必修三 第10章第3讲变量间的相关关系 讲义及达标题

x－nxi=12x－nxi=12第10讲变间的相关关系、统计案例．变量间的相关关常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．．两个变量的线性关从点上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．n^^^^ii^^回归方程为y＝bx＋a，其＝，＝bx．nx－nii=1通过求Q＝∑(y－－的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使样本ii数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．相关系数：当r时表两个变量正相关；当r时表两个变量负相关．r的对值越接近于1表明两个变量的线性相关性越强绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系r大时两变量有很强的线性相关性．[做一做．有关线性回归的说法，不正确的()．具有相关关系的两个变量是非确定关系．散点图能直观地反映数据的相关程度．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强答案：D．(2015·山西省第三次四校联考已知、的值下表所示，从散点图分析y与线^相关，且y＝0.83＋，则a＝()

0.9

1.9

3.2

4.4B0.94C．1.2D．2b^^2b^^^解析x

0.91.94.42y4(x)0.83×．辨明三个易误点易淆关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系函关系是种因果关系而相关关系不一定是因果关系也可能是伴随关系．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必(x)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测期望值．．求线性回归直线程的方法^^^求解回归方程关键是确定回归系ab因求解的式计算量太大，般题目中给出相关n的量，如x∑x∑xy等便直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心xiii

^y)即有＝ba可确定a.[做一做考点一__关关系的判断_(1)在一组样本数(x，)，y)，…(x，)(≥2x，，不相)12n2n的散点图中，若所有样本(x，yi，2…)都在直线y＝x＋1上则这组样本数据ii的样本相关系数)A－1B．0D．高考湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变，之的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：^①y与负关y＝x－；y与负相关且y＝x＋；^③y与正关y＝x＋；y与正相关且y＝x－其中一定不正确的结论的序号()A①②

B②③

C．④D．①④[解析1.yb>0①④－－^i－－－^i－^－[答案(2)D[规律方法]河北石家庄市质量检测设(x，y)y)，…(x，是变量和y12nn的个本点，直线l是这些样本点通过小二乘法得到的线性回归方如图)，以下结论中正确的)A和正关

B．和的关系数为直线l的斜率．xy的关系数在－到之．当为偶数时，分布在l两的样本点的个数一定相同解析C.xy1考点二__性回归方程及其应(频考点______线性回归问题是高考中的热点问题，考查形式可以是小题，也可以是解答题．高考中对线性回归问题的考查主要有以下两个命题角度：求回归直线方程；利用回归方程进行预测．(2014·高考课标全国卷某地区年年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元的数据如下表：年份年份代号t人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9求y关t的性回归方程；利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年村居民家庭人均纯收入．∑(t－)(y)附归直线的斜率和截距的最二乘估计公式分别为∑(t－t

,a=－bt77ii7^^^^iin^nnbt77ii7^^^^iin^nn^^^^^^－1[解](1)t367)41y(2.94.45.25.9)i=1i=1

(t－t)=9+4+1+0+1+4+9=28i(t－t－)(×((2)×1)(×(0××2×9×^

i=1

(t－t)(y－)ii7(t－t)ii=1

05yt3542305t^(1)b

0.5>020072015t(y×2.3[规律方法]nxxyxi=1i

i＝i

(x－x)(y－)iin(－)ii=1

=

ii=1

x－nxyiix－nxi

ab高考湖北卷根据如下样本数据x46

y4.02.5

－0.50.5

－2.0

－3.0^得到的回归方程＝bx＋a则^^^^^^^^^^^Aa0，＞0Ba＞0＜0Ca＜0b＞D．a，b石家庄市第一模)登山族为了了解某山高与温x℃之间的关系，随机统计了山高与相应的气温，并制作了对照表：气温(℃)山高(

－1^^由表中数据到性回归方程＝－x＋a(aR)由此估计山高为72(km)气温的度数为()A－B．－8C．6D－4解析：(1)B.bxaxy00.x40(40)4020a60y272(km)C.达标训练题．(2015泸州模)为研究变量x和的线性相关性，甲、乙二人分别做了研究，利用回归分析的方法得到回归直线l和l，人计算得相同，y也同，则下列结论正确的是12()A．l与l重合1

Bl与l一平行1C．l与l相于(x，y)D无法判断l和l是否相交1解析：C(，y)(，y)

yab^(2015·大连市双基测试)于下列表格所示的五个散点已知求的线性回归直线方程y＝08－155x1961972002032045^^i335^^i33×1y2x(y)y10iy6m则实数的为)A8B．2．8D．81解析：A(196197200204)200(167)17m08×2001558A(2015·郑州市第二次量预)某工厂为了对新研发的种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x()销量y()

^由表中数据求得线性回归方程＝－4x＋若这些样本点中任取一点则在回归直线左下方的概率()1AB．．D．23解析：B5y＝4xayx((5(6(780)(868)684<4×58668<×9(568)210(2015·山东东营模)已知变量与间的回归直线方程为＝－3＋x若∑＝17则i10∑y的等于()iiA．3B4．．4D．40解析：B^04i1(2015·山东济南市模考)为了均衡教育资源，加大偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x单位：万元和年教育支出(位：万)，调查显示年收入与^教育支出y具线性相关关系调查数据得到对x的归直线方程＋0回归直线方程可知，家庭年收入每增加万，年教育支出平均增________万元．^^000001210110^^000001210110100iin解析：0x1)(0x2)0答案：0．答案：^^^．已知数组x，y(x，y，…，)足线性回归方程y＝bx＋，则“(x，满足12100^^线性回归方＝bx“＝(x＋＋…＋x)＝y＋＋＋)”_______0110010110条件填“充分不必要”“必要不充分”或“充要)．解析：10xxyyyx^

(x(xy)(x)“(x

y0

^^^)yx”“x…y…y”答案：要不充分．(2015·贵阳市适应性考)一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5数学成绩x分物理成绩y分

要从名学生中选人参加一项活动求中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；根据上表数据变量与x相关系数和散点图说明物理成绩y数学成绩x之线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的性回归方程(系数精确到．；如果不具有线性相关关系，说明理由．参考公式：相关系数r＝

n(x－x－yiii=1nn(－)y－)i=1i

)^^^回归直线的方程是：＝＋，中b＝

i=1

－x)(y－y)iin(－x)ii=1

^，a－；2i251453342i25145334^^^^^^^y是与对应的回归估计值．ii参考数据：55x＝93＝90－)＝，i=1i

(y－