高考数学一轮知识点各个击破第七章立体几何课件文新人教A版

高考数学一轮知识点各个击破第七章立体几何课件文新人教A版第七章立体几何[知识能否忆起]一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面

，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都___________棱锥有一个面是

，而其余各面都是有一个____

的三角形棱台棱锥被平行于

的平面所截，

和

之间的部分互相平行平行且相等公共顶点底面截面底面多边形二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形

所在的直线圆锥直角三角形

所在的直线圆台直角梯形

所在的直线球半圆

所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．任一边一条直角边垂直于底边的腰直径四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用

画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面

．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_________

．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴的线段长度在直观图中

．斜二测垂直平行于坐标轴不变变为原来的一半五、三视图［动漫演示更形象,见配套课件］几何体的三视图包括

、

、

，分别是从几何体的

、

、

观察几何体画出的轮廓线．正视图侧视图俯视图正前方正左方正上方超链接

[小题能否全取]1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是 (

)A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是一个圆环．答案：A2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 (

)A．圆柱B．圆锥C．球体

D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C3．下列三种叙述，其中正确的有 (

)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个

B．1个C．2个

D．3个答案：A解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③1.正棱柱与正棱锥

(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”空间几何体的结构特征[例1]

(2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是(

)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]

A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1

图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．

[答案]

D解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．1．(2013·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 (

)A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．答案:

B几何体的三视图[例2]

(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案]

C

三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．

[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的 (

)解析：由俯视图排除B、C；由主视图、侧视图可排除A.答案：D(2)(2012·济南模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为(

)答案：D

几何体的直观图[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]

建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 (

)答案：A

[典例]

(2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 (

)

[尝试解题]还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．

[答案]

B1.因没有区分几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选A、C.

2.因为忽视了B1C被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选D.

3.对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则.1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 (

)解析：由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．答案:

B2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为 (

)解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．答案:

D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是(

)解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十）”答案：

D2．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________．3．(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积2πrlπrlπ(r1＋r2)lShπr2hChSh4πR2[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是 (

)答案：A2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为 (

)A．12π B．36πC．72π D．108π答案：B3.某几何体的俯视图是如图所示的矩

形，正视图是一个底边长为8，高

为5的等腰三角形，侧视图是一个

底边长为6，高为5的等腰三角形，

则该几何体的体积为 (

)A．24 B．80C．64 D．240答案：B

4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：25.某几何体的三视图如图所示，

其中正视图是腰长为2的等腰

三角形，侧视图是半径为1的

半圆，则该几何体的表面积

是________．1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．

2．求体积时应注意的几点：

(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．

3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．

(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．几何体的表面积[自主解答]由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．[答案]

921．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．答案:

D几何体的体积[例2]

(1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为 (

)A．72π

B．48πC．30π D．24π

(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．[自主解答]

(1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．答案：24π1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为 (

)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶8答案：C(2)(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是 (

)答案：B与球有关的几何体的表面积与体积问题[例3]

(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为

(

)[答案]

A1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，②正方体的内切球，则2R＝a；(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 (

)某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.1．对称补形[典例1]

(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (

)[答案]

B[题后悟道]

对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．

[题后悟道]三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．教师备选题（给有能力的学生加餐）1．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为 (

)解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十一）”答案：A2．已知某球半径为R，则该球内接长方体的表面积的最大值是 (

)A．8R2 B．6R2C．4R2 D．2R2答案：A3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的

弧线是半圆)，则该几何体的表面积是

(

)A．20＋3π

B．24＋3πC．20＋4π

D．24＋4π答案：A答案：D5．(2012·上海高考)如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．[知识能否忆起]一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒______l⊂αZ名称图示文字表示符号表示公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒________________α∩β＝l，且P∈l二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类相交一个平行没有没有没有2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相

．平行3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：_______.相等或互补锐角(或直角)超链接[动漫演示更形象，见配套课件]三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面α内____________直线l与平面α相交_____________直线l与平面α平行___________l⊂α无数个l∩α＝A一个l∥α0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行__________两个平面相交_____＝l_____个(这些公共点均在交线l上)α∥β0个无数α∩β[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b (

)A．异面 B．相交C．不可能平行

D．不可能相交解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．答案：C2．(2013·东北三校联考)下列命题正确的个数为(

)①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：①④错误，②③正确．答案：C3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(

)A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案：D4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案：60°5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案：51.三个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．2．异面直线的有关问题

(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．

(2)所成的角的求法：平移法．

平面的基本性质及应用[例1]

(2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点．本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．1．(1)(2013·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是

(

)A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C

(2)①④异面直线的判定[例2]

(2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．[答案]②④1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为 (

)A．1

B．2C．3 D．4解析：①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．答案：B[例3]

(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．异面直线所成角求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．答案：B[典例]

