高考冲刺模拟冲刺（十三）

2016高考模拟试卷（13）1、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D答案解析：∵z==，∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．考点：复数代数形式的四则运算难度：容易2.若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]答案：A答案解析：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选A.考点：集合的基本运算难度：容易3.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之比为（）A．1：1 B．2：1 C．2：3 D．3：2答案：A答案解析：由题意可知，P在主视图中的射影是在C1D1上，AB在主视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是正方体的棱长；P在左视图中，的射影是在B1C1上，在左视图中AC在平面BCC1B1三度射影是BC，P的射影到BC的距离是正方体的棱长，所以三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为：：=1：1，故选：A.考点：空间几何体的三视图和直观图难度：容易4.已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（）A．150° B．135° C．120° D．不存在答案：A答案解析：曲线y=，表示的图形是以原点为圆心半径为的上半个圆，过定点P（2，0）的直线l设为：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1．∴1=，解得k=，∵k＜0．∴k=，∴直线的倾斜角为150°．故选：A．考点：直线与圆的位置关系难度：中等5.已知实数x，y满足，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为（）A．4 B．3 C．2 D．﹣答案：C答案解析： 作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（4﹣m，m），此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故选：C．考点：简单的线性规划难度：中等6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，B=45°，cosA=，则b等于（）A． B．C．D．答案：C答案解析：∵cosA=，A∈（0°，180°）．∴=，cosC=﹣cos（A+B）=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）=﹣=．∴sinC==．由正弦定理可得：，∴==．故选：C．考点：解三角形难度：中等7.以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．2或 B．2或 C． D．2答案：B答案解析：∵以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，∴或，当时，b=，c2=a2+3a2=4a2，c=2a，此时e==2，当时，b=a，，c=，此时e=．故选：B．考点：双曲线的离心率难度：中等8.如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案：B答案解析：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当|x|≤1时，x=x3，解得x=0，或x=±1，当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．故满足条件的x值共有3个．故选：B．考点：算法与程序框图难度：中等9.给出下列命题：①若（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=32②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件③已知sin（θ﹣）=，则cos（﹣2θ）=．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B答案解析：①（1﹣x）5展开式的通项为Tr+1=（﹣1）rC5rxr∴展开式的偶次项系数为正，奇次项系数为负∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3+a5）令x=﹣1得25=a0+a2+a4﹣（a1+a3+a5），即32=a0+a2+a4﹣（a1+a3+a5）令x=0得a0=1，∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=31，故①正错误；②因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，所以结论不成立；③因为sin（θ﹣）=，所以cos（﹣2θ）=1﹣2sin2（θ﹣）=，正确．故选：B．考点：命题及其关系难度：中等10.如图：M（xM，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A． B． C． D．答案：C答案解析：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合，故选：C．考点：函数函数的性质函数的表示法难度：中等11.