《增长速度的比较》设计

《增长速度的比较》教学设计【教学目标】1.理解平均变化率的概念并掌握平均变化率的计算．2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．【教学重点】理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．【教学难点】会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．平均变化率⑴定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).⑵实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.⑶理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加eq\f(Δf,Δx)个单位．⑷应用：比较函数值变化的快慢．思考：对于函数f(x)=x+1,g(x)=4x-3,当Δx足够大时,对于x∈R,f(+Δx),g(+Δx)的大小关系能确定吗?[提示]提示:当Δx足够大时,f(+Δx)<g(+Δx)2．几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．小试牛刀1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2020xB．y＝x2020C．y＝log2020xD．y＝2020xA解析：比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.]2.函数f(x)＝eq\r(x)从0到2的平均变化率为()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．0 D．2A解析：由题意可知，函数f(x)＝eq\r(x)从0到2的平均变化率为eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(\r(2),2)，故选A.3.若x∈(0,1)，则下列结论正确的是()A．2x＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞lgxB．2x＞lgx＞xeq\s\up20(\f(1,2))C．xeq\s\up20(\f(1,2))＞2x＞lgxD．lgx＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞2xA解析：结合y＝2x，y＝xeq\s\up20(\f(1,2))及y＝lgx的图像易知当x∈(0,1)时，2x＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞lgx．4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法:①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min以后温度保持匀速增加;④5min以后温度保持不变.其中正确的说法是________.(填序号)

②④解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量,则y相应的增量越来越小,而5min后是y关于t的增量保持为0,则②④正确.例题讲解平均变化率【例1】(1)在x＝1附近，取Δx＝，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均变化率最大的是()A．④ B．③C．② D．①(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为eq\o(v,\s\up10(－))1，eq\o(v,\s\up10(－))2，eq\o(v,\s\up10(－))3，则三者的大小关系为________．【解析】(1)Δx＝时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.(2)eq\o(v,\s\up10(－))1＝eq\f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，eq\o(v,\s\up10(－))2＝eq\f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB，eq\o(v,\s\up10(－))3＝eq\f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，又因为kBC＞kAB＞kOA，所以eq\o(v,\s\up10(－))3＞eq\o(v,\s\up10(－))2＞eq\o(v,\s\up10(－))1.【答案】(1)B(2)eq\o(v,\s\up10(－))3＞eq\o(v,\s\up10(－))2＞eq\o(v,\s\up10(－))1方法点拨求平均变化率的主要步骤(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).当堂练习1已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立的Δx的取值范围．解f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝Δx＋2>2.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx>3－1＝2时，f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立，所以满足条件的Δx的取值范围为(2，＋∞)．函数模型增长的差异【例2】(1)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)⑵甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．[思路点拨](1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断．(2)根据不同函数模型的增长特点来判断．⑴B(2)③④⑤解析：(1)由函数性质可知，在区间(4，＋∞)，指数函数g(x)＝2x增长最快，对数函数h(x)＝log2x增长最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．⑵由，所以①错误.所以②错误.当时，，当时，最小，则③正确.由指、对、幂型函数增长趋势可知④⑤正确.故选③④⑤方法方法总结：三种函数模型的表达式及其增长特点1指数函数模型：表达式为fx＝abx＋ca，b，c为常数，a>0，b>0且b≠1，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b<1时，函数值由快到慢地减小.2对数函数模型：表达式为fx＝mlogax＋nm，n，a为常数，m>0，a>0且a≠1，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减小，变化得越来越慢.3幂函数模型：表达式为fx＝axα＋ba，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.当堂练习2四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232102432768×106×107×109y32102030405060y42关于x呈指数函数变化的变量是________．y2解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．]三类函数图像的比较【例3】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．[思路点拨]首先判断x1、x2的范围，再判断6和2020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2020)与g(2020)的大小．最后四个值进行排序．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2020＞x2.从图像上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2020)＞g(2020)．又∵g(2020)＞g(6)，∴f(2020)＞g(2020)＞g(6)＞f(6)．方法总结由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长速度不变的是一次函数．当堂练习3函数f(x)＝lgx，g(x)＝－1的图像如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．课堂小结1．平均变化率我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理