【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 8.5直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）课件 理

第八章圆锥曲线方程直线与圆锥曲线的位置关系第讲5（第一课时）1考点搜索●直线与圆锥曲线公共点的个数的判定●弦长公式，中点弦、焦点弦●直线与圆锥曲线的方程及其几何性质高考猜想1.通过直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程.2.根据直线与圆锥曲线的位置关系研究有关性质.21.设直线l的方程为:Ax+By+C=0，圆锥曲线方程为f(x，y)=0.

由

消去x(或y).如消去y后得ax2+bx+c=0(注意：若f(x,y)=0表示椭圆，则方程中a≠0)，为此有：

(1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线____________;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴____________.

平行或重合平行或重合3(2)若a≠0，Δ=b2-4ac.

当Δ>0时，直线与圆锥曲线_______;

当Δ=0时，直线与圆锥曲线_______;

当Δ<0时，直线与圆锥曲线_______.2.直线与双曲线(或抛物线)有且只有一个公共点，是直线与双曲线(或抛物线)相切的____________条件；直线与椭圆有且只有一个公共点，是直线与椭圆相切的______条件.3.设直线与圆锥曲线相交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则相交相切相离必要非充分充要4(1)|P1P2|=⑧___________________.(2)当直线方程写成y=kx+b(k∈R)形式时,其弦长用x1、x2表示为:|P1P2|=___________;用y1、y2表示为：|P1P2|=_____________.(3)若弦过焦点，可用____________来表示弦长，简化运算.焦半径之和54.设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，点M(x0，y0)为弦AB的中点，直线l的斜率为k，则当曲线C为椭圆(a>b>0)时,k=________;当曲线C为双曲线

(a>0，b>0)时，k=________;当曲线C为抛物线y2=2px(p≠0)时，k=____.61.已知双曲线C：过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解：数形结合法，与渐近线平行、与抛物线相切，选D.D72.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是()A.(0，1)B.(0，5)C.［1，5)∪(5，+∞)D.［1，5)解：直线y-kx-1=0恒过点(0，1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以≤1且m＞0，m≠5得m≥1且m≠5.故选C.C83.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=8,O为坐标原点,则△OAB的重心的横坐标为___.解：由题意知抛物线焦点为F(1，0).易知x=1，不满足|AB|=8,所以设过焦点F(1，0)的直线为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线方程代入抛物线方程消去y，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.29因为k2≠0，所以x1x2=1.因为所以k2=1.所以△OAB的重心的横坐标为101.已知知直直线线l的一一个个方方向向向向量量为为(1，tanα)，且且过过点点(-，0)，l交椭椭圆圆x2+9y2=9于A、B两点点，，若若α为l的倾倾斜斜角角，，且且|AB|的长长不不小小于于短短轴轴的的长长，，求求α的取取值值范范围围.解：：依题题意意l的方方程程为为y=tanαα(x+).题型型1圆锥锥曲曲线线的的弦弦长长问问题题11将l的方方程程与与椭椭圆圆的的方方程程联联立立，，消消去去y，得则所以以由|AB|≥≥2，得得所以以所以以α的取取值值范范围围是是12点评：求解关于弦长长问题的主要要步骤是：联联立方程组，，消去一个未未知数，得到到一元二次方方程，然后由由韦达定理将将弦长转化为为方程系数的的式子，便获获得所求问题题的解.本题由于l的方程由tanα给出，所以可可以认定α≠，否则涉及弦弦长计算时，，还应讨论α=时的情况.13设直线l过双曲线的的一个焦点点，交双曲线线于A、B两点，O为坐标原点.若求求|AB|的值.解：不妨设直线AB过右焦点F(2，0)，其斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-2).代入双曲线方方程，得3x2-k2(x-2)2=3，即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则14从而y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2［x1x2-2(x1+x2)+4］=因为即即x1x2+y1y2=0，所以解解得此时Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)>0.15又当AB⊥x轴时,点A(2,3),B(2,-3)不满足足条件件，所以所以162.已知定定点F(1,0),过F作抛物物线E：y2=4x的两条条互相相垂直直的弦弦AB、CD，设AB、CD的中点点分别别为G、H.求证：：直线线GH必过定定点Q(3，0).证明：：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，H(xH，yH)，直线线AB的方程程为y=k(x-1)，①则②.由①-②，得yA+yB=，即yG=.题型2圆锥曲曲线的的中点点弦问问题17代入方方程y=k(x-1)，解解得所以点点G的坐标标为同理可可得点点H的坐标标为(2k2+1，，-2k).故直线线GH的斜率率为所以其其方程程为整理得得y(1-k2)=k(x-3).不论为为何值值，(3，，0)均满满足上上述方方程，，所以，，直线线GH必过定定点Q(3，，0).18点评：：解决与与中点点弦有有关的的问题题，一一般采采用““点差差法””，即即先将将弦端端点的的坐标标代入入圆锥锥曲线线的方方程，，然后后两方方程相相减，，得到到弦中中点的的坐标标及连连线斜斜率的的式子子.同19已知知双双曲曲线线的的方方程程是是2x2-y2=2.(1)求以以A(2,1)为中中点点的的双双曲曲线线的(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解：(1)设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有x1+x2=4,y1+y2=2.20又由由对对称称性性知知x1≠x2，所所所在直线的斜率.由P1、P2在双曲线上,则有2x12-y12=2,2x22-y22=2.两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以所求中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2)，即4x-y-7=0.21(2)可假假定定直直线线l存在在，，同同理理，，求得得l的方方程程为为y-1=2(x-1)，即即2x-y-1=0.联立立方方程程消去去y,得2x2-4x+3=0,然而而方方程程的的判判别别式式Δ=(-4)2-4××2××3=-8<0，无无实实根根，，因此此直直线线l与双双曲曲线线无无交交点点，，这这一一矛矛盾盾说说明了了满满足足条条件件的的直直线线l不存存在在.22如图图,已知知椭椭圆圆与抛抛物物线线(y-m)2=x的公公共共弦AB经过过椭椭圆圆的的右右焦焦点点F，且抛抛物物线线解：由椭圆方程知，点F(1，0).

据题意，直线AB不与x轴垂直，从而可设直线AB的方程为y=k(x-1)，题型型圆锥锥曲曲线线的的焦焦点点弦弦问问题题23代入入整整理理得得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.设点点A(x1,y1),B(x2,y2),则因为AB是椭圆圆的焦焦点弦弦，所所以又AB是抛物物线的的焦点点弦，，所以24从而有有所以于于是得k2=6，所以以因为抛抛物线线的焦焦点在在直线线AB上，所以251.在解析析几何何中，，直线线与圆圆锥曲曲线的的位置置关系系可以以转化化为二二元二二次方方程组组的解解的问问题进进行讨讨论，，但直直线与与曲线线只有有一个个交点点时须须除去去如下下两种种情况况，此此直线线才是是曲线线的切切线：：一是是直线线与抛抛物线线的对对称轴轴平行行；二二是直直线与与双曲曲线的的渐近近线平平行.2.斜率为为k的直线线被圆圆锥曲曲线截截得弦弦AB，若A、