【学海导航】高考数学第一轮总复习 2.5函数的奇偶性、周期性（第1课时）课件 理 （广西专）

第讲5函数的奇偶性、周期性（第一课时）第二章函数1考点搜索●奇函数、偶函数的概念●周期函数●判断函数的奇偶性的一般方法●函数奇偶性的应用●奇偶性、周期性与单调性在不等式中的运用高2高考猜想函数的奇偶性与周期性是高考常考内容之一.可能单独考查，如判断奇偶性、奇偶性的应用，由解析式求最小正周期，由最小正周期确定解析式中相关字母的值及周期性的应用等，也可能与函数的其他性质综合考查；考试题型可能是客观题和基础题，也可能是难度较大的综合题.3一、奇(偶)函数的定义及图象特征1.若f(x)的定义域

，且f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，则函数f(x)叫做

(或

).2.

奇函数的图象关于

对称，偶函数的图象关于

对称，反之亦然.关于原点对称偶函数奇函数原点y轴4二、奇(偶)函数的性质1.

若f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=

.2.

若f(x)为偶函数，则f(x)=

，反之亦然.0f(|x|)53.

在定义域的公共部分，两奇函数的积(或商)为

函数；两偶函数的积(或商)为

函数；一奇一偶函数的积(或商)为

函数；两奇函数(或两偶函数)的和、差为

函数(或

函数).偶偶奇奇偶6三、函数的周期性1.

如果存在一个非零常数T，使得对于y=f(x)定义域内的每一个x值都有成立，那么y=f(x)叫做周期函数，T叫做y=f(x)的一个周期，nT(n∈Z)均是该函数的周期，我们把周期中的

叫做函数的最小正周期.2.

若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)，其中a＞0，则f(x)的最小正周期为

.最小正数偶f(x+T)=f(x)2a71.若是奇函数，则a=

.解法1：f(-x)=-f(x)故解法2:82.若函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)，则α-θ的值是

.函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)2α-5π+3α=0,93.函数f(x)对于任意实数x满足条件若f(1)=-5,则f［f(5)］=

.由得所以f(5)=f(1)=-5，则10题型一：函函数奇偶性性的判断1.判断下列函函数的奇偶偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2+x(x＜0)x2-x(x＞0);11(4)(5)(6)12(1)得定义域为为［-1，1)，关于原点点不对称，，故f(x)为非奇非偶偶函数.(2)由1-x2＞0|x-2|-2≠0，得x∈(-1，0)∪(0，1).这时，显然，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.13(3)当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x＞0时，-x＜0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).综上，f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(4)由1-x2≥0x2-1≥0x2=1x=±1.此时，f(x)=0，x=±1.所以f(x)既是奇函函数又是是偶函数数.14(5)的定义域域是R.又f(-x)+f(x)所以是是奇奇函数.15(6)因为时时，，1+sinx+cosx=2;时，1+sinx+cosx=0，所以的的定定义域不不对称，，故是是非非奇非偶偶函数.16点评：利用定义义法判断断函数的的奇偶性性的要点点是：①①判断定定义域是是不是关关于原点点对称.若不关于于原点对对称，则则函数是是非奇非非偶函数数；②比比较f(-x)与f(x)是相等还还是相反反关系，，有些函函数有时时须化简简后才可可判断.注意还有有一类函函数既是是奇函数数，也是是偶函数数，如第第(4)小题中的的函数.171819题型二：：利用函函数的奇奇偶性求求函数值值2.已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab≠0)，若f(5)=5，则f(-5)=.由f(x)=ax3+bsinx+2，得f(x)-2=ax3+bsinx为奇函数数，又f(5)-2=3，所以f(-5)-2=-3，即得f(-5)=-1.-120点评：定义域为为R的非奇非非偶函数数f(x)可以表示示为一个个奇函数数g(x)和一个偶偶函数h(x)的和.在已知f(a)=g(a)+h(a)的情况下下，则f(-a)=-g(a)+h(a)，可得出出f(-a)=2h(a)-f(a).21222324题型三：：函数的的奇偶性性质的应应用3.已知定义义域为R的函数是是奇函数数.(1)求a，b的值；(2)若对任意意的t∈R，不等式式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，，求k的取值范范围.25(1)因为f(x)是奇函数数，所以f(0)=0，即所以又由f(1)=-f(-1)，知解得a=2.26(2)由(1)知易知f(x)在(-∞，+∞)上为减函函数.又因为f(x)是奇函数数，所以以f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0等价于f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(k-2t2)，因为f(x)为减函数数，由上上式推得得t2-2t＞k-2t2.即对一切切t∈R有3t2-2t-k＞0恒成立，，从而判别式Δ=4+12k＜0，解得所以k的取值范围为为27点评：若奇函数在x=0处有定义，则则f(0)=0，对定义域上上任一非零自自变量t，都有f(-t)=-f(t)，利用这两个个性质常用来来解决含参奇奇函数问题.28设定义在［-2，2］上的偶函数数f(x)在区间［0，2］上单调递减减，若f(1-m)＜f(m)，求实数m的取值范围.29因为f(x)是偶函数，所所以f(-x)=f(x)=f(|x|)，所以不等式f(1-m)＜f(m)f(|1-m|)＜f(|m|).又当x∈［0，2］时，f(x)是减函数，所以|1-m|＞|m|-2≤1-m≤2-2≤m≤2，解得故实数m的取值范围是是301.判定函数奇偶偶性时，应先先确定函数的的定义域是否否关于原点对对称，再分析析f(-x)与f(x)的关系，必要