《金新学案》高考数学总复习 13.2导数的应用课件 文 大纲人教

第2课时导数的应用1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果

，那么f(x)在这个区间内为常数．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝02．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜03．函数的最值(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的

．②将函数y＝f(x)的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(

)A．(2，＋∞)

B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：

∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)<0，得0<x<2，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．答案：

D2．f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(

)A．0B．1C．2D．3解析：导函数值恒大于或等于零，函数总单调递增．答案：

A3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.答案：

C4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为______．解析：

f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0，x＝2(舍)，比较f(1)，f(0)，f(－1)的大小知，f(x)max＝f(0)＝2.答案：

25．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)＝0a＝3.答案：

3求可导导函数数单调调区间间的一一般步步骤和和方法法：(1)确定函函数f(x)的定义域域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它它们在定定义域内内的一切切实根．．(3)把函数f(x)的间断点点(即f(x)的无定义义点)的横坐标标和上面面的各实实数根按按由小到到大的顺顺序排列列起来，，然后用用这些点点把函数数f(x)的定义区区间分成成若干个个小区间间．(4)确定f′(x)在各个开开区间内内的符号号，根据据f′(x)的符号判判定函数数f(x)在每个相相应小开开区间内内的增减减性．(2011·北京丰台台统练)设f(x)＝x3－(a＋1)x2＋3ax＋1.(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递递减，求求a的取值范范围；(2)若函数f(x)在x＝a处取得极极小值1，求a的值，并并说明在在区间(1,4)内函数f(x)的单调性性．解析：f′(x)＝3x2－3(a＋1)x＋3a＝3(x－1)(x－a)．(1)∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递递减，∴f′(4)≤0.∴a∈[4，＋∞)．(2)∵函数f(x)在x＝a处有极值值1，∴a2(a－3)＝0.∴a＝0或3.当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，，在(0,1)上单调递减，，∴f(0)为极大值，这与函数f(x)在x＝a处取得极小值值1矛盾，∴a≠0.当a＝3时，f(x)在(1,3)上单调递减，，在(3，＋∞)上单调递增，，∴f(3)为极小值．∴a＝3时，在区间(1,4)内函数f(x)的单调性是：：f(x)在(1,3)内递减，在(3,4)内递增．[变式训练]1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间间．解析：(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.由已知得f′(1)＝5＋3a＋b＝0，f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－，，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)，当x∈(－∞，－－2)∪(－1,1)∪(2，＋＋∞)时，，f′(x)＞0；当x∈(－2，－－1)∪(1,2)时，，f′(x)＜0.因此此f(x)的单单调调增增区区间间是是(－∞，－－2)，(－1,1)，(2，＋＋∞)；f(x)的单单调调减减区区间间是是(－2，－1)，(1,2)．求可导函函数f(x)极值的步步骤：(1)确定函数数的定义义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左左右两侧侧的符号号，如果果在根的的左侧附附近f′(x)>0，右侧附附近f′(x)<0，那么函函数y＝f(x)在这个根根处取得得极大值值；如果果在根的的左侧附附近f′(x)<0，右侧附附近f′(x)>0，那么函函数y＝f(x)在这个根根处取得得极小值值．已知函数数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值值，且其其图象在在x＝1处的切线线与直线线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的的单调区区间；(2)求函数的的极大值值与极小小值的差差．解析：(1)∵y′＝3x2＋6ax＋3b，由题意得得解得a＝－1，b＝0，则y＝x3－3x2＋c，y′＝3x2－6x.解y′＝3x2－6x>0，得x<0或x>2；解y′＝3x2－6x<0，得得0<x<2.∴函数数的的单单调调递递增增区区间间是是(－∞，0)，(2，＋＋∞)，单调调递递减减区区间间是是(0,2)．(2)由(1)可知知函函数数在在x＝0时取取得得极极大大值值c，在在x＝2时取取得得极极小小值值c－4，∴函数数的的极极大大值值与与极极小小值值的的差差为为c－(c－4)＝4.