《金新学案》高考数学总复习 3.3等比数列课件 文 大纲人教

第3课时等比数列1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的

的比等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．(2)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝

.第2项前一项同一个公比qa1qn－11．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于(

)A．4

B．8C．16D．32答案：

C2．(2010·重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为(

)A．2B．3C．4D．8答案：

A答案：

C答案：

155．(2010·福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析：∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.答案：

4n－1(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公公式法法：若若数列列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比比数列列．[注意](1)前两种种方法法是证证明等等比数数列的的常用用方法法，而而后两两种方方法常常用于于选择择、填填空中中的判判定．．(2)若要判判定一一个数数列不不是等等比数数列，，则只只需判判定存存在连连续三三项不不成等等比即即可．．[变式训练]1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N．求证：数列列{an＋1}从第二项起起是等比数数列，并求求数列{an}的通项公式式．证明：由Sn＋1＝2Sn＋n＋1①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1(n≥2)．又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝＝2(n≥2)．故数列{an＋1}从第二项起起，是以a2＋1为首项，公公比为2的等比数列列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以a2＝3.故an＝4××2n－2－1＝2n－1(n≥≥2)又a1＝1不满满足足an＝2n－1，所以以an＝.等比比数数列列基基本本量量的的运运算算是是等等比比数数列列中中的的一一类类基基本本问问题题，，数数列列[注意]在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．2010··江苏苏苏苏州州调(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；[变式式训训练练]2.设等等比比数数列列{an}的公公比比q＜1，前前n项和和为为Sn.已知知a3＝2，S4＝5S2，求求数数列列{an}的通通项项公公式式．．等比比数数列列与与等等差差数数列列在在定定义义上上只只有有““一一字字之之差差””，，它它们们的的通通项项公公式式和和性性质质有有许许多多相相似似(2)由题题意意知知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵∵{an}是等等比比数数列列，，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等等比比数数列列，，即X，Y－X，Z－Y为等等比比数数列列，，∴(Y－X)2＝X··(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴∴选选D.答案案：：(1)A(2)D[变式式训训练练]3.(1)(2010··北京京卷卷)在等等比比数数列列{an}中，，a1＝1，公公比比|q|≠≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则则m＝()A．9B．10C．11D．12(2)设数列{a等比数列的定定义，通项公公式，前n项和公式是解解决等比数列列中的有关计计算、讨论等等比数列的有有关性质的问问题的基础和和出发点．(1)确定等比数列列的关键是确确定首项a1和公比q.(2)在等比数列通通项公式和前前n项和公式中共共涉及五个量量an，a1，n，q，Sn，可“知三求求二”．(3)等比数列求和和公式的推导导的思想可用用于等比数列列与等差数列列对应项之积积构成的数列列求和问题，，即利用错位位相消的方法法去求数列的的前n项和．(4)在利用等比数数列前n项和公式时，，一定要对公公比q＝1或q≠1作出判断；计计算过程中要要注意整体代代入的思想方方法．(5)等差数列与等等比数列的关关系是：①若一一个数数列既既是等等差数数列，，又是是等比比数列列，则则此数数列是是非零零常数数列；；②若{an}是等比比数列列，且且an＞0，则{lgan}构成等等差数数列．．通过对对近三三年高高考试试题的的统计计分析析可以以看出出，本本节命命题的的规律律总结结如下下：1．考查查热点点：等等比数数列的的通项项公式式与前前n项和公公式．．2．考查查形式式：多多以选选择题题或填填空题题形式式出现现，证证明一一个数数列为为等比比数列列常以以解答答题的的形式式出现现．3．考查查角度度：一是对对等比比数列列定义义的考考查，，多以以证明明题的的形式式出现现．二是对对等比比数列列的通通项公公式、、前n项和公公式的的考查查，涉涉及到到五个个量a1、an、Sn、n、q，可知知三求求二．．是方方程思思想的的基本本运用用．三是对对等比比数列列的性性质的的考查查，解解题时时要充充分利利用基基本量量思想想得到到方程程或不不等式式，然然后针针对结结构特特点，，恰当当选择择运算算的技技巧．．4．命题题趋势势：等等比数数列的的基本本量运运算和和性质质的应应用，，同时时加强强运算算能力力的考考查．．答案：：C[阅后报报告]本题考考查了了等比比数列列的基基本运运算及及性质质，解解答本本题难难点在在计算算q的值出出错，，不知知把1－q6表示为为(1－q3)(1＋q3)．2．(2010·江西卷卷)等比数数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a