勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结1.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.练习：1.如图所示，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。（1）画出拼成的图形的示意图；（2）利用该图形证明勾股定理。cabcabcabcccccab练习：拼图证明法一：cccc正方形的面积：cabcabcabcababbaabba1个三角形的面积：4个三角形的面积：大正方形的面积：练习：拼图证明法二：cccc正方形的面积：cabcabcabcab1个三角形的面积：4个三角形的面积：小正方形的面积：练习：2.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，那么图中三角形面积之和与四边形ABCD面积之间的关系用式子可表示为__________________________,整理后即为_________________.ABCDEaabbcc1.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边;在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边已知a,b，求c已知a,c，求b已知b,c，求a练习：1.在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.（1）当a=3,b=4时，c=____________；（2）当AB=10,BC=8时，AC=____________.2.如图，直角三角形中未知边x=______,y=______.x1582425y561771.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边;练习：1.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边的长是_______cm.2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长为（）3.已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（）A.4cmB.cmC.6cmD.cm25DC1.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.练习：1.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S1=6，S3=25，则S2=________.S3S2S1ABC19练习：2.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．练习：3.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．4ABCDE1.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（4）求作长度为的线段.练习：1.在数轴上画出表示及的点x01-1-2-3-4-5ABC1练习：1.在数轴上画出表示及的点A01234-1xBC22.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形练习：1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2,则（）边所对的角是直角边所对的角是直角边所对的角是直角D.△ABC不是直角三角形A练习：2.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式：,则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形3.若一个三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，它的第三边长为5，则这个三角形是_________三角形（按角分类填写）C直角3.原命题与逆命题互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.练习：1.下列说法，正确的是（）A.真命题的逆命题是真命题B.原命题是假命题，它的逆命题也是假命题C.定理一定有逆定理D.命题一定有逆命题D练习：2.下列定理，有逆定理的是（）A.对顶角相等B.全等三角形的对应角相等C.两个全等三角形的面积相等D.平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等D练习：3.“如果x=3，那么”的逆命题是_______________________________，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）；“如果两个数互为相反数，那么它们的和为零”的逆命题是_____________________________________________________，该逆命题是_______命题（填“真”或“假”）如果那么x=3假如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数真练习：4.命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”是______命题（填“真”或“假”），它的逆命题是_______________________________________________________该逆命题是________命题（填“真”或“假”）假如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等真4.

勾股数

（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中a，b，c，为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④7，24，25；⑤8，15，17；⑥9,40,41等（3）如果(a，b，c)是勾股数，当t为正整数时，若以at，bt，ct为三角形的三边长，则此三角形必为直角三角形.练习：1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一定是勾股数的是（）2,b2,c2

C.2a,2b,2cD.a-1,b-1,c-12.下列几组数：其中是勾股数的有_________（只填序号）C②5.分类讨论思想25或7解：情形一：当斜边为x时，则两直角边分别为3，4.根据勾股定理解：情形二：当斜边为4时，则两直角边分别为x，3.根据勾股定理5.分类讨论思想ABCD10178解：情形一：5.分类讨论思想解：情形二：DCBA810175.分类讨论思想分类思想:1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜边时，应分类讨论。2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图，避免遗漏另一种情况。6.方程思想例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ABC5米(X+1)米x米6.方程思想例2.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？1尺10尺5尺x尺(x+1)尺解：设水深为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺。∴根据勾股定理得：(x+1)2-x2=52解得：x=12∴x+1=13∴水深为12尺，芦苇的长度为13尺。6.方程思想方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。7.折叠问题例1.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？ABCDE10cm6cmx(10-x)(10-x)解：设CE的长为xcm.∴AE=AC-CE=10-x∴BE=10-x根据勾股定理得：(10-x)2-x2=62解得：x=3.2cm∴CE的长为3.2cm.8.展开思想例1.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长的吧！快点回家，好用它凉衣服。糟糕，太长了，放不进去。

如果电梯的长、宽、高分别是米、米、米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？8.展开思想1.5米1.5米2.2米2.2米ABCBC2=CD2+BD222AB2=AC2+BC22≈9∴AB≈3米ABCD1.5米1.5米DBC8.展开思想2BC例2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？B20322323A203A展开图：8.展开思想例3.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？