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大大值与最最小值的的步骤如如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值值；(2)将函数y＝f(x)的各极值值与端点点处的函函数值f(a)，f(b)比较，其其中最大大的一个个是最大大值，最最小的一一个是最最小值．．(2010·重庆卷)已知函数数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数数．(1)求f(x)的表达式式；(2)讨论g(x)的单调性性，并求求g(x)在区间[1,2]上的最大大值与最最小值．．解析：(1)由题意得得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数数g(x)是奇函数数，所以以g(－x)＝－g(x)，即对任意意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值值和最小值值．解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①利用导数解解决生活中中优化问题题的一般步步骤1．分析实际际问题中各各量之间的的关系，列列出实际问问题的数学学模型，写写出实际问问题中变量量之间的函函数关系y＝f(x)，根据实际际意义确定定定义域；；2．求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域域内的实根根，确定极极值点；3．比较函数数在区间端端点和极值值点处的函函数值大小小，获得所所求的最大大(小)值；4．还原到原原实际问题题中作答．．某市旅游部部门开发一一种旅游纪纪念品，每每件产品的的成本是15元，销售价价是20元，月平均均销售a件．通过改改进工艺，，产品的成成本不变，，质量和技技术含金量量提高，市市场分析的的结果表明明，如果产产品的销售售价提高的的百分率为为x(0＜x＜1)，那么月平平均销售量量减少的百百分率为x2.记改进工艺艺后，旅游游部门销售售该纪念品品的月平均均利润是y(元)．(1)写出y与x的函数关系系式；(2)改进工艺后后，试确定定该纪念品品的销售价价，使得旅旅游部门销销售该纪念念品的月平平均利润最最大．解析：(1)改进工艺后后，每件产产品的销售售价为20(1＋x)元，月平均均销售量为为a(1－x2)件，则月平均利利润y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y与x的函数关系系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．[变式训练]4.某工厂每天天生产某种种产品最多多不超过40件，并且在在生产过程程中产品的的正品率P与每日生产产量x(x∈N*)件之间的关关系为P＝，每每生生产产一一件件正正品品盈盈利利4000元，，每每出出现现一一件件次次品品亏亏损损2000元．．(注：：正正品品率率＝＝产产品品中中的的正正品品件件数数÷产品品总总件件数数×100%)(1)将日日利利润润y(元)表示示成成日日产产量量x(件)的函函数数；；(2)求该该厂厂的的日日产产量量为为多多少少件件时时，，日日利利润润最最大大？？并并求求出出日日利利润润的的最最大大值值．．1．在在利利用用导导数数确确定定函函数数单单调调性性时时要要注注意意结结论论“若y＝f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)上是增函数”的使用方法，，此结论并非非充要条件，，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是递递增的的，但但f′(0)＝0；因此此已知知函数数的单单调区区间求求函数数关系系式中中字母母范围围时，，要对对f′(x)＝0处的点进进行检验验．2．可导函函数极值值存在的的条件(1)可导函数数的极值值点x0一定满足足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是是极值点点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值值点．(2)可导函数数y＝f(x)在点x0处取得极极值的充充要条件件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右右侧f′(x)的符号不不同．3．函数的的最大值值与最小小值的理理解最值是一一个整体体性概念念，是指指函数在在给定区区间(或定义域域)内所有函函数值中中最大的的值与最最小的值值，在求求函数的的最值时时，要注注意以下下几点：：(1)最值与极极值的区区别极值是指指某一点点附近函函数值的的比较．．因此，，同一函函数在某某一点的的极大(小)值，可以以比另一一点的极极小(大)值小(大)；而最大大、最小小值是指指闭区间间[a，b]上所有函函数值的的比较，，因而在在一般情情况下，，两者是是有区别别的，极极大(小)值不一定定是最大大(小)值，最大大(小)值也不一一定是极极大(小)值，但如如果连续续函数在在区间(a，b)内只有一一个极值值，那么么极大值值就是最最大值，，极小值值就是最最小值．．(2)最值与极极值的求求法的区区别在闭区间间[a，b]上连续，，在开区区间(a，b)内可导的的函数f(x)，它的极极值可以以通过检检查导数数f′(x)在每一个个零点两两旁的符符号来求求得．而而f(x)在[a，b]上的最大大(小)值，则则需通通过将将各极极值与与端点点的函函数值值加以以比较较来求求得，，其中中最大大(小)的一个个即为为最大大(小)值．(3)当f(x)为连续续函数数且在在[a，b]上单调调时，，其最最大值值、最最小值值在端端点处处取得得．由近三三年的的高考考试题题统计计分析析可以以看出出，有有以下下的命命题规规律：：1．考查查热点点：导导数的的综合合应用用是高高考的的热点点2．考查查形式式：主主要以以解答答题形形式出出现，，属于于中高高档题题．3．考查查角度度：一是对对导数数与函函数的的单调调性的的考查查，对对于函函数的的单调调性，，以“导数”为工具，能能对其进行行全面的分分析，二是对导数数与函数的的极(最)值的考查，，常见题型型有：求函函数的极值值及闭区间间上的最值值，以极值值或最值为为载体考查查参数的范范围；三是对导数