【优化方案】高考数学总复习 第3章§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数精品课件 理 北师大

§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．角的概念(1)角的分类角按旋转方向不同可分为_______、______、______．(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．正角负角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角及终边落在坐标轴上的角终边位置集合表示第一象限第二象限______________________________________________第三象限第四象限_______________________________________________终边位置集合表示x轴正半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}负半轴_________________y轴正半轴负半轴________________________________________坐标轴{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}思考感悟1．如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合？3．角度制与弧度制的互化360°＝____，180°＝___，1°＝_____rad，1rad＝()°≈57.3°＝57°18′.4．弧长及扇形面积公式弧长公式：l＝|α|·r，扇形面积公式：S＝_____________，其中l为扇形弧长，α为圆心角的弧度数，r为扇形半径．2ππ5．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(x，y)____叫作α的正弦函数，记作sinα_____叫作α的余弦函数，记作cosα______叫作α的正切函数，记作tanα(α≠＋kπ，k∈Z)三角函数正弦函数余弦函数正切函数各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值终边相同角的三角函数值(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝_____cos(α＋k·2π)＝cosαtan(α＋2kπ)＝_____sinαtanα思考感悟2．根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：根据三角函数的定义，y＝sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，y＝cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，y＝tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同．6．三角函函数线图中有向向线段MP、OM、AT分别表示示_______、________、_______．正弦线余弦线正切线1．(2011年蚌埠质检)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是()A．第一或第三三象限角B．第一或第二二象限角C．第二或第四四象限角D．第三或第四四象限角答案：A课前热身答案：D3．若sinα<0且tanα>0，则α是()A．第一象限角角B．第二象限角角C．第三象限角角D．第四象限角角答案：C答案：第二象象限考点探究•挑战高考考点突破考点一角的集合表示1．相等的角终终边一定相同同，但终边相相同的角却不不一定相等，，终边相同的的角有无数个个，它们之间间相差360°的整数倍．α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三象限角第二或第四象限角第二或第四象限角(2011年亳州质检)如图所示，点点A在半径为1且圆心在原点点的圆上，且且∠AOx＝45°.点P从点A出发，依逆时时针方向等速速地沿单位圆圆周旋转．已已知P在1秒钟内转过的的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三三象限，经过过14秒钟后又回到到出发点A，求θ.例1【思路点拨】先把实际语言言转化为数学学语言，即14秒钟后P在角14θ＋45°的终边上，由由此可得到等等量关系，再再注意到θ角的范围便可可确定θ的值．【名师点评】解答这类问题题，关键在于于抓住终边相相同的角的一一般表示，即即与角α终边相同的角角的一般形式式为β＝α＋k·360°(k∈Z)．另外，对于于角的概念，，还要注意区区分几个易混混淆的概念：：(1)正角、负角是是以射线绕端端点的旋转方方向定义的，，零角是射线线没有做任何何旋转；其顶顶点都在原点点，始边为x轴的正半轴，，所不同的是是终边的旋转转方向不同．．一个角是第第几象限角，，关键是看这这个角的终边边落在第几象象限；(2)“小于90°的角”“锐角”“第一象限角”的根本区别在在于其范围的的不同，它们们的范围分别别是：“α<90°”““0°<α<90°”““k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)”．任意角三角函函数的定义是是锐角三角函函数定义的推推广，利用任任意角三角函函数的定义可可以解决与30°，45°，60°等特殊角相关关的三角函数数求值问题，，如计算sin150°，cos135°，tan120°等．已知角α终边上一点的的坐标，也可可计算角α的三角函数值值等．考点二三角函数的定义【思路点拨】先根据三角函函数的定义求求出x的值，再求sinα，tanα的值．例2【名师点评】(1)在利用三角函函数的定义求求角α的三角函数值值时，若角α的终边上点的的坐标是以参参数的形式给给出的，则要要根据问题的的实际及解题题的需要对参参数进行分类类讨论．(2)任意角的三角角函数值仅与与角α的终边位置有有关，而与角角α终边上点P的位置无关．．若角α已经给出，则则无论点P选择在α终边上的什么么位置(原点除外)，角α的三角函数值值都是确定的的．1．熟记各个三三角函数在每每个象限内的的符号是关键键．2．判断三角函函数值的符号号就是要判断断角所在的象象限．3．对于已知三三角函数式的的符号判断角角所在象限，，可先根据三三角函数式的的符号确定三三角函数值的的符号，再判判断角所在象象限．考点三三角函数值符号的判定例3这类问题主要要是利用周长长和面积公式式，找出扇形形半径、圆心心角、周长和和面积的联系系，建立函数数关系式．已知一扇形的的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧弧长l；(2)若扇形周长为为20cm，当圆心角α为多少弧度度时，这个个扇形的面面积最大？？考点四弧度制的应用例4【思路点拨】利用弧度制制下扇形弧弧长及面积积公式．【名师点评】解决此类问问题时，用用弧度制下下的扇形弧弧长、面积积公式比较较简单，但但一定要注注意将角度度化为弧度度．第(2)问中的最值值问题一般般是转化为为函数最值值问题或是是利用均值值不等式求求解．变式训练2已知一扇形形的圆心角角是α，所在圆的的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的的弧长及该该弧所在的的弓形面积积；(2)若扇形的周周长是一定定值c(c>0)，当α为多少弧度度时，该扇扇形有最大大面积？方法技巧1．在利用三三角函数定定义时，点点P可取终边上上任一点，，如有可能能则取终边边与单位圆圆的交点．．|OP|＝r一定是正值值．(如例2)2．要熟悉角角的弧度制制与角度制制间的换算算关系．给给定一个角角，要准确确判断它所所在的象限限或区域．．熟记一些些常见角的的集合．(如课前热身身5)方法感悟1．注意易混混概念的区区别：第一一象限角、、锐角、小小于90°的角是概念念不同的三三类角．第第一类是象象限角，第第二、第三三类是区间间角．2．角度制与与弧度制可可利用180°＝πrad进行互化，，在同一个个式子中，，采用的度度量制度必必须一致，，不可混用用．3．注意熟记记0°～360°间特殊角的的弧度表示示．失误防范考情分析考向瞭望•把脉高考从近几年高高考来看，，三角函数数定义在高高考中经常常出现，既既有小题也也有大题，，主要是与与其他知识识相结合考考查，一般般不单独命命题．预测2012年高考仍将将与其他知知识结合考考查，重点点考查基础础知识与运运算能力．．(本题满分10分)已知角θ的终边上一一点P(3a,4a)(a≠0)，求角θ的正弦、余余弦和正切切值．规范解答例解析：选A.sin(2191°)＝sin(6×360°＋31°)＝sin31°.故选A.名师预测3．若角α与角β的终边在同同一条直线线上，则角角α与角β满足关系式式__