初中数学人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元复习

应用举例第1课时解直角三角形的简单应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：解直角三角形的简单应用【类型一】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝°，∠BCA＝°，CD＝82米．求AB的长(精确到米)．参考数据：°≈，°≈，°≈；°≈，°≈，°≈.解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈.答：AB的长约为.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到，参考数据：eq\r(3)≈?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈(cm)．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型三】方案设计类问题小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝，AD＝，CD＝，∠C＝90°，∠A＝53°.小锋的爸爸想买一辆长，宽的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝eq\f(4,3))．解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB停放，如图③，在Rt△AMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得DM的长．在Rt△PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可．解：(1)如图①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝eq\f(EG,tan∠A)＝eq\f,\f(4,3))m≈，∴DG＝AD－AG＝－＝＜，故此方案不合理；如图②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝，∴AL＝eq\f(LH,tan53°)＝eq\f,\f(4,3))≈，∴DL＝AD－AL＝－＝＜，故此方案不合理；(2)如图③，过DA上一点M作MN⊥AB于点N，过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q，连PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝，∴AM＝eq\f(MN,sin53°)＝eq\f,≈，∴DM＝－＝.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝，∴PM＝eq\f(DM,cos53°)＝eq\f,≈＞，故此方案合理．方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．