【三维设计】高考数学 第四章第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 新人教A

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例抓基础明考向提能力教你一招我来演练第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

[备考方向要明了]考

什

么1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的

运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.怎

么

考1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积

求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考

查的重点．3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活

多变.2．范围向量夹角θ的范围是

，a与b同向时，

夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝

.0°≤θ≤180°3．向量垂直如果向量a与b的夹角是

，则a与b垂直，记作

.90°a⊥b180°二、平面向量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝

.2．a·b的几何意义

a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

的乘积．|a||b|·cosθ0|b|cosθ三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝

．5．|a·b|

|a||b|.4．cos〈a，b〉＝.3．a·a＝

，|a|＝.2．a⊥b⇒

.|a|cos〈a，e〉a·b＝0|a|2≤四、数量积的运算律1．交换律a·b＝

.3．对λ∈R，λ(a·b)＝

＝

．2．分配律(a＋b)·c＝

.b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝

.a1b1＋a2b22．a⊥b⇔

.3．|a|＝.4．cos〈a，b〉＝.a1b1＋a2b2＝0解析：：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有有a与b共线时时，才才有|a·b|＝|a||b|，可知知B是错误误的．．答案：：B2．(2011·辽宁高高考)已知向向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案：：D解析：：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得得k＝12.答案：：D答案：：45．(2011·安徽高高考)已知向向量a，b满足足(a＋2b)··(a－b)＝－6，且且|a|＝1，|b|＝2，则则a与b的夹夹角角为为________．1．对对两两向向量量夹夹角角的的理理解解(1)两向向量量的的夹夹角角是是指指当当两两向向量量的的起起点点相相同同时时，，表表示示两两向向量的的有有向向线线段段所所形形成成的的角角，，若若起起点点不不同同，，应应通通过过移移动动使其其起起点点相相同同，，再再观观察察夹夹角角．．(2)两向向量量夹夹角角的的范范围围为为[0，π]，特别当当两向量量共线且且同向时，其其夹角为为0，共线且且反向时时，其夹夹角为π.(3)在利用向向量的数数量积求求两向量量的夹角角时，一一定要注注意两向量夹夹角的范范围．2．相关概概念及运运算的区区别(1)若a、b为实数，且a·b＝0，则有有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能能得出出a＝0或b＝0.(2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由由ab＝ac可得b＝c，但由由a·b＝a·c及a≠0却不能能推出出b＝c.(3)若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律律)成立，，但对对于向量a、b、c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相相等的，向向量的数量积积是不满足足结合律的的．(4)若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向向量a、b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且且仅当a∥b时成立．[精析考题][例1](2010·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3[自主解答]8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得：x＝4.[答案]C[答案]－6[巧练模拟]———————(课堂突破保保分题，分分分必保！！)答案：9[冲关锦囊]向量的数量量积的运算算律类似于于多项式乘乘法法则，，但并不是所有有乘法法则则都可以推推广到向量量数量积的的运算，如(a·b)c≠a(b·c).[答案]C若本例条件件不变，求求λ为何值时，，λa＋b和a－b的夹角为90°？[例4](2011·新课标全国国卷)已知a与b为两个不共共线的单位位向量，k为实数，若若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[自主解答]∵a与b是不共线的的单位向量量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，，∴cosθ≠－1，∴k＝1.[答案]1答案：B4．(2012··台北模拟)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋3b)·(a＋5b)＝20，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C5．(2012··杭州九校联考考)已知平面向量量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的()A．充分不必要要条件B．必要不充分分条件C．充要条件D．既不充分也也不必要条件件解析：(a－mb)⊥a，则(a－mb)·a＝0，∴a2－ma·b＝0.即1－m·1×2×cos60°＝0.∴m＝1.当m＝1时，，(a－mb)··a＝(a－b)··a＝a2－ab＝1－ab＝1－|a|··|b|··cos60°°＝0，∴(a－mb)⊥a.∴m＝1是“(a－mb)⊥a”的充充要要条条件件．．答案案：：C[冲关关锦锦囊囊]1．求求两两非非零零向向量量的的夹夹角角时时要要注注意意(1)向量量的的数数量量积积不不满满足足结结合合律律；；(2)数量量积积大大于于0说明明不不共共线线的的两两向向量量的的夹夹角角为为锐锐角角，，数数量量积等等于于0说明明两两向向量量的的夹夹角角为为直直角角，，数数量量积积小小于于0且两两向量量不不能能共共线线时时两两向向量量的的夹夹角角就就是是钝钝角角．．2．当当a，b是非非坐坐标标形形式式时时，，求求a与b的夹夹角角，，需需求求得得a··b及|a|，|b|或得得出出它它们们的的关关系系.[答案]C[巧练模模拟]———————(课堂突突破保保分题题，分分分必必保！！)答案：：C[冲关锦锦囊][巧练模模拟]———————(课堂突突破保保分题题，分分分必必保！！)答案：：A[冲关锦锦囊]向量与与其它它知识识结合合，题题目新新颖而而精巧巧，既既符合合考查查知识识的“交汇处处”的命题题要求求，又又加强强了对对双基基覆盖盖面的的考查查，特特别是是通过过向量量坐标标表示示的运运算，，利用用解决决平行行、垂垂直、、夹角角和距距离等等问题题的同同时，，把问问题转转化为为新的的函数数、三