【全套解析】高三数学一轮复习 77 立体几何中的向量方法课件 （理） 新人教A

第七节

立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

一、平面的法向量1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与

的向量，显然一个平面的法向量有

多个，它们是

向量．2．在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是

平面垂直无数共线唯一的．二、利用向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

＝

.3．求二面角的大小(1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是

的夹角(如下图①)．|cos〈a，n〉|(2)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是

(如上图②③)．二面角的平面角的大小1．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点坐标为(

)A．(1，－3，－4)

B．(－4,1，－3)C．(3，－1,4) D．(4，－1,3)答案：C答案：C4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n＝(－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简后得x－2y＝0.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，且法向量n＝(－1,2,1)的平面(点法式)方程为____________．(请写出化简后的结果)答案：x－2y－z＋3＝05．如下图图，已知知三棱锥锥A—BCD中，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，C(－4,0,0)，D(0,0,2)，则该三三棱锥的的高为________．热点之一一利用空间间向量证证明平行行、垂直直问题1．证线线平平行与垂垂直若直线l1和l2的方向向量分分别为v1和v2，则：(1)l1∥l2⇔v1∥v2.(2)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.2．证线面平行行与垂直若直线l的方向向量为为v，平面α的法向量为n，则：(1)l∥α⇔v⊥n.(2)l⊥α⇔v∥n.3．证面面平行行与垂直若平面α和β的法向量分别别为n1，n2，则(1)α∥β⇔n1∥n2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2.[例1]如下图图，已已知直直三棱棱柱ABC—A1B1C1中，△△ABC为等腰腰直角角三角角形，，∠BAC＝90°°，且AB＝AA1，D、E、F分别为为B1A、C1C、BC的中点点．(1)求证：：DE∥平面ABC；(2)求证：：B1F⊥平面AEF.[思路探探究]可利用用线面面平行行的判判定定定理和和线面面垂直直的判判定定定理；；也可可用向向量法法建立立空间间直角角坐标标系，，用向向量的的坐标标运算算来解解决．．[课堂记记录]如下图图建立立空间间直角角坐标标系A—xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.即时训训练如下图图，在在直三三棱柱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点点．(1)求证：：AC⊥BC1；(2)求证：：AC1∥平面CDB1.证明：：∵直三三棱柱柱ABC—A1B1C1底面三三边长长AC＝3，BC＝4，AB＝5，且C1C垂直底底面．．∴AC、BC、C1C两两垂垂直．．如下图图，以以C为坐标标原点点，直直线CA、CB、CC1分别为为x轴、y轴、z轴建立立空间间直角角坐标标系．．热点之之二利用空空间向向量求求异面面直线线所成成的角角、二二面角角1．求异面面直线线所成成角时时注意意的问问题利用向向量的的夹角角来求求异面面直线线的夹夹角时时，注注意区区别：：当异异面直直线的的向量量的夹夹角为为锐角角或直直角时时，就就是该该异面面直线线的夹夹角；；当异异面直直线的的向量量的夹夹角为为钝角角时，，其补补角才才是异异面直直线的的夹角角．2．利用用向量量法求求线面面角的的方法法．一是分分别求求出斜斜线和和它在在平面面内的的射影影直线线的方方向向向量，，转化化为求求两个个方向向向量量的夹夹角(或其补补角)；二是通通过平平面的的法向向量来来求，，即求求出斜斜线的的方向向向量量与平平面的的法向向量所所夹的的锐角角，取取其余余角就就是斜斜线和和平面面所成成的角角．[思路路探探究究](1)利用用所所建建坐坐标标系系，，准准确确写写出出所所需需点点的的坐坐标标代代入入夹夹角角公公式式．．(2)先求求面面SAB的一一个个法法向向量量，，代代入入夹夹角角公公式式．．注注意意所所求求角角与与此此夹夹角角的的关关系系．．即时训练练热点之三三利用空间间向量求求二面角角利用空间间向量方方法求二二面角，，可以有有两种办办法：一是分别别在二面面角的两两个面内内找到一一个与棱棱垂直且且从垂足足出发的的两个向向量，则则这两个个向量的的夹角的的大小就就是二面面角的平平面角的的大小；；二是通通过平面面的法向向量来求求：设二二面角的的两个面面的法向向量分别别为n1和n2，则二面面角的大大小等于于〈n1，n2〉(或π－〈n1·n2〉)．注意：利利用空间间向量方方法求二二面角时时，注意意结合图图形判断断二面角角是锐角角还是钝钝角．即时训练练解：(1)∵∵PA＝AD，M为△PAD的边PD的中点，，∴AM⊥PD.又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面面AMN⊥平面PCD.利用空间间向量解解决空间间中线面面位置关关系的论论证、空空间中各各种角的的求解问问题，以以代数运运算代替替复杂的的空间的的想象，，给解决决立体几几何问题题带来了了鲜活的的方法．．另外，，空间向向量还可可以用来来解决许许多探索索性问题题，这类类问题具具有一定定的思维维深度，，更能考考查学生生的能力力，因此此正逐渐渐成为高高考命题题的热点点题型．．[例4](2010·福建高考考)如右图，，圆柱OO1内有一个个三棱柱柱ABC－A1B1C1，三棱柱柱的底面面为圆柱柱底面的的内接三三角形，，且AB是圆O的直径．．(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设AB＝AA1.在圆柱OO1内随机选选取一点，记记该点取取自于三三棱柱ABC－A1B1C1内的概率率为p.(ⅰ)当点C在圆周上上运动时时，求p的最大值值；(ⅱ)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角角为θ(0°<θ≤90°°)．当p取最大值值时，求求cosθ的值．[解](1)∵∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC.∵AB是圆O的直径，，∴BC⊥AC.又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1.而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时时，OC⊥AB.于是，以O为坐标原点点，建立空空间直角坐坐标系O－