(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面 (

)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[常规解法]设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．[答案]

B(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．[巧思妙解]借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β内；对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.(2012·大连二模)平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是 (

)A．1

B．2C．3 D．4.解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中AD1，AB1，B1C在底面上的射影分别是A1D1，A1B1，B1C1.A1D1⊥A1B1，但AD1不垂直AB1，故①不正确；又AD1⊥B1C，但A1D1∥B1C1，故②也不正确；若m1与n1相交，则m与n还可以异面，③不正确；若m1与n1平行，m与n可以平行，也可以异面，④不正确．

答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·襄阳模拟)关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是 (

)A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M,且l⊥a，l⊥b，则l⊥M解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十二）”解析：同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错．a∥M，b⊥a时，b与M的位置关系不确定，B错；当a∥b时，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故D错误．答案：C2．(2012·蚌埠模拟)如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB＝OC＝3，OA＝4.给出如下判断：①存在点D(O点除外)，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在的点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号填上)．解析：①作OH⊥平面ABC于H并延长至D，使OH＝HD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故①正确；②在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故②正确；

③过O做平面ABC的垂线，在垂线上取四面体OABC右上方外的点D，显然OD⊥平面ABC，故③不正确；④△ABC不是正三角形，以△ABC为底面没有正棱锥．取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BC＝BD＝CD＝3且AD＝5，则四面体是以△BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以④正确．⑤BC垂直于④所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故⑤正确．答案：①②④⑤3．(2012·西安模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．答案：60°[知识能否忆起]

一、直线与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此

的一条直线平行，则直线与此平面平行⇒a∥α平面内a⊄αb⊂αb∥a2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线____

⇒a∥b平行a∥αa⊂βα∩β＝b二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条

与另一个平面平行，则这两个平面平行⇒α∥β相交直线a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面

，那么它们的

平行

⇒a∥b相交交线α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b2．性质定理1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是 (

)A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．[小题能否全取]答案：D2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是 (

)A．0

B．1C．2 D．3解析：对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．答案：A3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 (

)A．l∥α B．l⊥αC．l与α相交且不垂直

D．l∥α或l⊂α解析：由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．答案：D4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案：平行或异面5．(2013·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为____．解析：如图．连接AC，BD交于O点，连结OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行1.平行问题的转化关系：2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．线面平行、面面平行的基本问题[例1]

(2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线 (

)A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．答案：C(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是 (

)A．m∥β且l1∥α

B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.答案：D直线与平面平行的判定与性质[例2]

(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；[自主解答]

(1)证明：法一：连接AB′、AC′，因为点M，N分别是A′B和B′C′的中点，所以点M为AB′的中点．又因为点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二：取A′B′的中点P.连接MP.而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1CD；(2)求证：EF⊥AD1.(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1D.∴AD1⊥B1D.又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.平面与平面平行的判定与性质[例3]如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.

[典例]如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[解]

(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．[题后悟道]

此类问题一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，一般点的情形很少，然后给出符合要求的证明，注意书写格式要规范，一般有两种格式：第一种书写格式：探求出点的位置→证明→符合要求→写出明确答案；第二种书写格式：从结论出发“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法．证明：存在．证明如下：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD.设BD∩AC＝O.连接BF，MF，BM，OE.∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中点，∴MF∥EC，BM∥OE.∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF⊂平面BMF，∴BF∥平面AEC.教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 (

)A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十三）”解析：对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．答案：D2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为

正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点

E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点

M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.3．(2012·蚌埠二中质检)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积．[知识能否忆起]

一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的

直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意一条2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的

都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也

这个平面⇒b⊥α两条相交直线垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥ba∥ba⊥α3．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____⇒a∥b平行a⊥αb⊥α文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直垂线l⊂β

l⊥α

二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于

的直线垂直于另一个平面α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

交线[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则 (

)A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：对于A中可与α平行或相交，不正确．对于B中，可与α垂直或斜交，不正确．对于C中，可与直线l平行或相交，不正确．答案：D

2.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体

ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的

中心，则下列直线中与B1O垂直的

是 (

)A．A1D

B．AA1C．A1D1 D．A1C1解析：易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.答案：D

3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 (

)A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．答案：C

4.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．

答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA

＝2AB.则下列命题正确的有________．①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.

解析：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面PAE相交，

BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．垂直关系的基本问题

[例1]

(2013·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案]①③④解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．1．(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为 (

)A．1

B．2C．3 D．4解析：对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.答案:

D直线与平面垂直的判定与性质(1)证明：PH⊥平面ABCD；(3)证明：EF⊥平面PAB.[自主解答]

(1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．2．(2012·启东模拟)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴△PAM≌△CBM.∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.面面垂直的判定与性质[例3]

(2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[自主解答]

(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1