完全平方公式 课件 人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册第2节

乘法公式第2课时完全平方公式第十四章整式的乘法与因式分解小强去市场买一种水果，价格为每公斤10.2元，现称出该水果为10.2斤，小强随即报出了要付现金104.04元.你知道小强为什么算得怎么快吗？导入新知1.了解并掌握完全平方公式.2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.学习目标计算下列多项式的积(1)(p+1)2=__________=_________；p2+2p+1(2)(m+2)2=___________=_________；m2+4m+4(3)(p-1)2=__________=_________；p2-2p+1(4)(m-2)2=__________=_________；m2-4m+4新知完全平方公式(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)(p-1)(p-1)(m-2)(m-2)观察计算结果，你能发现什么规律？猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.m2+2×2m+22m2-2×2m+22p2+2p+12P2-2p+12合作探究(1)用多项式乘法证明：(a-b)2=(a-b)(a-b)(a+b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(2)借助几何图形证明：如图，边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)2

.它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，所以(a+b)2=a2+2ab+b2baaba2ababb2即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

.它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即如图，边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)2

.所以(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)借助几何图形证明：(a-b)2(a-b2)a-bbba-bababb2=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.完全平方公式特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.

解：(1)

(4m+n)2

=(4m)2+2·4m·n+n2

=16m2+8mn+n2

；

典例精析

(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.完全平方公式的常见变形

(1)完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式.(2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”.(3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2=a2±b2

.1.（2020·陕西）计算：(2x-y)2=（）A.4x2-4xy+y2B.4x2-2xy+y2C.4x2-y2D.4x2+y2(2x)2-2·2x·y+y24x2-4xy+y2A课堂练习解：(1)

(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2

=4m2+4mn+n2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-4x2-12xy-9y2

.2.计算下列式子：(1)(-2m-n)2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y).解：(3)

(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2

；(4)(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2

.2.计算下列式子：(3)(-4a+5b)2

；

(4)

(x+7y)2

.3.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2图1图2ab4ab(a+b)2C(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2归纳新知1.若x2＋kx＋25＝(x±5)2，则k＝________．10或－10课后练习2.【2020·恩施州】下列计算正确的是(

)A．a2·a3＝a6

B．a(a＋1)＝a2＋aC．(a－b)2＝a2－b2

D．2a＋3b＝5abB3.下列变形中，错误的是(

)①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④A4.【2020·郴州】如图①，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示的长方形．这两个图能解释下列哪个等式？(

)BA．x2－2x＋1＝(x－1)2

B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2

D．x2－x＝x(x－1)5.【中考·宜昌】化简(x－3)2－x(x－6)的结果为(

)A．6x－9

B．－12x＋9

C．9

D．3x＋9C6.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(

)A．2abB．－2abC．4abD．－4abC7.若(y＋a)2＝y2－8y＋b，则a，b的值分别为(

)A．4，16B．－4，－16C．4，－16D．－4，16D8.【中考·贵阳】下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x

(第一步)＝2xy＋4x＋1.

(第二步)(1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误；(2)对此整式进行化简．

一解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x＝2xy－1.9.已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b等于(

)A．1B．－1C．1或－1D．以上都不正确C10.(1)【2020·常州】先化简，再求值：(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.

当x＝2时，原式＝2＋1＝3.(2)先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－