设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an﹣A|＜ɛ成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：①{（﹣1）n×2}；②{+++…+}；③{1++++…+}；④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，其极限为2共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：D答案解析：①数列{（﹣1）n×2}是摆动数列，不存在极限；②+++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），数列{an}的极限为；③{1++++…+}的极限为=2；④Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…①，2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1…②，∴①﹣②得﹣Sn=21+22+23+…+2n﹣n•2n+1∴﹣Sn=2n+1﹣2﹣n×2n+1∴Sn=（n﹣1）2n+1+2，∴数列{an}的极限不存在．故选：D．考点：极限数列求和难度：中等12.设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A． B． C． D．1答案：D答案解析： 函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由kMN=，解得a=．故选：A．考点：导数的几何意义难度：中等13.a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a没有放入A中的概率是_________.答案：答案解析：由题意可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，∴所求概率P=1﹣=，故答案为：．考点：古典概型难度：简单14.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为_______.答案：4π答案解析：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12=4π．故答案为：4π．考点：球的表面积及计算公式难度：简单15.已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，=3，若P是BC边上的动点，则•的取值范围是_________.答案：[﹣，]答案解析：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°∴AB=，∠ABC=30°，求出=×4×（﹣）=﹣8，∵=3，∴=，=，0≤λ≤1∵•=（+）=2+λ2+3×∴•=﹣8λ+12λ×（﹣8）=4，0≤λ≤1根据单调性得出：•的取值范围，故答案为：[﹣，]。考点：平面向量的数量积难度：中等16.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为.答案：（﹣1，0）∪（0，+∞）答案解析：若a=0时，x≤0，f（x）=0，令t=f（x），f（f（x））=0即为f（t）=0，则有无数个解，不成立；若a＞0，则x≤0，f（x）=＜0，方程f（f（x））=0即为f（t）=0，即有f（1）=0，t=1，f（x）=1，解得x=10，成立；若a＜0，则x≤0，f（x）=∈（0，﹣a]，方程f（f（x））=0即为f（t）=0，即有f（1）=0，由于关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，即f（x）=1只有一解，则有﹣a＜1，即为a＞﹣1，则有﹣1＜a＜0．综上可得，a＞0或﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）考点：分段函数难度：较难17.已知等差数列的前项和为，，，正项数列满足．求数列，的通项公式；若对均成立，求实数的取值范围．答案：（1）. （2）.答案解析：（1）等差数列，，，，故，得，,满足通项公式，故（Ⅱ）设恒成立恒成立，设当时，，单调递减，，故..考点：数列的综合应用等差数列难度：中等18.某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩服从正态分布（满分为分），已知，，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间，，各有一位同学的概率；记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．答案：（1） （2）随机变量的分布列是0123（人）.答案解析：（Ⅰ），，所以所求概率；（Ⅱ），所以服从二项分别，，，，，所以随机变量的分布列是0123（人）.考点：离散型随机变量二项分布及其应用难度：中等19.如图，是圆的直径，、是圆上两点，，圆所在的平面，．求证：平面；若与平面所成角的正弦值为时，求的值．答案：（１）（Ⅰ）作于,连接,∥…①是圆的直径，，,,,,∥…②，由①②，且,平面∥平面,平面,平面∥平面（２）答案解析：（Ⅰ）作于,连接,∥…①是圆的直径，，,,,,∥…②，由①②，且,平面∥平面,平面,平面∥平面（Ⅱ）依题意，如图以A为原点，直线AB，AP分别为x,z轴建立空间坐标系，设设面的法向量为，设与平面所成角为设，， 考点：直线与平面平行、垂直的判定与性质直线与平面所成的角难度：中等20.已知圆经过椭圆（）的左、右焦点、，且与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．直线交椭圆于，两点，且（）．求椭圆的方程；当三角形的面积取到最大值时，求直线的方程．答案：（１）（２）答案解析：如图圆经过椭圆的左右焦点,三点共线,为圆的直径,,,,，解得，椭圆的方程，（Ⅱ）点的坐标，所以直线的斜率为，故设直线的方程为，设，………8分点到直线的距离………10分当且仅当，即，直线的方程为考点：直线与圆锥曲线难度：较难21.已知函数（）．当时，求的极值；若，存在两个极值点，，试比较与的大小；求证：（，）．答案：（１）递减，递增（２）（３）当时，恒成立，即恒成立设，即，.答案解析：(1)，定义域，，递减，递增故，没有极大值.（Ⅱ），，，，，设，当时，，当时，，在上递减，，即恒成立综上述（Ⅲ）当时，恒成立，即恒成立设，即，考点：导数的应用难度：较难22.选修4-1：几何证明选讲如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于，两点，，，的角平分线与和圆分别交于点和．求证：；求的值．答案：(1)∵为圆的切线,又为公共角,（２）360答案解析：（Ⅰ）∵为圆的切线,又为公共角,（2）∵为圆的切线,是过点的割线,又∵又由（Ⅰ）知,连接,则，