大小: 2v sin 方向：按右手法则确定 当90时

vr),

2vr当0或180时//G), KKG[例矩形板ABCD以匀角速度绕固定z转动，M1、M2点的速度分别为v1和v2，计算M1、M2点的ak并图示方向。解：１）有向线段G示角速度AGvr3MDBAGvr3MDB vrG4ak

2v1sin，垂直板面向里。∵2

ak2３）Ｍ３，Ｍ４点的科氏加速度点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆B点的速度和加解:１）动点、动系的确定 动点：顶杆上Ava 动系:凸轮 静系:地va ２）三种运动绝对运动直线;va待求方向相对运动曲线;相对速度vr方向n;牵连运动:定轴转动;verOA，３）做出速度 vtgrtg

vrve/cosKKak

４）加速度分析a 绝对加速度 ?,方向//a

相对加速度ar

?方向

vr2/ ,aa 牵连加速aaa a

0

n2r,方向指 O科氏加速动系角速度矢

2 22r/cos 方向n,n由牵连运动为转aaaea an 根据加速度矢量图向n轴投影：aacosaecosar

(2rcos2r2sec2aa(22rsec)/ aB

1rsec32sec2

2曲柄摆杆机

[例4已知：O1A＝rKK 解：ak22

2 Gr

由 vevr做出速度平行四边 vcosrsin( vasinr1cos(21 rsin()sin sin()sin21O2

rcos cos G 2vsin(22)2 2

方向：与ve一．概念及公vave加速度合成G牵连运动为平动时：a

aeaG ( 牵连运动为转动时a

aearak

ak2vr二．解题步选择动点、动系、静分析三种运动作速度分析,画出速度平行四边形,(速度,角速度）(利用矢量投影的方法三．解题技恰当地选择动点.动系和静系,应满足选择原则，具体地两个不相关的动点，求二者的相对速度根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结②运动刚体上有一动点，点作复杂运动该点取为动点，动系固结于