点到直线的距离公式两条平行直线间的距离

点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课标要求素养要求1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.新知探究在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？问题点P到直线的距离是指哪个线段的长度？提示点P到直线的距离是过P作直线的垂线，垂线段的长度即为点到直线的距离.1.点到直线的距离运用点到直线的距离公式时，一定要将直线方程化为一般式方程(1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立.2.两条平行直线间的距离运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).拓展深化[微判断]1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)提示点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式.2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(√)3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(√)[微训练]1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为() \r(3) \r(5)解析d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).答案D2.两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于()\f(5\r(2),2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(2)解析d＝eq\f(|2－（－3）|,\r(12＋12))＝eq\f(5\r(2),2).答案A[微思考]1.若点P(x0，y0)到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？提示d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.2.两条平行直线间的距离公式写成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时对两条直线应有什么要求？提示两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.题型一点到直线的距离【例1】求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.解法一由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为eq\f(y－2,－1－2)＝eq\f(x－1,3－1)，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意.故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝k＋b，,\f(|2k－3＋b|,\r(k2＋1))＝\f(|4k＋5＋b|,\r(k2＋1))，))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,k＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,3k＋b＋1＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,2)，,b＝\f(7,2).))所以所求直线l的方程为：y＝－4x＋6或y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(7,2)，即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.规律方法求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.【训练1】已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()\r(2) －eq\r(2)\r(2)－1 \r(2)＋1解析由点到直线的距离公式得：eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq\r(2).∵a>0，∴a＝eq\r(2)－1.故选C.答案C题型二两平行线间的距离【例2】(1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离；(2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.解(1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋eq\f(5,2)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq\f(\f(3,2),\r(34))＝eq\f(3\r(34),68).(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).由直线l与两条平行线的距离相等，得eq\f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq\f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.规律方法求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0且C1≠C2)，则d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必须注意两直线方程中x，y的系数分别对应相等.【训练2】(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.解(1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，由两平行直线间的距离公式，得2＝eq\f(|C－6|,\r(52＋（－12）2))，解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.(2)依题意得，两直线的斜率都存在，设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因为l1与l2的距离为5，所以eq\f(|－k－5|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝0或eq\f(5,12).所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.题型三利用距离公式解决最值问题【例3】两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的取值范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程.解(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝eq\r(（6＋3）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(10)；当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤3eq\r(10)，即所求的d的取值范围是(0，3eq\r(10)].(2)当d取最大值3eq\r(10)时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(2－（－1）,6－（－3）))＝－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.规律方法通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.【训练3】(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；(2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程.解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在的直线方程为y＝x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))∴点P的坐标为(2，2).(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.2.对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离.(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根.特别提醒在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式.3.对两条平行直线间的距离的两点说明(1)可以转化为一条直线上的点到另一条直线的距离.这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)).二、素养训练1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为() B.－1\r(2) D.±eq\r(2)解析由题意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).答案D2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()\f(7,5) \f(7,15)\f(4,15) \f(2,3)解析l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝eq\f(|－6＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(4,15).答案C3.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A.(7，＋∞) B.(－∞，－3)C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7)解析由题意得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－6<－15，即a>7或a<－3.答案C4.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.解析∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，∴eq\f(|－3－2a＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－1＋4a＋1|,\r(a2＋1))，化为|2a＋2|＝|4a|.∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－eq\f(1,3).答案1或－eq\f(1,3)5.已知直线l到直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.解析由题意设直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－1)，则eq\f(|3－C|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|C＋1|,\r(22＋（－1）2))，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝0基础达标一、选择题1.点(2，5)到直线y＝2x的距离为()\f(\r(5),5) \f(2\r(5),5)\f(3\r(5),5) \r(5)解析直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得eq\f(|2×2－5|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).答案A2.直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为()－y－13＝0 －y＋13＝0＋y－13＝0 ＋y＋13＝0解析由题意知直线l与AB垂直，且过A点，∴kl·kAB＝－1，又∵kAB＝eq\f(4－2,3＋3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3，∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.答案C3.两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是()<d≤3 <d≤5<d<4 ≤d≤5解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0<d≤5.答案B4.(多选题)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq\f(\r(5),5)的直线方程可以为()＋y＝0 ＋y－2＝0＋y－2＝0 ＋y＋2＝0解析根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1)，因为两直线间的距离等于eq\f(\r(5),5)，所以d＝eq\f(|C－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得C＝0或C＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.答案AD5.点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为()，－3 ，2，1 ，1解析直线ax＋(a－1)y＋3＝0恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为|AP|＝5，此时因为kAP＝0，故直线ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，所以a＝1.故选C.答案C二、填空题6.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.解析由x2＋y2的实际意义可知，它表示直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2＋y2)min＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|1×0＋1×0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.答案87.经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________.解析(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.由原点到直线l的距离d＝eq\f(|3k＋4|,\r(k2＋（－1）2))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).所以直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.答案x＝－3或7x＋24y－75＝08.在坐标平面内，与点(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有________条.解析由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，两式联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,k＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(5,3)，,k＝－\f(4,3).))故所求直线共有两条.答案2三、解答题9.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.解设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形面积公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)·eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，∴b＝±3.又b>1，∴b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵点A(5，0)到l的距离为3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝eq\f(1,2)，∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以交点P的坐标为(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).能力提升11.已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为() 解析设点C(t，t2).由题意知直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2eq\r(2).由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，即h＝eq\r(2).由点到直线的距离公式，得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.答案A12.已知实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，求式子S＝eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值.解法一∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即